黄冈名师2020版高考数学大一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性课件理新人教A版.ppt

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1、第三节函数的奇偶性与周期性(全国卷5年11考),【知识梳理】 1.函数的奇偶性,f(x),y轴,-f(x),原点,2.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的任何值时,都有_,那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.,f(x+T)=f(x),(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_,那么这个_就叫做f(x) 的最小正周期.,最小的正数,最小正数,【常用结论】 1.函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).

2、,(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0). (2)若f(x+a)= ,则T=2a(a0). (3)若f(x+a)=- ,则T=2a(a0).,【基础自测】题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”错误的打“”) (1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( ),(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.

3、 ( ) (3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. ( ) (4)若T是函数的一个周期,则nT(nZ,n0)也是函数的周期. ( ),提示:(1).奇函数只有在原点有定义时才过原点,且 f(0)=0,而偶函数不管在原点有无定义,都不一定过原点. (2).因为y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a)= f(a-x),可知x=a为对称轴.,(3).因为函数具有奇偶性,所以定义域一定关于原点对称,而定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性. (4).由周期函数的定义可知正确.,2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时, f(x)=x2+ ,则f(-1)等

4、于 ( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 【解析】选A.f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2,3.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是 ( ),【解析】选B.依题意得f(-x)=f(x),所以b=0,又a-1= -2a,所以a= ,所以a+b= .,题组二:走进教材 1.(必修1P39B组T1改编)下列函数为偶函数的是( ) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x,【解析】选D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.其余A、B、C选项均不满足f(-x)=f(x

5、).,2.(必修1P45B组T4改编)设f(x)是定义在R上的周期为 2的函数,当x-1,1)时,f(x)= 则 =_.,【解析】答案:1,考点一函数奇偶性的判断【题组练透】 1.(2018肇庆模拟)下列函数为偶函数的是( ) A.y=sin x B.y=ln( -x) C.y=ex D.y=ln,【解析】选D.由函数奇偶性的定义知D中的函数为偶函数.,2.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( ) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+ D.y=x2+sin x,【解析】选D.对于A,f(-x)=-x+sin2(-x)=-(x+sin 2x) =-

6、f(x),为奇函数;对于B,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2- cos x=f(x),为偶函数;对于C,f(-x)=2-x+ =2x+ =f(x),为偶函数;对于D,y=x2+sin x既不是偶函数也不是奇函数.,3.若函数f(x)(xR)是奇函数,函数g(x)(xR)是偶函数,则 ( ) A.函数f(g(x)是奇函数 B.函数g(f(x)是奇函数 C.函数f(x)g(x)是奇函数 D.函数f(x)+g(x)是奇函数,【解析】选C.令h(x)=f(x)g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x) =g(x),所以h(-x)=f

8、象关于原点(y轴)对称.,考点二函数的周期性及应用【典例】(2018达州模拟)若函数f(x)(xR)是周期为 4的奇函数,且在0,2上的解析式为f(x)= 则 =_.,【解析】由于函数f(x)是周期为4的奇函数, 所以答案:,【规律方法】函数周期性的判断及应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.,(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.,【对点训练】已知定义在R上的函数满足f(x

9、+2)=- ,当x(0,2时,f(x)=2x-1.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)的值为_.,【解析】因为f(x+2)=- ,所以f(x+4)=- =f(x),所以函数y=f(x)的周期T=4.又当x(0,2时,f(x)=2x-1,所以f(1)=1,f(2)=3,f(3)=- = -1,f(4)= 所以f(1)+f(2)+f(3)+ f(2 019)=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5044+1),+f(5044+2)+f(5044+3)=504 +1+3-1=1 347. 答案:1 347,考点三函数奇偶性的应用【明考点知考法】函数的奇偶性、周期性以及

10、单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.,命题角度1 求函数值或参数的值【典例】(1)(2018晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(4)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立, 则f(2 020)=_. (2)(2018全国卷)已知函数f(x)=ln( - x)+1,f(a)=4,则f(-a)=_.,【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,又对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3), 所以当x=-3时,有f

