2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第八章 立体几何与空间向量8.4 .pdf

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1、大一轮复习讲义 8.4直线、平面平行的判定与性质 第八章立体几何与空间向量 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1.线面平行的判定定理和性质定理 ZHISHISHULIZHISHISHULI la a l 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 平面外一条直线与的一条 直线平行，则该直线与此平面平行( 简记为“线线平行线面平行”)l 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这 条直线的任一平面与此平面的 _ 与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) lb 此平面内 交线 la l b _ _ _

2、 2.面面平行的判定定理和性质定理 _ _ _ _ _ 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 一个平面内的两条与 另一个平面平行，则这两个平 面平行(简记为“线面平行面 面平行”) 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三 个平面，那么它们的_ 平行 ab 相交直线 相交 交线 _ _ _ a b b abP a b 1.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？ 【概念方法微思考】 提示不都平行.该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直 线异面. 2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行， 那么这两个平面平行吗？ 提示平行.可以转化为“一个

3、平面内的两条相交直线与另一个平面平行”， 这就是面面平行的判定定理. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.() (2)平行于同一条直线的两个平面平行.() (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.() (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.() (5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.() (6)若，直线a，则a.() 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 题组一思考辨析 12345 6 题组二教材改编 12345 2.P58练习T3平面

4、平面的一个充分条件是 A.存在一条直线a，a，a B.存在一条直线a，a，a C.存在两条平行直线a，b，a，b，a，b D.存在两条异面直线a，b，a，b，a，b 解析若l，al，a，a，则a，a，故排除A. 若l，a，al，则a，故排除B. 若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C. 故选D. 6 3.P62A组T3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1 与平面AEC的位置关系为_.平行 12345 解析连接BD，设BDACO，连接EO， 在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点， 所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO， 而BD1平面ACE，EO

5、平面ACE， 所以BD1平面ACE. 6 题组三易错自纠 12345 4.对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题是真命题的是 A.若m，n，则mnB.若m，n，则mn C.若m，n，则mnD.若m，n，则mn 解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误； 对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误； 对C，m与n垂直而非平行，故C错误； 对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确. 6 12345 5.若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有 直线中 A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的

6、直线 解析当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A. 6 12345 6.设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件： a，b，a，b；，； ，；a，b，ab. 其中能推出的条件是_.(填上所有正确的序号) 解析在条件或条件中，或与相交； 由，条件满足； 在中，a，abb，又b，从而，满足. 6 2题型分类深度剖析 PART TWO 题型一直线与平面平行的判定与性质 多维探究多维探究 命题点1直线与平面平行的判定 例1(2018 绍兴模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，AB AC2，点M，N分别为A1C1，AB1的中点. (1)证明：MN平面BB1C1

7、C； 证明连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，A1B的中点， 所以MN为A1BC1的一条中位线， 所以MNBC1， 又MN平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C， 所以MN平面BB1C1C. (2)若CMMN，求三棱锥MNAC的体积. 解设点D，E分别为AB，AA1的中点，AA1a， 连接ND，CD， 则 CM2a21，MN21a 24 4 a 28 4 ， CN2a 2 4 5a 220 4 ， 由CMMN，得CM2MN2CN2， 解得 a 2， 又NE平面AA1C1C，NE1， V 三棱锥 MNACV三棱锥 NAMC1 3SAMC NE 1 3 1 22 21 2 3 . 所以三

8、棱锥 MNAC 的体积为 2 3 . 命题点2直线与平面平行的性质 例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E， F分别是线段AD，PB的中点，PAAB1. (1)证明：EF平面PDC； 证明取PC的中点M，连接DM，MF， M，F分别是PC，PB的中点， MFCB，MF1 2CB， E为DA的中点，四边形ABCD为正方形， DECB，DE1 2CB， MFDE，MFDE， 四边形DEFM为平行四边形， EFDM， EF平面PDC，DM平面PDC， EF平面PDC. (2)求点F到平面PDC的距离. 解EF平面PDC， 点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距

9、离. PA平面ABCD， PADA， 在RtPAD中，PAAD1， DP 2， PA平面ABCD， PACB， CBAB，PAABA，PA，AB平面PAB， CB平面PAB， CBPB，则 PC 3， PD2DC2PC2， PDC为直角三角形，其中PDCD， SPDC1 21 2 2 2 ， 则1 3h 2 2 1 31 1 2 1 21，h 2 4 ， 连接EP，EC，易知VEPDCVCPDE， 设E到平面PDC的距离为h， CDAD，CDPA，ADPAA， AD，PA平面PAD， CD平面PAD， F 到平面 PDC 的距离为 2 4 . 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用

