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1、2.1.1 数 列 第二章 2.1 数 列 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.理解数列及其有关概念. 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项. 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 数列及其有关概念 1.按照 排列起来的 称为数列，数列中的每一个数叫做 这个数列的 .数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数 列的 ， ， ，. 2.数列的一般形式可以写成 ，简记为 . 一定次序一列数 项 第1项(或首项)第2项第n项 a1，a2，a
2、3，an，an 思考 数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列吗？ 答案 不是.顺序不一样. 知识点二 通项公式 如果数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式anf(n)来表示， 那么这个公式叫做这个数列的通项公式.不是所有数列都能写出通项公式， 若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一. 知识点三 数列的分类 1.按项数分类：项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_ 数列. 2.按项的大小变化分类：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 _；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做_； 各项都相等的数列叫做 . 有穷无穷 递增数列递减数列 常数列 1.1，1，1
3、，1是一个数列.( ) 2.数列1，3，5，7，的第10项是21.( ) 3.每一个数列都有通项公式.( ) 4.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 题型一 数列的分类 例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是 解析 A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意. 反思感悟 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项， 不能有例外. 跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列
4、？ 哪些是摆动数列？哪些是常数列？ (1)2 010，2 012，2 014，2 016，2 018； 解 (1)(6)是有穷数列； (1)(2)是递增数列； (3)是递减数列； (4)(5)是摆动数列； (6)是常数列. 题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 解 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数， 并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an ，nN. 解 数列中的项，有的是分数，有的是整数， (3)9，99，999，9 999. 解 各项加1后，变为10，100，1 000，10 000， 此数列的通
5、项公式为10n， 可得原数列的一个通项公式为an10n1，nN. 反思感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数 列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号 的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函 数关系. 跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 解 这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数， 并且奇数项为负，偶数项为正， 解 这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数， 分子都是比序号大1的数的平方减1， (3)7，77，777，7 777. 题型三 数列通项公式的简单应用 (2)已知数
6、列an的通项公式为an2n210n4. 问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值. 当n2或3时，an取得最小值，其最小值为a2a38. 反思感悟 (1)判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是 正整数，则y是该数列的项，否则不是. (2)利用函数的性质研究数列的单调性与最值. 10 n(n2)1012，n10. (2)已知数列an中，ann225n(nN)，则数列an的最大项是第 _项. 12或13 当n12或n13时，an最大. 典例 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图 中有_小圆圈. 解析 观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，121，231，
7、34 1，451. 故第n个图中小圆圈的个数为(n1)n1n2n1. 核心素养之逻辑推理 HEXINSUYANGZHILUOJITUILIHEXINSUYANGZHILUOJITUILI 归纳法求数列的通项公式 n2n+1 素养评析 归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题.本例完美诠释了“观察 现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律. 3达标检测 PART THREE 1.下列叙述正确的是 A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B.数列0，1，2，3，可以表示为n C.数列0，1，0，1，是常数列 D.数列 是递增数列 12345 12345 即数列 是递增数列，故选
8、D. 2.数列2，3，4，5，的一个通项公式为 A.ann，nN B.ann1，nN C.ann2，nN D.an2n，nN 解析 这个数列的前4项都比序号大1， 所以，它的一个通项公式为ann1，nN. 12345 3.数列an中，an2n23，nN，则125是这个数列的第_项. 12345 8 解析 令2n23125，解得n8(n8舍去). 所以125是该数列的第8项. 12345 1 12345 5.写出数列：1，3，5，7，9，的一个通项公式. 解 该数列的通项公式为an(1)n1(2n1)，nN. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.与集合中元素的性质
9、相比较，数列中的项也有三个性质 (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性：数列中的数可以重复. (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的 排列次序有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，的不同近似值，依据精确 的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，它没有通项公式.根据所给 数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳. 3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.