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1、考点测试8二次函数与幂函数高考概览考纲研读1了解幂函数的概念2结合函数yx，yx2，yx3，yx1，yx的图象，了解它们的变化情况3理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1若二次函数y2x2bxc关于y轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为()Ay2x2x3 By2x23Cy2x2x3 Dy2x23答案B解析由题可知函数yf(x)为偶函数，则b0又过点(0，3)，则c3，故解析式为y2x23故选B2若幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则f(8)的值为()A4 B C2 D1答案C解析设f(x)x，由条件知f(4)2，所以24，
2、所以f(x)x，f(8)82故选C3已知函数f(x)x22xm，若f(x1)f(x2)(x1x2)，则f的值为()A1 B2 Cm1 Dm答案C解析由题意知，函数的对称轴为直线x1，所以ff(1)m1故选C4函数f(x)2x26x(2x2)的值域是()A20，4 B(20，4)C20， D20，答案C解析由函数f(x)2x26x可知，该二次函数的图象开口向下，对称轴为x，当2x0时，函数f(x)的图象在其对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a0时，函数f(x)的图象的对称轴为x，函数f(x)在区间1，)上单调递减，1，得3a2x的解集为(1，3)若方程f(x)6a0有两个相等的根，则实数a()A
3、 B1C1或 D1或答案A解析因为f(x)2x0的解集为(1，3)，设f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，所以f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0因为方程有两个相等的根，所以(24a)24a9a0，解得a1或a由于a0，mZ，m1，幂函数f(x)x4，f(2)16故选A10已知函数f(x)ax22x2，若对一切x，2，f(x)0都成立，则实数a的取值范围为()A， B，C4，) D(4，)答案B解析由题意得，对一切x，2，f(x)0都成立，即a22在x，2上恒成立，而22，则实数a的取值范围为，故选B11若二次函数f(x)x24
4、xt图象的顶点在x轴上，则t_答案4解析由于f(x)x24xt(x2)2t4图象的顶点在x轴上，所以f(2)t40，故t412若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则实数m的取值范围是_答案解析因为yx23x42，且f(0)4，值域为，所以0，m，即m又f(m)4，则0m3，所以m3二、高考小题13(2016全国卷)已知a2，b4，c25，则()Abac BabcCbca Dcab答案A解析因为a24，c255，函数yx在(0，)上单调递增，所以45，即ac，又因为函数y4x在R上单调递增，所以44，即ba，所以bac故选A14(2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的
5、最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关答案B解析解法一：设x1，x2分别是函数f(x)在0，1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2bMmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关故选B解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图象左右移动，则Mm的值在变化，故与a有关故选B15(2016浙江高考)已知函数f(x)x
6、2bx，则“b0”是“ff(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析记g(x)ff(x)(x2bx)2b(x2bx)22当b0时，0，即当20时，g(x)有最小值，且g(x)min，又f(x)2，所以ff(x)的最小值与f(x)的最小值相等，都为，故充分性成立另一方面，当b0时，ff(x)的最小值为0，也与f(x)的最小值相等故必要性不成立故选A16(2015陕西高考)对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A1是f(x)的零点B
7、1是f(x)的极值点C3是f(x)的极值D点(2，8)在曲线yf(x)上答案A解析由已知得，f(x)2axb，则f(x)只有一个极值点，若A，B正确，则有解得b2a，c3a，则f(x)ax22ax3a由于a为非零整数，所以f(1)4a3，则C错误而f(2)3a8，则D也错误，与题意不符，故A，B中有一个错误，C，D都正确若A，C，D正确，则有由得代入中并整理得9a24a0，又a为非零整数，则9a24a为整数，故方程9a24a0无整数解，故A错误若B，C，D正确，则有解得a5，b10，c8，则f(x)5x210x8，此时f(1)230，符合题意故选A17(2017北京高考)已知x0，y0，且xy
8、1，则x2y2的取值范围是_答案解析由xy1，得y1x又x0，y0，所以0x1，x2y2x2(1x)22x22x122由0x1，得02，所以x2y21，即x2y2x2y2(xy)22xy，已知x0，y0，xy1，所以x2y212xy因为1xy2，所以0xy，所以12xy1，即x2y2依题意，x2y2可视为原点到线段xy10(x0，y0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x2y2)min2，(x2y2)max|OA|2|OB|21，故x2y218(2018上海高考)已知2，1，1，2，3若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_答案1解析幂函数f(x)x为奇函数，可取1，1，3，又f(
