《2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：8．6.3 平面与平面垂直 Word版含答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：8．6.3 平面与平面垂直 Word版含答案.doc（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、86.3平面与平面垂直考点学习目标核心素养二面角理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小直观想象、数学运算平面与平面垂直的判定定理理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理直观想象、逻辑推理平面与平面垂直的性质定理理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题直观想象、逻辑推理 问题导学预习教材P155P161的内容，思考以下问题：1二面角的定义是什么？2如何表示二面角？3二面角的平面角的定义是什么？4二面角的范围是什么？5面面垂直是怎样定义的？6面面垂直的判定定理的内容是什么？7面面垂直的性质定理的内容是什么？1二面角(1
2、)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面(2)图形和记法图形：记作：二面角AB或二面角l或二面角PABQ或二面角PlQ2二面角的平面角(1)定义：在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角(2)图形、符号及范围图形：符号：AOB是二面角的平面角范围：0AOB180(3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角名师点拨 (1)二面角的大小与垂足O在l上的位置
3、无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的(2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直3平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面与垂直，记作(2)判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直名师点拨 定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线4平面与平面垂
4、直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线名师点拨 对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直. 判断（正确的打“”，错误的打“”）（1）二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.（）（2）二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.（）（3）如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.（）（4）如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平
5、面.（）（5）如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.（）答案：（1）（2）（3）（4）（5） 在二面角l的棱l上任选一点O，若AOB是二面角l的平面角，则必须具有的条件是（）A.AOBO，AO，BOB.AOl，BOlC.ABl，AO，BOD.AOl，BOl，且AO，BO答案：D 已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面（）A.有1个B.有2个C.有无数个 D.不存在答案：C 若平面平面，平面平面，则（）A. B.C.与相交但不垂直 D.以上都有可能解析：选D.由题意知，与可能平行，也可能相交.如图，与平行，与相交. 如图，P是二面角l内的一点，PA，PB，垂足分别为A，B.
6、若APB80，则二面角l的大小为.答案：100二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1BDA的正切值为（）A.B.C. D.（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A.相等 B.互补C.相等或互补 D.不确定【解析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1DA1B，所以在A1BD中，A1OBD.又因为在正方形ABCD中，ACBD，所以A1OA为二面角A1BDA的平面角.设AA11，则AO.所以tanA1OA.（2）反例：如图，在正方体AB
7、CDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABC的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补.【答案】（1）C（2）D（1）求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示，AOB为二面角a的平面角.方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示，AFE为二面角ABCD的平面角.方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面
8、，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角.如图所示，AOB为二面角l的平面角.提醒二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点. 若P是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA，那么二面角PBCA的大小为.解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则POA为二面角PBCA的平面角，OPOA，PA，所以POA为直角三角形，POA90.答案：90平面与平面垂直的判定角度一利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD中，BDa，ABADCBCDACa.求证：平面ABD平面BCD.【证明】因为ABD
9、与BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，BDCE.在ABD中，ABa，BEBDa，所以AE a.同理CEa，在AEC中，AECEa，ACa.由于AC2AE2CE2，所以AECE，AEC是二面角ABDC的平面角，又因为AEC90，所以二面角ABDC为直二面角，所以平面ABD平面BCD.角度二利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥PABCD中，若PA平面ABCD且四边形ABCD是菱形.求证：平面PAC平面PBD.【证明】因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.又因为BD
10、平面PBD，所以平面PAC平面PBD. 证明平面与平面垂直的两种常用方法（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：找出两相交平面的平面角；证明这个平面角是直角；根据定义，这两个相交平面互相垂直.（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： 如图所示，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.证明：平面PQC平面DCQ.证明：由四边形ABCD为正方形，可得CDAD，又PD平面ABCD，所以PDCD，PDAD，故CD平面AQPD，从而CDPQ.如图所示，
