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1、章末复习 第一章 解三角形 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识. 2.掌握解三角形的基本类型，并能在几何计算、测量应用中灵活分解 组合. 3.能解决三角形与三角变换、平面向量的综合问题. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 达标检测 1知识梳理 PART ONE 1.正弦定理及其推论 设ABC的外接圆半径为R，则 (1) _. (2)a_，b_，c_. (3)sin A_，sin B_，sin C_. (4)在ABC中，AB_. 2R 2Rsin A 2Rsin B2Rsin C absin Asin B (2)cos A_；co
2、s B_；cos C_. (3)在ABC中，c2a2b2C为_；c2a2b2C为_；c2a2b2C 为_. 2.余弦定理及其推论 (1)a2_，b2 _，c2_. 3.三角形面积公式 b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C 直角钝角 锐角 4.应用举例 (1)测量距离问题； (2)测量高度问题； (3)测量角度问题. 2题型探究 PART TWO 题型一 利用正弦、余弦定理解三角形 例1 (1)若锐角ABC的面积为 ，且AB5，AC8，则BC . 7 反思感悟 利用正弦、余弦定理寻求三角形各元素之间的关系来解决三角形 及其面积问题. 跟踪训练1 (1)在ABC
3、中，A45，AB1，AC2，则SABC的值为 (2)已知锐角ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为 A.75 B.60 C.45 D.30 三角形为锐角三角形. C30. 题型二 几何计算 例2 如图，在矩形ABCD中，AB ，BC3，E在AC上， 若BEAC，则ED . 所以BAC60. 在EAD中，EAD30，AD3， 反思感悟 正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦 定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决. 由题意知0ADB60， ADB45， BAD1804512015. 题型三 实际应用 例3 如图，已知在东西走向上有AM，BN两个发射塔，
4、且AM100 m，BN 200 m，一测量车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该 测量车向北偏西60方向行驶了 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B的 仰角为，且BQA，经计算，tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离. 解 在RtAMP中，APM30，AM100 m， 在PQM中，QPM60， 所以PQM为等边三角形， 在RtAMQ中，由AQ2AM 2QM 2，得AQ200 m. 在RtBNQ中，因为tan 2，BN200 m， 在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos ， 反思感悟 实际应用问题的解决过程实质上就是抽象成几何计算模型，在此 过程中注意术语如“北偏西
5、60”、“仰角”的准确翻译，并转换为解三角形 所需边、角元素. 跟踪训练3 如图，从无人机A上测得正前方的河流的 两岸B，C的俯角分别为75，30，此时无人机的高是60 m，则河流的宽度BC等于 解析 如图，在ADC中，CAD903060，AD60 m， 在ABD中，BAD907515， 题型四 三角形中的综合问题 例4 a，b，c分别是锐角ABC的内角A，B，C的对边，向量p(22sin A， cos Asin A)，q(sin Acos A，1sin A)，且pq，已知a ，ABC的 面积为 ，求b，c的大小. 解 p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1s
6、in A)， 又pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0， 即4sin2A30， 反思感悟 解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、 三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解. (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题 目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求 选择正弦或余弦定理求解. (1)求A的度数； 4(1cos A)4cos2A5， 即4cos2A4cos A10， 0A180，A60. 化简并整理，得(
7、bc)2a23bc， 3达标检测 PART THREE 解析 设角A，B，C的对边分别为a，b，c，abc20， bc20a， 即b2c22bc400a240a， b2c2a240040a2bc， 1234 1.若ABC的周长等于20，面积是 ，A60，则角A的对边长为 A.5 B.6 C.7 D.8 由可知a7. 1234 sin Csin(AB)sin(AB) 1234 又0A，0B，AB， ABC为等腰三角形. 1234 4.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B. (1)求a的值； 解 因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B. 1234