《2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.3 两个向量的数量积 Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.3 两个向量的数量积 Word版含解析.docx（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.1.3两个向量的数量积学习目标1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直知识点一两个向量的夹角1定义：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b2范围：a，b0，特别地：当a，b时，ab.知识点二两个向量的数量积1定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积(或内积)，记作ab.规定：零向量与任何向量的数量积都是0.2数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律
2、abba分配律(ab)cacbc注意：空间向量的数量积不满足结合律。知识点三两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则cos |ab|a|b|1向量与的夹角等于向量与的夹角()2对于非零向量b，由abbc，可得ac.()3对于向量a，b，c，有(ab)ca(bc)()4若非零向量a，b为共线且同向的向量，则ab|a|b|.()5对任意向量a，b，满足|ab|a|b|.()题型一数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中
3、点，求：(1)；(2)；(3)；(4).考点空间向量数量积的概念与性质题点用定义求数量积解(1)|cos，cos 60.(2)|2.(3)|cos，cos 120.(4)()|cos，|cos，cos 60cos 600.反思感悟(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算跟踪训练1已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点试计算：(1)；(2)；(3).考点空间向量数量积的概念与性质题点用定义求
4、数量积解如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.题型二利用数量积证明垂直问题例2如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.求证：PABD.考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用证明由底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，知DABD，则0.由PD底面ABCD，知PDBD，则0.又，所以()0，即PABD.反思感悟(1)由数量积的性质abab0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量(a，
5、b是非零向量)，只要证明这两个向量的数量积为0即可(2)用向量法证明线面(面面)垂直，离不开线面(面面)垂直的判定定理，需将线面(面面)垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可跟踪训练2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用证明设a，b，c，则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.()cab，ba，()abc，(ba)cbcaaba2b2ba(b2a2)(|b|2|a|2)0.于是，即A1OBD.同理可证，即A1OOG.又OGBDO，OG平面GBD，BD平面GBD，A
6、1O平面GBD.题型三数量积求解空间角与距离命题角度1求解角度问题例3在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求向量与所成角的余弦值考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角解，|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416，cos，.反思感悟求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cosa，b，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题跟踪训练3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角考
7、点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角解不妨设正方体的棱长为1，设a，b，c，则|a|b|c|1，abbcca0，ac，ab.(ac)(ab)|a|2abacbc1，而|，cos，(0，180)，60.异面直线A1B与AC所成的角为60.命题角度2求解距离或长度例4平行四边形ABCD中，AB2AC2且ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B，D间的距离考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长解由已知得ACCD，ACAB，折叠后AB与CD所成角为60，于是，0，0，且，60或120.|2()2222222221222222cos，故|213或5，解得|或，即B，D间的
8、距离为或.反思感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可跟踪训练4在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长解因为，所以()2222()因为BAD90，BAA1DAA160，所以1492(13cos 6023cos 60)23.因为|2，所以|223，则|，即AC1.利用数量积探究垂直问题典例如图所示，在矩形ABC
9、D中，AB1，BCa，PA平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方)，则边BC上是否存在点Q，使？考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用解假设存在点Q(点Q在边BC上)，使，即PQQD.连接AQ，因为PA平面ABCD，所以PAQD.又，所以0.又0，所以0，所以.即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.又AB1，所以当1，即a2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；当1，即a2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；当1，即a2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意综上所述，当a2时，存在点Q，使；当0a2时，不存在点Q，使.素养评析本例由条件，利用向量的数量积推知Q点轨迹
10、，从而转化为平面几何问题，解答此题，应具有较强的逻辑推理能力1对于向量a，b，c和实数，下列命题中的真命题是()A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc答案B解析对于A，可举反例：当ab时，ab0；对于C，a2b2，只能推出|a|b|，而不能推出ab；对于D，当a0时，不能推出bc.2已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于()A14 B. C4 D2答案B解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60.其中真命题的个
11、数为()A1 B2 C3 D0答案B解析易知正确；与的夹角为120，不正确故选B.4已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2，|b|，ab，则a，b_.答案解析cosa，b，a，b.5已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_答案解析|22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的长为.1空间向量数量积性质的应用(a，b为非零向量)(1)abab0，此结论用于证明空间中的垂直关系(2)|a|2a2，此结论用于求空间中线段的长度(3)cosa，b，此结论用于求有关空间角的问题(4)|b|cosa，b，此结论用于求空间
12、中的距离问题2空间向量的数量积的三点注意(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定(2)当a0，由ab0可得ab或b0.(3)空间向量没有除法运算：即若abk，没有a.一、选择题1已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则ab与ab之间的关系是()A垂直 B共线C不垂直 D以上都可能考点空间向量数量积的概念与性质题点数量积的性质答案A解析由题意知|a|b|，(ab)(ab)|a|2|b|20，(ab)(ab)2已知|a|1，|b|，且ab与a垂直，则a与b的夹角为()A60 B30 C135 D45答案D解析ab与a垂直，(ab)a0，aaab|a|2|a|b|cosa，b11cosa，b0，cos
13、a，b.0a，b180，a，b45.3已知空间向量a，b，c两两夹角为60，其模都为1，则|ab2c|等于()A. B5 C6 D.答案A解析|ab2c|2|a|2|b|24|c|22ab4ac4bc1212412211cos 60411cos 60411cos 605，|ab2c|.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A2 B2 C2 D2答案C解析2a2，故A错；2a2，故B错；2a2，故D错，只有C正确5已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是(
14、)A30 B45 C60 D90答案C解析，()201201，又|2，|1.cos，.异面直线所成的角是锐角或直角，a与b所成的角是60.6已知向量a和b的夹角为120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a等于()A12 B8 C4 D13答案D解析(2ab)a2a2ba2|a|2|a|b|cos 120242513.7已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC1的长为()A. B2 C. D.答案D解析，2()22222221112(cos 60cos 60cos 60)6，|.8.如图，在直三棱柱ABCA
15、1B1C1中，若BAC，ABACAA1，则异面直线A1B与C1A所成的角等于()A. B.C. D.答案C解析设a，b，c，则ac，bc，(ac)(bc)abbcacc2|c|2，cos，.A1B与C1A所成的角为.二、填空题9已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_答案13解析abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbcca13.10已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案60解析由条件知(a3b)(7a5b)7|a|215|b|216ab0，(a4b)
16、(7a2b)7|a|28|b|230ab0，两式相减得46ab23|b|2，所以ab|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|b|，所以cosa，b，所以a，b60.11(2018大连高二检测)如图，平行六面体ABCDABCD中，ABAD1，AA2，BADBAADAA60，则AC的长为_考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长答案解析|2|2222222121222211cos 60212cos 60212cos 6011，则|. 三、解答题12.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，若ABCD，ACBD，E，F分别是AD，BC的中点，试用向量方法证明EFAD且EFBC
17、.证明连接AF，点F是BC的中点，A()，()()，又|，AC2AD22AB2，同理AB2CD2AD22AC2，将代入可得AB2AD22AD22AB2，2AD22()0，()0，()0，0，.同理可得.EFAD且EFBC.13.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC，ABAD，且PAABBCAD1，求PB与CD所成的角解由题意知|，|，PA平面ABCD，0.ABAD，0，ABBC，0，()()2|21，又|，|，cos，0，异面直线所成的角为锐角或直角，PB与CD所成的角为.14已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n(tmn)，则实数t的值为_答案4解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4.15.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长(1)证明，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)解结合(1)知|cos，221.又| |，cos，|2，即侧棱长为2.