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1、考点测试39数学归纳法高考概览考纲研读1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题一、基础小题1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1 B2 C3 D0答案C解析边数最少的凸n边形是三角形2用数学归纳法证明“1aa2an，a1，nN*”，在验证n1时，左边是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案B解析当n1时，代入原式有左边1a故选B3对于不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：当n1时， 11，不等式成立假设nk(kN*)时，不等式成立，即 k1，则nk1时，(k1)1所以当nk1时，不等式成立上述证法()A过程全
2、都正确Bn1检验不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析n1的验证及归纳假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故选D4利用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D10答案B解析左边12，代入验证可知n的最小值是8故选B7下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)答案D解析当k1时，显然只有3(27k)能被9整除假设当kn(nN*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36，这就
3、是说，kn1时命题也成立由可知，命题对任何kN*都成立故选D8设f(n)，nN，那么f(n1)f(n)()A BC D答案D解析f(n1)f(n)9用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1时正确，再推n2k3正确(kN*)B假使n2k1时正确，再推n2k1正确(kN*)C假使nk时正确，再推nk1正确(kN*)D假使nk(k1)时正确，再推nk2时正确(kN*)答案B解析因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n2k1正确，再推第k1个正奇数，即n2k1正确10已知123332433n3n13n(nab)
4、c对一切nN*都成立，则a，b，c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a，b，c答案A解析等式对一切nN*均成立，n1，2，3时等式成立，即整理得解得a，bc11在数列an中，a1且Snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是_答案an解析因为Snn(2n1)an，当n2，3，4时，得出a2，a3，a4a1，a2，a3，a4an12已知f(n)1(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2k1)f(2k)_答案解析f(2k1)1，f(2k)1，f(2k1)f(2k)二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型三、模拟小题13(2018山东淄博质检
5、)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，那么下列命题总成立的是()A若f(1)2成立，则f(10)11成立B若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立C若f(2)3成立，则f(1)2成立D若f(4)5成立，则当k4时，均有f(k)k1成立答案D解析当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，说明如果当kn时，f(n)n1成立，那么当kn1时，f(n1)n2也成立，所以如果当k4时，f(4)5成立，那么当k4时，f(k)k1也成立一、高考大题1(2017浙江高考)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln (1xn1)(
6、nN*)证明：当nN*时，(1)0xn10当n1时，x110假设nk时，xk0，那么nk1时，若xk10，则00因此xn0(nN*)所以xnxn1ln (1xn1)xn1因此0xn10(x0)，函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln (1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN*)(3)因为xnxn1ln (1xn1)xn1xn12xn1，所以xn由2xn1xn得20，所以22n12n2，故xn综上，xn(nN*)2(2015江苏高考)已知集合X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn令f(
7、n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明解(1)f(6)13(2)当n6时，f(n)(tN*)下面用数学归纳法证明：当n6时，f(6)6213，结论成立；假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：a若k16t，则k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2，结论成立；b若k16t1，则k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；c若k16t2，则k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2
8、，结论成立；d若k16t3，则k6t2，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；e若k16t4，则k6t3，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；f若k16t5，则k6t4，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立综上所述，结论对满足n6的自然数n均成立二、模拟大题3(2018常德月考)设a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3)猜想an(nN*)(2)证明：易知，n1时，猜想正确假设nk
9、(kN*)时猜想正确，即ak，则ak1f(ak)这说明，nk1时猜想正确由知，对于任何nN*，都有an4(2018福建三明月考)已知xi0(i1，2，3，n)，我们知道(x1x2)4成立(1)求证：(x1x2x3)9；(2)同理我们也可以证明出(x1x2x3x4)16由上述几个不等式，请你猜测一个与x1x2xn和(n2，nN*)有关的不等式，并用数学归纳法证明解(1)证法一：(x1x2x3)339证法二：(x1x2x3)332229(2)猜想(x1x2xn)，n2(n2，nN*)证明如下：当n2时，由已知得猜想成立假设当nk时，猜想成立，即(x1x2xk)k2，则当nk1时，(x1x2xkxk1)(x1x2xk)(x1x2xk)xk11k2(x1x2xk)xk11k21k2221k22k1(k1)2，所以当nk1时原式成立结合可知，猜想成立