10、线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba). (3)利用面面平行的性质(，aa). (4)利用面面平行的性质(，a，aa). (1)求证：EF平面PAD； 跟踪训练 1 (2019 崇左联考)如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAC平面 ABCD，且 PAAC，PAAD2，四边形 ABCD 满足 BCAD，ABAD，AB BC1.点 E，F 分别为侧棱 PB，PC 上的点，且PE PB PF PC(0). 证明 PE PB PF PC(0)，EFBC. BCAD，EFAD. 又EF平面PAD，AD平面PAD， EF平面PAD. (2)当 1 2时，求点 D

11、 到平面 AFB 的距离. 平面PAC平面ABCD，且平面PAC平面ABCDAC，PAAC，PA平面 PAC， PA平面ABCD，PABC. 又ABAD，BCAD，BCAB， 又PAABA，PA，AB平面PAB， BC平面PAB， 解 1 2，F 是 PC 的中点， 在 RtPAC 中，PA2，AC 2， PCPA2AC2 6， PF1 2PC 6 2 . BCPB，在 RtPBC 中，BF1 2PC 6 2 . 连接BD，DF，设点D到平面AFB的距离为d， 在等腰三角形 BAF 中，BFAF 6 2 ，AB1， SABF 5 4 ， 又SABD1，点F到平面ABD的距离为1， 由 VFAB

12、DVDAFB，得1 311 1 3d 5 4 ，解得 d4 5 5 ， 即点 D 到平面 AFB 的距离为4 5 5 . 例3如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC， A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； 题型二平面与平面平行的判定与性质 师生共研师生共研 证明G，H分别是A1B1，A1C1的中点， GH是A1B1C1的中位线， GHB1C1. 又B1C1BC， GHBC， B，C，H，G四点共面. (2)平面EFA1平面BCHG. 证明E，F分别是AB，AC的中点，EFBC. EF平面BCHG，BC平面BCHG， EF平面BCHG.

13、 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB且A1B1AB， A1GEB，A1GEB， 四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB. 又A1E平面BCHG，GB平面BCHG， A1E平面BCHG. 又A1EEFE，A1E，EF平面EFA1， 平面EFA1平面BCHG. 引申探究 1.在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变 为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1平面AC1D. 证明如图所示，连接A1C，AC1，交于点M， 四边形A1ACC1是平行四边形， M是A1C的中点，连接MD， D为BC的中点，A1BDM. A1B平面A

14、1BD1，DM平面A1BD1， DM平面A1BD1， 又由三棱柱的性质知，D1C1BD且D1C1BD， 四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1. 又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1， 又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D， 因此平面A1BD1平面AC1D. 2.在本例中，若将条件“E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点” 变为“点 D，D1分别是 AC，A1C1上的点，且平面 BC1D平面 AB1D1”，试 求AD DC的值. 解连接A1B，AB1，交于点O，连接OD1. 由平面BC1D平面AB1D1， 且平面A1BC1平面BC1

15、DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O， 所以 BC1D1O，则A1D1 D1C1 A1O OB 1. 同理，AD1C1D， 又ADC1D1， 所以四边形ADC1D1是平行四边形， 所以ADD1C1， 又ACA1C1， 所以A1D1 D1C1 DC AD，所以 DC AD1，即 AD DC1. 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 跟踪训练2如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD

16、是正方形，BF平面 ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M为棱AE的中点. (1)求证：平面BDM平面EFC； 证明如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN， 又M为棱AE的中点，MNEC. MN平面EFC，EC平面EFC， MN平面EFC. BF平面ABCD，DE平面ABCD，且BFDE， BFDE且BFDE， 四边形BDEF为平行四边形，BDEF. BD平面EFC，EF平面EFC，BD平面EFC. 又MNBDN，MN，BD平面BDM， 平面BDM平面EFC. (2)若AB1，BF2，求三棱锥ACEF的体积. 解连接EN，FN. 在正方形ABCD中，ACBD， 又BF平面AB