9、x)x在(0，)上递减，0，故1三、模拟小题19 (2018湖北黄冈中学质检)幂函数yx1，yxm与yxn 在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1B1n0mC1m0nD1n0m1答案D解析在第一象限作出幂函数yx，yx0的图象，在(0，1)内作直线xx0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知1n0m1，故选D20(2018河南安阳模拟)已知函数f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1 B0 C1 D2答案A解析f(x)x24xa(x2)2a4，函数f(x)x24xa在0，1上单调递增，当x0时，f(x)取得最小值，当x1时，
10、f(x)取得最大值，f(0)a2，f(1)3a321，故选A21(2018湖北荆州模拟)二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)，又f(0)3，f(2)1，若在0，m上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是()A(0，) B2，)C(0，2 D2，4答案D解析二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，其图象的对称轴是x2，又f(0)3，f(4)3，又f(2)f(0)，f(x)的图象开口向上，f(0)3，f(2)1，f(4)3，f(x)在0，m上的最大值为3，最小值为1，由二次函数的性质知2m4故选D22(2018河南洛阳二模)已知点a，在幂函数f(x)(a1)xb的图象上，则函数f(x)是()
11、A奇函数 B偶函数C定义域内的减函数 D定义域内的增函数答案A解析点a，在幂函数f(x)(a1)xb的图象上，a11，解得a2，则2b，b1，f(x)x1，函数f(x)是定义域(，0)(0，)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数故选A23(2018河南南阳模拟)设函数f(x)mx2mx1，若对于x1，3，f(x)m4恒成立，则实数m的取值范围为()A(，0 B0，C(，0)0， D，答案D解析由题意，f(x)m4对于x1，3恒成立，即m(x2x1)5对于x1，3恒成立当x1，3时，x2x11，7，不等式f(x)m4等价于m当x3时，取最小值，若要不等式m对于x1，3恒成立，则必须满足m，因此，
12、实数m的取值范围为，故选D24 (2018湖北武汉模拟)幂函数yx，当取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yxa，yxb的图象三等分，即有BMMNNA，那么a()A0 B1 C D2答案A解析BMMNNA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M，N，分别代入yxa，yxb，得alog，blog，alog0故选A一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2018湖南祁阳二模)已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2在(0，)上单调递增，函数g(x)2xk(1)求m的值；(2)当x
13、1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：xA，q：xB，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围解(1)依题意得，(m1)21m0或m2，当m2时，f(x)x2在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去，m0(2)由(1)得，f(x)x2，当x1，2)时，f(x)1，4)，即A1，4)，当x1，2)时，g(x)2k，4k)，即B2k，4k)，因p是q成立的必要条件，则BA，则即得0k12(2018河北邯郸一中月考)已知函数f(x)x24ax2a6，xR(1)若函数的值域为0，)，求a的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f(a)2a|a3|的值域解f(x)x24ax2a
14、6(x2a)22a64a2(1)函数值域为0，)，2a64a20解得a1或a(2)函数值域为非负数集，2a64a20，即2a2a30，解得1af(a)2a|a3|2a(a3)2，f(a)在上单调递减，f(a)4，即f(a)的值域为3(2018河南信阳一中月考)已知函数f(log2x)x22x(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)a2x4在区间(0，2)内有两个不相等的实根，求实数a的取值范围解(1)设tlog2x，tR，则x2t，f(t)22t22t4t2t1f(x)4x2x1(2)方程f(x)a2x4在区间(0，2)内有两个不相等的实根，4x(2a)2x40在(0，2)有两个不相
15、等实根令2xm，则m(1，4)，h(m)m2(2a)m4，h(m)0在(1，4)上有两个不相等的实根，解得6a74(2018河北正定中学质检)已知二次函数f(x)x22bxc(b，cR)(1)若f(x)0的解集为x|1x1，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)0，且关于x的方程f(x)xb0的两个实数根分别在区间(3，2)，(0，1)内，求实数b的取值范围解(1)设x1，x2是方程f(x)0的两个根由韦达定理，得由条件知x1，x2就是1，1，即所以b0，c1(2)由题知，f(1)12bc0，所以c12b记g(x)f(x)xbx2(2b1)xbcx2(2b1)xb1，由g(x)的图象，得解得b故b的取值范围为，