《2019届高三数学备考冲刺140分问题34椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题（含解析）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学备考冲刺140分问题34椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题（含解析）.doc（30页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、问题34 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题一、考情分析通过近几年各地高考试题可以发现,对圆的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.二、经验分享1.对于圆与圆锥曲线的相交问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。2. 垂直问题的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消去 成y,得到一个
2、二次方程，设交点，韦达定理 代人垂直的数量积坐标公式整理求解。3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。三、知识拓展以MN为直径的圆经过点P，则，可转化为四、题型分析(一) 圆与椭圆的结合点1.1圆的几何性质与椭圆相联系【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆的中心在原点,离心率为,其右焦点是圆：的圆心（1）求椭圆的标准方程；（2）如图,过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线,分别交轴于点、试推断是否存在点,使？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由【分析】(1)由已知条件分别求出的值,而,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点满足题意,设点（）,利用条件求出直线方程,根据圆
3、心到直线的距离为,求出与点坐标之间的关系,同理求出与点坐标之间的关系,利用韦达定理求出的表达式,算出,求出点坐标.【解析】（1）设椭圆方程,半焦距为,因为椭圆的右焦点是圆的圆心,则,因为椭圆的离心率为,则,即,从而,故椭圆的方程为（2）设点（）,则直线的方程为,即,因为圆心到直线的距离为1,即,即,即,同理由此可知,为方程的两个实根,所以,因为点在椭圆上,则,即,则,令,则,因为,则,即,故存在点满足题设条件【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形 (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题【小试牛刀】已知椭圆
4、的离心率为,其左顶点在圆上.（）求椭圆的方程；（）若点为椭圆上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为,是否存在点,使得？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.【答案】（I）；（II）不存在,理由见解析.【解析】（I）因为椭圆的左顶点在圆上,令,得,所以.又离心率为,所以,所以,所以.所以的方程为.（II）设点,设直线的方程为,与椭圆方程联立得,化简得到,因为-4为方程的一个根,所以,所以所以因为圆心到直线的距离为,所以.因为,代入得到,显然,所以不存在直线,使得.1.2 利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系【例2】已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且
5、,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.【分析】（1）把椭圆：化为标准方程,确定,利用求得离心率；（2）设点,其中,由,即,用、表示,当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判断直线与圆的位置关系. 【解析】（1）由题意椭圆的标准方程为,所以,从而,所以.（2）直线与圆相切,证明如下：设点,其中,因为,所以,即,解得,当时,代入椭圆的方程得,此时直线与圆相切.当时,直线的方程为,即,圆心到直线的距离为,又,故.故此直线与圆相切.【小试牛刀】已知椭圆过点,且离心率(1)求椭圆的方程； (2)设直线交椭圆于,两点,判断点与以线段为直径的圆的位置关系,并说明理由【
6、解析】解法一：（1）由已知得,解得,所以椭圆的方程为（2）设点,的中点为由,得,所以,从而,所以,故,所以故点在以为直径的圆外解法二：（1）同解法一（2）设点,则,由,得,所以,从而,所以又,不共线,所以为锐角故点在以为直径的圆外 (二) 圆与双曲线的结合点2.1 利用圆的性质解决双曲线的相关问题由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.【例3】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上
7、存在点使，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在RtPBT中，|BT|PB|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|t|，由于BP与x轴垂直，且BPQ，则在RtPBT中，|BT|PB|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，t0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为，0）；故选：A【小试牛刀
8、】【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月)质量检查】已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，所以，的渐近线方程为.故选B2.2 圆的切线与双曲线相联系 【例4】已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线的中心,是双曲线右支上的点,的内切圆的圆心为,且圆与轴相切于点,过作直线的垂线,垂足为,若为双曲线的离心率,则( )A. B. C. D. 与关系不确定【答案】C【解析】设内切圆在上的
9、切点为,上的切点为,上的切点为,的坐标为,即,延长交于,是角平分线和垂线,是的中点,是的中点,是中位线,.【小试牛刀】已知点、为双曲线：的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且圆的方程是（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点,中点为,求证：【解析】（1）设的坐标分别为因为点在双曲线上,所以,即,所以 在中,所以 由双曲线的定义可知：故双曲线的方程为： （2）由条件可知：两条渐近线分别为 设双曲线上的点,设两渐近线的夹角为,则则点到两条渐近线的距离分别为 因为在双曲线：上,所
