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1、章末复习 第二章 数 列 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能. 3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 达标检测 1知识梳理 PART ONE 1.等差数列和等比数列的基本概念与公式 等差数列等比数列 定义 如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数 列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，公 差通常用字母d表示 如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的比等
2、于同一个常数，那么这个数 列叫做等比数列，这个常数 叫做等比数列的公比，公比 通常用字母q表示(q0) 递推公式an1andq 中项 由三个数a，A，b组成的等差数 列可以看成最简单的等差数列. 这时A叫做a与b的等差中项，并 且A 如果在a与b中间插入一个数 G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项， 且G 通项公式ana1(n1)dana1qn1 前n项和 公式 Sn na1 当q1时，Sn ，当q1时，Snna1 性质 am，an的关系aman(mn)dqmn m，n，s，tN*， mnst amanasatamanasat kn是等差数列，且 knN* 是等差数列 是等
3、比数列 n2k1，kN*S2k1(2k1)aka1a2a2k1 n k a n k a 判断 方法 利用定义an1an是同一常数 是同一常数 利用中项anan22an1 anan2 利用通项公式anpnq，其中p，q为常数anabn(a0，b0) 利用前n项和 公式 Snan2bn (a，b为常数) SnA(qn1)，其中 A0，q0且q1或 Snnp(p为非零常数) 2.数列中的基本方法和思想 (1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法； (2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相 减法. (3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中
4、任意三个求其余两个， 用到了方程思想. (4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用 到了函数思想. 2题型探究 PART TWO 题型一 方程思想求解数列问题 例1 等差数列an各项为正整数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b1 1且b2S264， 是公比为64的等比数列，求an，bn的通项公式. n a b 解 设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数， an3(n1)d，bnqn1. 依题意有 1 1 1 6 1 22 642 , (6)64, n n n n a a d a a b q q bq b Sqd 由q(6d)64知q为正有理数， 又由
5、 知d为6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8， 6 2dq 故an2n1，bn8n1. 反思感悟 在等比数列和等差数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五 个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求 二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的 思想解出需要的量. 跟踪训练1 记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成 等比数列，求Sn. 解 设数列an的公差为d， 题型二 转化与化归思想求解数列问题 例2 在数列an中，Sn14an2，a11. (1) 设cn ，求证：数列cn
6、是等差数列； 证明 Sn14an2， 当n2，nN*时，Sn4an12. 得an14an4an1. 对an14an4an1两边同除以2n1，得 即cn1cn12cn， 数列cn是等差数列. 由Sn14an2，得a1a24a12， 则a23a125， (2) 求数列an的通项公式及前n项和的公式. 设Sn(31)21(321)20(3n1)2n2， 则2Sn(31)20(321)21(3n1)2n1， Sn2SnSn(31)213(20212n2)(3n1)2n1 13(3n4)2n12(3n4)2n1. 数列an的通项公式为an(3n1)2n2，nN*， 前n项和公式为Sn2(3n4)2n1，
7、nN*. 反思感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先 找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转 化为等差数列或等比数列，再采用公式求出. 跟踪训练2 设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan (n1)Sn2n(nN*). (1)求a2，a3的值； 解 a12a23a3nan (n1)Sn2n(nN*)， 当n1时，a1212； 当n2时，a12a2(a1a2)4，a24； 当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6， a38. (2)求证：数列Sn2是等比数列. 证明 a12a23a3nan (n1)Sn2n(nN*)， 当n
8、2时，a12a23a3(n1)an1 (n2)Sn12(n1). 得nan(n1)Sn(n2)Sn12 n(SnSn1)Sn2Sn12 nanSn2Sn12. Sn2Sn120，即Sn2Sn12， Sn22(Sn12). S1240，Sn120， 故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列. 题型三 函数思想求解数列问题 命题角度1 借助函数性质解数列问题 例3 一个等差数列an中，3a85a13，a10.若Sn为an的前n项和，则S1， S2，Sn中没有最大值？请说明理由. 多维探究多维探究 解 因为此等差数列不是常数列，所以其前n项和Sn是关于n的二次函数，我 们可以利用配方法，结合二次函数
9、的性质求解. 设an的首项为a1，公差为d， 故n20时，Sn最大，即前20项之和最大. 反思感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范 围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题.值 得注意的是数列定义域是正整数集或1,2,3，n，这一特殊性对问题结果 可能造成影响. 跟踪训练3 已知数列an的通项公式为an2n2 019，问这个数列前多少项 的和最小？ 解 设an2n2 019，对应的函数为y2x2 019， 因此，数列an为单调递增数列，a1 0090， 故当1n1 009时，an1 009时，an0. 数列an中前1 009项的和最小. 命题角
10、度2 以函数为载体给出数列 (1)求数列an的通项公式； (2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn. 解 Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1 a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1) 反思感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题. 跟踪训练4 设yf(x)是一次函数，f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列， 则f(2)f(4)f(2n) . 2n23n 解析 设f(x)kxb(k0)，又f(0)1，则b1， 所以f(x)kx1(k0). 又f(4)2f(1)f(13)， 所以(4k1)2(k1)(1
11、3k1)，解得k2. 所以f(x)2x1，则f(2n)4n1. 所以f(2n)是公差为4的等差数列. 3达标检测 PART THREE 1234 1.设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值 时，n等于 A.6 B.7 C.8 D.9 解析 设等差数列an的公差为d， a4a66，a53， 故当等差数列an的前n项和Sn取得最小值时，n等于6. 1234 2.数列1,12,1222，12222n1，的前99项和为 A.2100101 B.299101C.210099 D.29999 所以，前99项的和为S99(21)(221)(2991) 1234 3.等比数列
12、an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4 log2a5 . 5 解析 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5 1234 4.已知数列an的通项公式为an ，试判断此数列是否有最大项？若有， 第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由. 1234 当n0，即an1an； 当n8时，an1an0，即an1an； 当n8时，an1ana10a11， 故数列an有最大项，为第8项和第9项， 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经 常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两 种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题. 2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项， 然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形 式，从而选择合适的方法求和. 3.在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取 值范围、存在性问题.