11、取PD的中点E，连接QE.因为PDQA，QAPD，则DEAQ，且DEAQ，从而四边形AQED是平行四边形，则QEAD，所以QEPD，所以DQQP.设QA1，则AB1，PD2.在DQP中，有DQQP，PD2.所以DQ2QP2PD2，故PQD90，即DQPQ.又CDDQD，所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.面面垂直的性质定理的应用已知P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC.【证明】如图，在平面PAC内作ADPC于点D，因为平面PAC平面PBC，平面PAC平面PBCPC，AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面PBC，又BC平
12、面PBC，所以ADBC.因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，因为ADPAA，所以BC平面PAC，又AC平面PAC，所以BCAC. 利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，应注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线. 如图，ABC是正三角形，若AE平面ABC，平面BCD平面ABC，BDCD，求证：AE平面BCD.证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BDCD，所以DMBC.又因为平面BCD平面ABC，DM平面BCD，两平面交
13、线为BC，所以DM平面ABC，又AE平面ABC，所以AEDM.又因为AE平面BCD，DM平面BCD，所以AE平面BCD.垂直关系的综合问题如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：（1）DEDA；（2）平面BDM平面ECA；（3）平面DEA平面ECA.【证明】（1）如图，取EC的中点F，连接DF.因为EC平面ABC，BC平面ABC，所以ECBC.同理可得BDAB，易知DFBC，所以DFEC.在RtEFD和RtDBA中，因为EFEC，EC2BD，所以EFBD.又FDBCAB，所以RtEFDRtDBA，故DEDA.（2）取CA的中点N，连接MN，BN
14、，则MNEC，且MNEC.因为ECBD，BDEC，所以MN綊BD，所以N点在平面BDM内.因为EC平面ABC，所以ECBN.又CABN，ECCAC，所以BN平面ECA.因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD平面ECA，即平面BDM平面ECA.（3）由（2）易知DMBN，BN平面ECA，所以DM平面ECA.又DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA. 垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下： 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD
15、，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）PA底面ABCD；（2）BE平面PAD；（3）平面BEF平面PCD. 证明：（1）因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.（2）因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.（3）因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由（1）知PA底面ABCD，所以PACD.又PAADA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所
16、以PDEF.所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2 D.1解析：选B.正确.线面平行的性质定理；线面垂直的判定定理；这两条直线可能相交或平行或异面；面面垂直的判定定理.2.在下列关于直线m，l
17、和平面，的说法中， 正确的是（）A.若l，且，则lB.若l，且，则lC.若l，且，则lD.若m，且lm，则l解析：选B.A项中l与可以平行或斜交，A项错.B项中，l且，所以l正确.C项中，l可在内，C项错.D项中，l可在内，D项错.3.在三棱锥PABC中，PAPBACBC2，PC1，AB2，则二面角PABC的大小为.解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PMAB，CMAB，所以PMC就是二面角PABC的平面角.在PAB中，PM1，同理MCPC1，则PMC是等边三角形，所以PMC60.答案：604.已知平面，和直线m，l，则下列说法：若，m，lm，则l；若m，l，lm，则l；若，l，则l；若，
18、m，l，lm，则l.其中正确的说法序号为.解析：对于说法缺少了条件：l；说法缺少了条件：；说法缺少了条件：m，lm；说法具备了面面垂直的性质定理的所有条件.答案：5.如图，四边形ABCD，BD2，AB2，AD4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD.求证：ABDE.证明：在ABD中，因为AB2，AD4，BD2，所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又因为平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.因为DE平面EBD，所以ABDE.A基础达标1.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个 D.1个或无数个
19、解析：选D.当两点连线与平面垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.2.从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角l的平面角的大小是（）A.60 B.120C.60或120 D.不确定解析：选C.若点P在二面角内，则二面角的平面角为120；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.3.已知直线a，b与平面，下列能使成立的条件是（）A.， B.a，ba，bC.a，a D.a，a解析：选D.由a，知内必有直线l与a平行.而a，所以l，所以.4.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，则BD与CC1（
20、）A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直解析：选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为ABBC，ADCD.所以BDAC.因为平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，所以BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，所以BDCC1，故选C.5.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，则（）A.存在点G，使PGEF成立B.存在点G，使FGEP成立C.不存在点G，使平面EFG平面ACD成立D.不存在点G，使平面EFG平面ABD成立解析：选C.正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是