11、(3)=f(-3)+f(3)=0, 所以f(x+6)=f(x),周期为6, 故f(2 020)=f(4)=2. 答案:2,(2)令g(x)=ln( -x),则所以g(x)是奇函数,由已知,f(x)=g(x)+1,f(a)=g(a)+1=4,g(a)=3, 所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-2. 答案:-2,【状元笔记】已知函数的奇偶性求参数的步骤 (1)根据f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)得到关于待求参数的恒等式. (2)由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.,命题角度2 奇偶性与单调性的结合【典例】(2017全国卷)函数f(x)在(-,+)

12、上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是 ( ) A.-2,2 B.-1,1 C.0,4 D.1,3,【解析】选D.由已知,得f(-1)=1,使-1f(x)1成立的x满足-1x1,所以由-1x-21得1x3,即使-1f(x-2)1成立的x满足1x3.,【状元笔记】巧解奇偶性与单调性结合问题 (1)利用奇偶性巧转化. 例如f(x)为奇函数,f(x)+f(x-2)0可转化为f(x) -f(x-2),进一步转化为f(x)f(2-x).若f(x)为偶函数,可用f(x)=f(|x|)转化为0,+)上的问题.,(2)用单调性比较大小或解不等式.,命题角度3 奇

13、偶性与周期性的结合【典例】(2018全国卷)已知f(x)是定义域为 (-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2, 则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ( ) A.-50 B.0 C.2 D.50,【解析】选C.f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,图象关于原点对称,满足f(1-x)=f(1+x),则f(x+4)=f(1-(x+3)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1)=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.,又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1) =-f(1)=-2,f(4)=

14、f(0)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=2.,【状元笔记】解奇偶性、周期性的综合性问题的两个关键点: (1)利用奇偶性和已知等式求周期. (2)将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解.,【对点练找规律】 1.(2018广州模拟)已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)= ( ) A.2 B.-2 C.-98 D.98,【解析】选B.因为f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期T=4,又f(x)在R上是奇函数,所以f(7)=f(-1)=-f(1) =-212=-2.,

15、2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在0,+)上单调递增,若f(lg x)0,则x的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,10) C.(1,+) D.(10,+),【解析】选A.由题意,函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0,不等式f(lg x)0=f(0)等价于lg x0,故0x1.,3.(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=_. 【解析】f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=12. 答案:12,4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-

16、),则a的取值范围是_.,【解析】因为f(2|a-1|)f(- )=f( ), 又由已知可得f(x)在(0,+)上单调递减, 所以2|a-1| ,所以|a-1| ,所以 a . 答案:,数学能力系列4函数三大性质的综合应用【能力诠释】函数的奇偶性、周期性及单调性,在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.,【典例】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)= -f(x),且在区间0,2上是增函数,则 ( ) A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C

17、.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11),【解析】选D.因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).,因为f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间-2,2上是增函数, 所以f(-1)f(0)f(1).所以f(-25)f(80)f(11).,【技法点拨】解决此类问题通常先利用周期性转

18、化为自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,【即时训练】已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意xR,都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1,x20,3,且x1x2时, 都有 0,给出下列命题: 直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;,函数y=f(x)在-9,-6上为增函数; 函数y=f(x)在-9,9上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为_.,【解析】对于任意xR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,则f(-3+6)=f(-3)+f(3),又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0.,所以f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期

19、为6,又因为f(x)是R 上的偶函数,所以f(x+6)=f(-x),而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),所以f(-6-x)= f(-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴.当x1,x20,3,且x1x2时,都有,0,所以函数y=f(x)在0,3上为增函数,因为f(x)是R 上的偶函数,所以函数y=f(x)在-3,0上为减函数,而 f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在-9,-6上为减函数.f(3)=0,f(x)的周期为6,所以f(-9)=f(-3)=f(3) =f(9)=0,函数y=f(x)在-9,9上有四个零点. 答案:,

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