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1、3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.理解二元一次不等式(组)的解、解集的概念. 2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域. 3.能把平面区域用不等式(组)表示. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 二元一次不等式(组)的概念 1.含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为 不等式. 2.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 3.满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为
2、二元一次不 等式(组)的一个 . 4.所有这样的有序数对(x，y)构成的 称为二元一次不等式(组)的解集. 二元一次 解 集合 知识点二 二元一次不等式表示的平面区域 1.在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0(或0(或1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x1右侧. ( ) 3.点(1,2)不在2xy10表示的平面区域内.( ) 4. 表示的平面区域为第一象限.( ) 2题型探究 PART TWO 解析 点(3,1)和(4,6)必有一个是3x2ya0的解，另一个点是3x2y a0表示的平面区域在直线x2y60的 A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 解析 在平
3、面直角坐标系中画出直线x2y60， 观察图象(图略)知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x2y6， 得00660，所以原点(0,0)在不等式x2y60表示的平面区域内， 故选B. 命题角度2 给不等式组画平面区域 例3 画出下列不等式组所表示的平面区域. 解 x2y3，即x2y30，表示直线x2y30上及左上方的区域； xy3，即xy30，表示直线xy30上及左下方的区域； x0表示y轴及其右边区域； y0表示x轴及其上方区域. 综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示. 解 xy2，即xy20，表示直线xy20左上方的区域； 2xy1，即2xy10，表示直线2xy1
4、0上及右上方的区域； xy2表示直线xy2左下方的区域. 综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示. 反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式 表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：画线；定侧；求 “交”；表示.但要注意是否包含边界. 跟踪训练3 用平面区域表示不等式组 的解集. 解 不等式y3x12，即3xy120， 表示的平面区域在直线3xy120的左下方； 不等式x2y，即x2y0，表示的是直线x2y0左上方的区域. 取两区域重叠的部分， 如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集. 题型三 二元一次不等式组表示平面区域的应用 例4 已知约束条件 表
5、示面积为1的直角三角形区域，则实数 k的值为 A.1 B.1 C.0 D.0或1 解析 条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示， 要使约束条件表示直角三角形区域， 直线kxy0要么垂直于直线x1， 要么垂直于直线xy40，k0或k1. 当k0时，直线kxy0，即y0，交直线x1， xy40于点B(1,0)，C(4,0). 此时约束条件表示ABC及其内部， 同理可验证当k1时符合题意. 反思感悟 平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积： 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知 条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域； 对平面区域进行分析，若为三角
6、形应确定底与高，若为规则的四边形(如平 行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成 几个三角形分别求解，再求和即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的 方法去求解. 跟踪训练4 已知不等式组表示的平面区域为D，若直线ykx 1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是 . 解析 由题意可得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3). 直线ykx1过点A. 核心素养之直观想象 HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANGHEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG 数形结合的魅力 典例 我们可以验
7、证点(1,2)是不等式xy6的一个解.怎么证明直线xy6 左上方半平面(不包括边界)上所有点均是xy6的解？ 证明 设点A(x0，y0)位于直线xy6左上方区域， 则过点A作直线ABy轴，交直线xy6于点B. 设B(x0，y1)，则有y0y1. B在直线xy6上， x0y16. 由y0y1，得y0y1，x0y0x0y16. 即点(x0，y0)满足不等式xy6. xy6左上方半平面区域任一点均是xy6的解. 素养评析 提升学生的数形结合能力，是培养直观想象核心素养的一大具体 任务，本例证明任务是代数问题：不等式的解的问题.在证明过程中，我们把 “直线左上方区域”这一几何条件，转化成数：y0y1，
8、再借助代数手段： 不等式性质，严谨证明了一个初看无从下手的问题，完善诠释了数形结合的 魅力. 3达标检测 PART THREE 123 1.不在不等式3x2y6表示的平面区域内的一个点是 A.(0,0) B.(1,1)C.(0,2) D.(2,0) 解析 将四个点的坐标分别代入不等式中， 其中点(2,0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x2y6表示的平面区域内，故选D. 2.已知点(1,2)和点(3，3)在直线3xya0的两侧，则a的取值范围是 A.(1,6) B.(6,1) C.(，1)(6，) D.(，6)(1，) 解析 由题意知，(32a)(93a)0， 即(a1)(a6)0，1
9、a6. 123 3.(1)画出表示的平面区域； 解 123 (2)画出(y2x)(x2y4)0表示的平面区域. 解 123 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.二元一次不等式(组)的一个解对应一个坐标点，解集对应点集一般形成一 个平面区域. 2.画边界直线.画出不等式所对应的方程表示的直线，若此区域包括边界， 则直线画成实线；若不包括边界，则画成虚线(即看不等式能否取到等号). 3.特殊点定域.确定边界后，只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界 上时，常取原点，在边界上时，取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元 一次不等式，若满足不等式，则区域为特殊点所在一侧，不满足，则为另 一侧. 简记为“直线定界，特殊点定域”.