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1、课时作业13变化率与导数、导数的计算1(2019湖南株洲模拟)设函数yxsinxcosx的图象在点(t，f(t)处的切线斜率为g(t)，则函数yg(t)图象的一部分可以是(A)解析：由yxsinxcosx可得ysinxxcosxsinxxcosx，则g(t)tcost，g(t)是奇函数，排除选项B，D；当x时，yg(t)0，排除选项C，故选A.2一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是(D)A1秒末B1秒末和2秒末C4秒末D2秒末和4秒末解析：s(t)t26t8，由导数的定义知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度为零3(20
2、19河南林州一中调研)函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)lnx，则f(2)的值为(B)A.BC.D解析：f(x)x23xf(2)lnx，f(x)2x3f(2)，令x2，得f(2)43f(2)，解得f(2)，故选B.4(2019广西五市联考)已知e为自然对数的底数，曲线yaexx在点(1，ae1)处的切线与直线2exy10平行，则实数a(B)A. B.C. D.解析：yaex1，切线的斜率为y|x1ae1，又切线与直线2exy10平行，ae12e，解得a.5(2019广州模拟)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0
3、，则点P的坐标为(D)A(0,0)B(1，1)C(1,1)D(1，1)或(1,1)解析：f(x)x3ax2，f(x)3x22ax，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，3x2ax01，x0xax0，解得x01，当x01时，f(x0)1，当x01时，f(x0)1.故选D.6(2019广东深圳模拟)设函数f(x)xb，若曲线yf(x)在点(a，f(a)处的切线经过坐标原点，则ab(D)A1B0C1D2解析：由题意可得，f(a)ab，f(x)1，所以f(a)1，故切线方程是yab(xa)，将(0,0)代入得ab(a)，故b，故ab2，故选D.7(2019乐山模拟)已知函数f(x
4、)e2x2exax1，曲线yf(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为(B)A(3，) B.C.D(0,3)解析：f(x)e2x2exax1的导函数为f(x)2e2x2exa，由题意可得2e2x2exa3的解有两个，即有2，即为ex或ex，即有72a0且72a1，解得3a.8(2016山东卷)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是(A)AysinxBylnxCyexDyx3解析：设函数yf(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1x2，则由题意知只需函数yf(x)满足f(x1)f
5、(x2)1即可yf(x)sinx的导函数为f(x)cosx，则f(0)f()1，故函数ysinx具有T性质；yf(x)lnx的导函数为f(x)，则f(x1)f(x2)0，故函数ylnx不具有T性质；yf(x)ex的导函数为f(x)ex，则f(x1)f(x2)ex1x20，故函数yex不具有T性质；yf(x)x3的导函数为f(x)3x2，则f(x1)f(x2)9xx0，故函数yx3不具有T性质故选A.9(2019大庆模拟)函数f(x)xex的图象在点P(1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.解析：f(x)exxexex(x1)，切线斜率kf(1)2e，曲线yf(x)在(1，e)处的切线方程
6、为ye2e(x1)，即y2exe.y2exe与坐标轴交于点(0，e)，y2exe与坐标轴围成的三角形面积Se.10(2019上饶模拟)若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2距离的最小值为.解析：由题意知yx2lnx的定义域为(0，)，当点P是曲线的切线中与直线yx2平行的直线的切点时，点P到直线yx2的距离最小，如图所示故令y2x1，解得x1，故点P的坐标为(1,1)故点P到直线yx2的最小值dmin.11已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的
7、切线，求a的取值范围解：f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意，得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.12(2019福州质检)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x
8、)a，于是解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.13(2019达州二诊)已知曲线C在动点P(a，a22a)与动点Q(b，b22b)(ab0)处的切线互相垂直，则ba的最小值为(A)A1B2C.D解析：
9、由题意可得曲线yx22x上存在两点处的切线互相垂直，由yx22x的导数为y2x2，可得(2a2)(2b2)1，由a1b1，可得a10，且b1，ba(a1)221，当且仅当a1，即a，b时等号成立，所以ba的最小值为1.14(2019安徽江南十校联考)若曲线C1：yx2与曲线C2：y(a0)存在公共切线，则a的取值范围为(D)A(0,1) B.C. D.解析：曲线yx2在点(m，m2)的切线斜率为2m，曲线y(a0)在点的切线斜率为en，如果两条曲线存在公共切线，那么2men.又由直线的斜率公式得到2m，则有m2n2，则由题意知4n4en有解，即y4x4，yex的图象有交点若直线y4x4与曲线y
10、ex相切，设切点为(s，t)，则es4，且t4s4es，可得切点为(2,4)，此时，故要使满足题意，需，则a，故a的取值范围是a.故选D.15已知曲线y，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为x4y20.解析：y，因为ex0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，则ex24，故y(当x0时取等号)当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.16(2019安徽淮南一模)已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)在函数f(x)x2lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)由题意可得f(1)1，且f(x)2x，f(1)211，则所求切线方程为y11(x1)，即yx.(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2，不妨设x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得1，又函数f(x)2x在区间上单调递增，函数的值域为1,1，故12x12x21，据此有解得x1，x21，故存在两点，(1,1)满足题意