10、以又, 所以 （3）由题意,即证：.设,切线的方程为： 当时,切线的方程代入双曲线中,化简得：所以： 又 所以 当时,易知上述结论也成立 所以 综上,所以 (三) 圆与抛物线的结合点3.1圆的性质与抛物线相结合【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的4 ,杯深20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径r最大取 时,才能使玻璃球触及杯底【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为,因为过点,所以,即.玻璃球触及杯底,就是小球的截面圆与抛物线有且仅有一个交点,即原点.由与消去得：或因为有且仅有一个交点,即原点,所以即半径r最大取1. 【小试牛刀】【广东省
11、2019届天河区普通高中毕业班综合测试（二)】已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则( )A2 B C4 D【答案】B【解析】把代入可得，不妨设M在第一象限，则，又，直线AM的方程为，即，原点O到直线AP的距离，以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，解得故选：B3.2 抛物线的性质与圆的相联系【例6】已知椭圆离心率为,焦距为,抛物线的焦点是椭圆的顶点.（）求与的标准方程；（）设过点的直线交于两点,若的右顶点在以为直径的圆内,求直线的斜率的取值范围.【分析】（）椭圆的焦距为,得椭圆的标准方程,得到抛物线焦点,
12、可得抛物线方程；（）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得,在以为直径的圆内,得结果.【解析】（）设椭圆的焦距为,依题意有,解得,故椭圆的标准方程为,又抛物线开口向上,故是椭圆的上顶点,故抛物线的标准方程为.（）由题意可设直线的方程为：,设点,联立得,由韦达定理得,.在以为直径的圆内.【小试牛刀】已知抛物线C：的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程.【解析】（I）设,代入,得由题设得,解得（舍去）或,C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直,
13、故可设的方程为,代入得设则故的中点为又的斜率为的方程为将上式代入,并整理得设则故的中点为由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,从而即,化简得,解得或所求直线的方程为或四、迁移运用1【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，且切点为，已知为坐标原点，为线段的中点（点在切点的右侧），若的周长为，则双曲线的渐近线的方程为( )ABCD【答案】B【解析】解：连OT，则OTF1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|b连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点OMPF2，|MO|MT|PF2（ PF1F1T）（PF2PF1）+bba又|MO|+|MT|+|T
14、O|=，即|MO|+|MT|=3a故|MO|=, |MT|=,由勾股定理可得：，即渐近线方程为：故选：B2【山东省淄博市2018-2019学年度高三3月模拟】已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为A B C2 D【答案】D【解析】由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点为圆的直径 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形又，可得： 本题正确选项：3【河南省濮阳市2019届高三下学期摸底】双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意可得，且，菱形的边长为，
15、由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D由面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，可得，或(舍去)故选：C4【广东省潮州市2019届高三上学期期末】已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，且双曲线C与圆在第一象限相交于点A，且，则双曲线C的离心率是A B C D【答案】A【解析】双曲线C与圆在第一象限相交于点A，可得，由，可得，由，可得，即为，即有，即有故选：A5.【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距
16、离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.6【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三上学期期末】已知椭圆的右焦点为，离心率为e，过原点斜率为k的直线与椭圆交于A、B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，以MN为直径的圆过原点O，若，则e的取值范围是 A B C D【答案】D【解析】记线段MN与x轴交点为C 的中点为M，BF的中点为N，、B为椭圆上关于原点对称的两点，原点O在以线段MN为直径的圆上，设，易得由，可得得，直线AB斜率为，由于，离心率e的取值范围为故选：D7【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲
17、线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为A B C2 D【答案】B【解析】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线 因为是双曲线的左、右焦点所以（-c，0），（c，0）因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）则 解得所以为（）因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为 将以的（）代入圆的方程得化简整理得 ，所以 所以选B8【河南省中原名校（即豫南九校)2018届高三第六次质量考评】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为（ ）A BC D
18、【答案】D【解析】由题得直线AB的方程为即y=x-1,设A，联立所以，|AB|=所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4.所以该圆E的方程为.所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，使得DPDQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，PDQ最大，此时应满足PDQ，所以，整理得.解之得，故选D.9【河北省石家庄市2018届高三下学期一模】已知， 分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于， 两点， 的内切圆半径为， 的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D【解析】设的内切圆圆心为