21、线段AB的中点，G是直线BD上的动点，在A中，不存在点G，使PGEF成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FGEP成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG平面ABD成立，故D错误.故选C.6.已知PA矩形ABCD所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有对.解析：因为DAAB，DAPA，所以DA平面PAB，同理BC平面PAB，又AB平面PAD，所以DC平面PAD，所以平面PAD平面AC，平面PAB平面AC，平面PBC平面PAB，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5对.答案：57.如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面
22、ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB.解析：因为侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90（即PAAC），PA平面PAC，所以PA平面ABC，所以PAAB，所以PB.答案：8.如图，直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD的长为.解析：如图，连接BC，因为二面角l为直二面角，AC，且ACl，所以AC.又BC，所以ACBC，所以BC2AB2AC23，又BDCD，所以CD.答案：9.如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASBASC60，BSC90.求证：平面ABC平面BSC.证明：取BC的中点D，连接SD、AD（图略）
23、，由SASBSC，ASBASC60，得ABACSA.所以ADBC，SDBC，所以ADS是二面角ABCS的平面角.又BSC90，令SA1，则SD，AD，所以SD2AD2SA2.所以ADS90，所以平面ABC平面BSC.10.如图，三棱台DEFABC中， AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.（1）求证：BD平面FGH；（2）若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明：（1）如图所示，连接DG，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，所以AC2DF.因为G是AC的中点，所以DFGC，且DFGC，所以四边形CFDG是平行四边形，所以DMMC.因为BHHC，所以MH
24、BD.又BD平面FGH，MH平面FGH，所以BD平面FGH.（2）因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.因为ABBC，所以GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，所以四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.因为CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.B能力提升11.将锐角A为60，边长为a的菱形沿BD折成60的二面角，则折叠后A与C之间的距离为（）A.a B.aC.a D.a解析：选C.设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.则BDCE，BDA1E.于是A1EC为二面
25、角A1BDC的平面角.故A1EC60.因为A1ECE，所以A1EC是等边三角形.所以A1ECEA1Ca.12.如图，在四面体PABC中，ABAC，PBPC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是（）A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面PAED.平面PDF平面ABC解析：选D.因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为ABC的中位线，则BCDF，依据线面平行的判定定理，可知BC平面PDF，A成立.又E为BC的中点，且PBPC，ABAC，则BCPE，BCAE，依据线面垂直的判定定理，可知BC平面PAE.因为BCDF，所以DF平面PAE，B成立.又DF
26、平面PDF，则平面PDF平面PAE，C成立.要使平面PDF平面ABC，已知AEDF，则必须有AEPD或AEPF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.13.如图所示，平面四边形ABCD，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列说法中正确的是（）平面ACD平面ABD；ABCD；平面ABC平面ACD.A. B.C. D.解析：选D.因为BDCD，平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，因为CD平面ACD，所以平面ACD平面ABD，故正确；因为平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，所以ABAD，又CD平面ABD，所以ABCD，又ADC
27、DD，所以AB平面ACD，又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面ACD，故正确.14.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD90，ADBC，ABBC1，AD2，PA底面ABCD，PD与底面成45角，点E是PD的中点.（1）求证：BEPD；（2）求二面角PCDA的余弦值.解：（1）证明：连接AE.因为PA底面ABCD，所以PDA是PD与底面ABCD所成的角，所以PDA45.所以PADA.又因为点E是PD的中点，所以AEPD.因为PA底面ABCD，AB底面ABCD，所以PAAB.因为BAD90，所以BADA.又因为PAADA，所以BA平面PDA.又因为PD平面PDA，所以BA
28、PD.又因为BAAEA，所以PD平面ABE.因为BE平面ABE，所以BEPD.（2）连接AC.在直角梯形ABCD中，因为ABBC1，AD2，所以ACCD.因为AC2CD2AD2，所以ACCD，又因为PA底面ABCD，CD底面ABCD，所以PACD.因为ACPAA，所以CD平面PAC.又因为PC平面PAC，所以PCCD，所以PCA为二面角PCDA的平面角.在RtPCA中，PC.所以cosPCA.所以所求二面角的余弦值为.C拓展探究15.已知三棱锥ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且（01）.（1）求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；（2）当为何值时，平面BEF平面ACD？解：（1）证明：因为BCD90，所以BCCD.因为AB平面BCD，所以ABCD.又因为ABBCB，所以CD平面ABC.因为，所以EFCD，所以EF平面ABC.又因为EF平面BEF，所以平面BEF平面ABC.故不论为何值，总有平面BEF平面ABC.（2）由（1）得EF平面ABC，BE平面ABC，所以EFBE.要使平面BEF平面ACD，只需BEAC.因为BCD90，BCCD1，所以BD.又因为AB平面BCD，ADB60，所以AB，AC，所以BE，所以AE，所以.故当时，平面BEF平面ACD.