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1、第1课时 等差数列的概念及通项公式 第二章 2.2 等差数列 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.理解等差数列的定义. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些 简单的问题. 3.掌握等差中项的概念. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用 字母d表示，可正可负可为零. 知识点二 等差中项的概念 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的 ，且
2、A . 2常数 公差 等差中项 思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差 数列： (1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b. 知识点三 等差数列的通项公式 若一个等差数列an，首项是a1，公差为d，则an .此公式可用累 加法证明. a1(n1)d 1.数列4,4,4，是等差数列.( ) 2.数列3,2,1是等差数列.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 3.数列an的通项公式为an 则an是等差数列.( ) 4.等差数列an中，a1，n，d，an任给三个，可求其
3、余.( ) 2题型探究 PART TWO 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，2n11，； (2)1,11,23,35，12n13，； (3)1,2,1,2，； (4)1,2,4,6,8,10，； (5)a，a，a，a，a，. 解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列. 反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每 一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数 列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an1an(n1，nN*)是不是一个 与n无关的常数. 跟踪训练1 数列a
4、n的通项公式an2n5，则此数列 A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 解析 an1an2(n1)5(2n5)2， an是公差为2的等差数列. 题型二 等差中项 例2 在1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此 数列. 解 1，a，b，c,7成等差数列， b是1与7的等差中项， 该数列为1,1,3,5,7. 反思感悟 在等差数列an中，由定义有an1ananan1(n2，nN*)， 即an，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项 都是它前一项与后一项的等差中项. 跟踪训练2 若m和2n的等差中项
5、为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差 中项. 解 由m和2n的等差中项为4，得m2n8. 又由2m和n的等差中项为5，得2mn10. 两式相加，得3m3n18，即mn6. 所以m和n的等差中项为 3. 题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列an中，已知a612，a1836，求通项公式an. 解得d2，a12. an2(n1)22n(nN*). 反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称 为方程思想.等差数列an中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构 成物质的基本粒子，我们可以称为基本量. 跟踪训练3 在等差数列an中， (1)若a51
6、5，a1739，试判断91是否为此数列中的项. 所以an72(n1)2n5. 令2n591，得n43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项. (2)若a211，a85，求a10. an12(n1)(1)13n， 所以a1013103. 核心素养之逻辑推理 HEXINSUYANGZHILUOJITUILIHEXINSUYANGZHILUOJITUILI 等差数列的判定与证明 典例1 已知数列an满足an13an3n，且a11. 证明 由an13an3n，两边同时除以3n1， (2)求数列an的通项公式. 故ann3n1，nN*. 典例2 已知数列an：a1a21，anan12(n3). (
7、1)判断数列an是否为等差数列？说明理由； 解 当n3时，anan12，即anan12， 而a2a10不满足anan12(n3)， an不是等差数列. (2)求an的通项公式. 解 当n2时，an是等差数列，公差为2. 当n2时，an12(n2)2n3， 又a11不适合上式， 素养评析 (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明anan1 d(n2，d为常数)或an1and(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列， 则只需举出反例即可. (2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学 生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养. 3达标
8、检测 PART THREE 12345 1.下列数列不是等差数列的是 A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 12345 2.已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d为 A.2 B.3 C.2 D.3 解析 由等差数列的定义，得da2a1112. 12345 3.已知在ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于 A.30 B.60 C.90 D.120 解析 因为A，B，C成等差数列， 所以B是A，C的等差中项，则有AC2B， 又因为ABC180， 所以3B180，从而B60. 12345 4.若数列an满足3an13an1，则数列an是 A.公差为1的等差数列
9、B.公差为 的等差数列 C.公差为 的等差数列D.不是等差数列 12345 5.已知等差数列1，1，3，5，89，则它的项数是 A.92 B.47 C.46 D.45 解析 d112， 设89为第n项， 则89a1(n1)d1(n1)(2)，n46. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)an1and(d为常数，nN*)an是等差数列； (2)2an1anan2(nN*)an是等差数列； (3)anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可. 2.由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d， 就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任 意三个量，就可以求出另一个量.