19、 ， 的内切圆圆心为，边 上的切点分别为 易见 横坐标相等，则 由 即 得 即 ，记 的横坐标为 ，则 ，于是 ，得 同理内心 的横坐标也为 则有轴，设直线的倾斜角为，则 则 故选D.10【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )A. 23 B. 42 C. 12 D. 52【答案】A【解析】由题意抛物线过定点（2，4），得抛物线方程，焦点为F(2,0).圆的标准方程为，所以圆心为（2，0），半径r=1.由于直线过焦点，所以有，又 = ，当且仅当时等号成立。选A.11【湖北七
20、市（州）教研协作体2018年3月高三联考】已知圆： 与抛物线： 相交于， 两点，分别以点， 为切点作圆的切线.若切线恰好都经过抛物线的焦点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得设A， ，联立圆E和抛物线得： ，代入点A得,又AF为圆的切线，故，由抛物线得定义可知：AF=，故化简得： ，将点A代入圆得： ，而=，故故选A12【福建省2019届适应性练习】椭圆的右焦点为，左顶点为，线段的中点为，圆过点，且与交于， 是等腰直角三角形，则圆的标准方程是_【答案】【解析】如图设A（a，0），可得a1，c1，b2a21，线段AF的中点为B（，0），圆F的圆心为F（1，0），半径r|BF
21、|，设D（m，n），（m0，n0），E（m，n），由BDE为等腰直角三角形，可得kBD1，即1，即nm，由D在圆F：（x1）2+y2（）2上，可得（m1）2+（m）2（）2，化简可得（m1）（2m1+a）0，解得m1或m（舍去），则n，将D（1，）代入椭圆方程，可得1，化简可得a2或（舍去），则圆F的标准方程为（x1）2+y2，故答案为：（x1）2+y213【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点若以为直径的圆过点，则的值为_【答案】4【解析】假设k存在，设AB方程为：yk（x1），与抛物线y24x联立得k2（x22x+
22、1）4x，即k2x2（2k2+4）x+k20 设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），以为直径的圆过点,QBA90，（x12）（x1+2）+y120，x12+y124，x12+4x110（x10），x12，x1x21，x22，|AF|BF|（x2+1）（x1+1）4，故答案为：414【北京市顺义区2019届高三期末】已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是以，为直径的圆与该双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率是_【答案】【解析】设，由于P是以为直径的圆与该双曲线的一个交点则是直角三角形，由，则，故答案为：15【河南省许昌高级中学2019届高三复习诊断（二)】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为
23、1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由题意可得，直线的方程为，联立方程组，可得，设，则，设，则，又，所以圆是以为圆心，4为半径的圆，所以点恒在圆外圆上存在点，使得以为直径的圆过点，即圆上存在点，使得，设过点的两直线分别切圆于点，要满足题意，则，所以，整理得，解得，故实数的取值范围为16【宁夏吴忠市2019届高三下学期第一次模拟】在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为.过的直线交于，两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）圆与轴正半轴相交于两点，（点在点的左侧），过点任作一条直线与椭圆相交于，两点，
24、连接，求证.【解析】 (1)设椭圆C的方程为(ab0)因为离心率为，所以，解得，即.又PQF2的周长为|PQ|PF2|QF2|(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)2a2a4a，所以又PQF2的周长为，即a2，b2，所以椭圆C的方程为.(2)把y0代入(y2)2,解得x1或x4，因为点在点的左侧，即点M(1，0)，N(4，0)当ABx轴时，由椭圆的对称性可知ANMBNM.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为yk(x1)联立 (k22)x22k2xk280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为y1k(x11)，y2k(x21)，所以kANkBN.因为(x1
25、1)(x24)(x21)(x14)2x1x25(x1x2)88，所以kANkBN0，所以ANMBNM，综上所述，ANMBNM.17已知的左、右焦点分别为,点在椭圆上,且的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上任意一点,分别是椭圆的左、右顶点,直线与直线分别交于两点,试证：以为直径的圆交轴于定点,并求该定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析,或.【解析】（1）因为,所以,.由题意得,解得.从而,结合,得,故椭圆的方程为.（2）由（1）得,设,则直线的方程为,它与直线的交点的坐标为,直线的方程为,它与直线的交点的坐标为,再设以为直径的圆交轴于点,则,从而,即,即,解得.故以为直径的圆
26、交轴于定点,该定点的坐标为或.18已知椭圆：的左焦点为,其左、右顶点为、,椭圆与轴正半轴的交点为,的外接圆的圆心在直线上.（I）求椭圆的方程；（II）已知直线：,是椭圆上的动点,垂足为,是否存在点,使得为等腰三角形？若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(I)；(II)或.【解析】（I）由题意知,圆心既在的垂直平分线上,也在的垂直平分线上,设的坐标为,则的垂直平分线方程为因为的中点坐标为,的斜率为所以的垂直平分线的方程为联立解得: ,即,因为在直线上,所以（4分）即因为,所以再由求得所以椭圆的方程为（7分）（II）若,即解得,(显然不符合条件,舍去).此时所以满足条件的点的坐标为
27、.综上,存在点或,使得为等腰三角形19已知椭圆的右焦点为,点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）点在圆上,且在第一象限,过作的切线交椭圆于两点,问：的周长是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得,椭圆的方程为.（2）由题意,设的方程为,与圆相切,即,得,设,则,又,同理,（定值）.20已知椭圆的焦距为2,左、右顶点分别为,是椭圆上一点,记直线的斜率为,且有.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点,以为直径的圆经过原点,且线段的垂直平分线在轴上的截距为,求直线的方程.【答案】（1）；（2） 【解析】（1）依题意,设,则有,即,即椭圆的方程为；（2）设,的中点为,联立得到, , 因为以为直径的圆经过原点,所以,化简得 将式代入得到代入式得到,由于线段的垂直平分线经过点,将代入得到 联立得或1,因为,所以,.所以直线的方程为.