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1、第二章基本初等函数()2.2对数函数2.2.1对数与对数运算(第一课时)学习目标理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互转化.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:在新课标高中数学A版必修1中P57第二章2.1.2的例8中,我们能从关系y=131.01x中,算出任意一个年头x的人口总数.反之,如果问“哪一年的人口达到18亿,20亿,30亿,”,该如何解决?二、自主探索,尝试解决问题2:在问题1列出的式子中,x分别等于多少?这一问题也就是:若ax=N,已知a和N如何求指数x(其中,a0,且a1)为了解决这一问题,古代的数字家创造了“对数”来表示x,即对数的定义:注意:底
2、数的限制:;对数的书写格式;另外,在以后学习对数的过程中我们还要经常用到两种特殊的对数,即1.常用对数:以10为底的对数;log10N简记为.2.自然对数:以无理数e=2.71828为底的对数;logeN简记为.三、信息交流,揭示规律问题3:由对数的定义知,对数由指数式转化而来,那么指数式ax=N与对数式x=logaN之间的关系是什么?怎样应用?当a0,且a1时,即指数式幂底数a指数x幂N问题4:我们要注意到,ax=N中的a0且a1,因此,logaN=x也要求a0且a1;还有logaN=x中的真数N能取什么样的数呢?这是为什么?四、运用规律,解决问题【例1】指数式化为对数式:(1)41=4,6
3、1=6,7.81=7.8;(2)40=1,60=1,7.80=1.问题5:由例1中的log44=1,log66=1,log7.87.8=1与log41=0,log61=0,log7.81=0,我们大胆猜测,可以发现什么规律?怎么证明?结论:loga1=,logaa=(其中,a0,且a1).证明:【例2】求下列各式的值.(1)2log23=;3log34=;0.5log0.5100=.(2)log223=;log334=;log0.50.5100=.问题6:由例2中的两个小题,我们大胆猜测,可以发现什么规律?怎样证明?结论:对数恒等式,alogaN=,logaan=.证明:【例3】将下列指数式化
4、为对数式,对数式化为指数式:(1)54=625;(2)2-6=164;(3)(13)m=5.73;(4)log39=2;(5)log5125=3;(6)log1216=-4.五、变式演练,深化提高【例4】求下列各式中x的值:(1)log64x=-23;(2)logx8=6;(3)lg100=x;(4)-lne2=x.六、反思小结,观点提炼1.对数定义(关键);2.指数式与对数式互化(重点);3.求值(重点).七、作业精选,巩固提高1.课本P68练习题第1,2,3,4题;2.课外阅读:P68对数的发明.参考答案一、设计问题,创设情境1813=1.01x,2013=1.01x,3013=1.01x
5、二、自主探索,尝试解决问题2:一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.注意:a0,且a1;(如图);1.lgN2.lnN三、信息交流,揭示规律问题3:指数式对数式幂底数a对数底数指数x对数幂N真数问题4:因为a0且a1,所以ax=N0.因此,logaN=x中真数N也要求大于零,即负数与零一定没有对数.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)log44=1,log66=1,log7.87.8=1;(2)log41=0,log61=0,log7.81=0.问题5:0;1.证明:把a1=a,a0=1(其中,a0,且a1
6、)化为对数式,即得到上述结论.【例2】(1)3;4;100.(2)3;4;100.问题6:N;n.证明:(1)由ax=N与x=logaN得alogaN=N;(2)由an=an得logaan=n.【例3】解:(1)log5625=4;(2)log2164=-6;(3)log135.37=m;(4)32=9;(5)53=125;(6)(12)-4=16.五、变式演练,深化提高【例4】解:(1)因为log64x=-23,则x=64-23=(43)-23=4-2=116;(2)因为logx8=6,所以x6=8,x=816=(23)16=212=2;(3)因为lg100=x,所以10x=100,10x=102,于是x=2;(4)因为-lne2=x,所以lne2=-x,e2=e-x,于是x=-2.