17、CD，BFAC. 又BFBDB，BF，BD平面BDEF， AC平面BDEF， 又N是AC的中点， V三棱锥ANEFV三棱锥CNEF， V 三棱锥 ACEF2V三棱锥 ANEF21 3ANSNEF2 1 3 2 2 1 2 22 2 3， 三棱锥 ACEF 的体积为2 3. 题型三平行关系的综合应用 师生共研师生共研 例4如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平 行四边形. (1)求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH； 证明四边形EFGH为平行四边形， EFHG. HG平面ABD，EF平面ABD， EF平面ABD. 又EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB， EF

18、AB，又AB平面EFGH，EF平面EFGH， AB平面EFGH.同理可证，CD平面EFGH. (2)若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的取值范围. 解设EFx(0x4)， EFAB，FGCD， CF CB x 4，则 FG 6 BF BC BCCF BC 1x 4. FG63 2x. 四边形EFGH为平行四边形， 四边形 EFGH 的周长 l2 x63 2x 12x. 又0x4，8l12， 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12). 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中， 常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决. 跟踪训练3如图，

19、E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1 的中点，过A，C，E三点作平面与正方体的面相交. (1)画出平面与正方体ABCDA1B1C1D1各面的交线； 解如图，交线即为EC，AC，AE，平面即为平面AEC. (2)求证：BD1平面. 证明连接AC，BD，设BD与AC交于点O，连接EO， 四边形ABCD为正方形， O是BD的中点， 又E为DD1的中点. OEBD1，又OE平面，BD1平面. BD1平面. 3课时作业 PART THREE 基础保分练 12345678910111213141516 1.(2018 温州模拟)已知，为两个不同的平面，直线l，那么“l”是 “”的 A.充分不必要条

20、件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析若l，且l，则，相交或平行， 故l且lD/，而且ll， 所以“l”是“”的必要不充分条件，故选B. 12345678910111213141516 2.已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是 A.若，垂直于同一平面，则与平行 B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 解析A项，可能相交，故错误； B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； C项，若m，n，mn，则m，故错误； D项，假设m，n垂直

21、于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确. 12345678910111213141516 3.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交 于DE，则DE与AB的位置关系是 A.异面B.平行 C.相交D.以上均有可能 解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1. AB平面ABC，A1B1平面ABC， A1B1平面ABC. 平面A1B1EC平面ABCDE， DEA1B1，DEAB. 12345678910111213141516 4.(2019 台州模拟)若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平 面平行的棱有 A.0条B.1条 C.2条D.0条或

22、2条 解析如图设平面截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形， 则EFGH，EF平面BCD，GH平面BCD， 所以EF平面BCD， 又EF平面ACD，平面ACD平面BCDCD， 则EFCD，EF平面EFGH，CD平面EFGH，则CD平面EFGH， 同理AB平面EFGH，所以该三棱锥与平面平行的棱有2条，故选C. 解析由线面垂直的判定定理，可知C正确. 12345678910111213141516 5.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下列给出的条件 中一定能推出m的是 A.且mB.且m C.mn且nD.mn且 12345678910111213141516 6.如图，在下列四

23、个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是 12345678910111213141516 解析A项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB. QD平面MNQQ， QD与平面MNQ相交， 直线AB与平面MNQ相交； B项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ， ABMQ， 又AB平面MNQ，MQ平面MNQ， AB平面MNQ； 12345678910111213141516 C项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ， ABMQ， 又AB平面MNQ，MQ平面MNQ， AB平面MNQ； D项，作如图所示的

24、辅助线，则ABCD，CDNQ， ABNQ， 又AB平面MNQ，NQ平面MNQ， AB平面MNQ. 故选A. 12345678910111213141516 7.(2018 杭州模拟)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给 出下列四个命题： 若m，n，则mn； 若，m，则m； 若n，mn，m，则m； 若m，n，mn，则. 其中是真命题的是_.(填序号) 解析mn或m，n异面，故错误； 易知正确； m或m，故错误； 或与相交，故错误. 12345678910111213141516 8.棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正 方体的截面，则截面的

25、面积是_. 9 2 解析由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是AA1B的中位线， 所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为. 9 2 12345678910111213141516 9.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E 为AD的中点，点F在CD上.若EF平面AB1C，则线段EF 的长度为_. AC2 2. 2 解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2， 又E为AD中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC， EFAC，F为DC中点， EF1 2AC 2. 12345678910111213141516 10.(2018 金华模拟)如图所

26、示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH 及其内部运动，则M只需满足条件_时， 就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全 部可能情况) 解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD， 平面FHN平面B1BDD1，只需MFH， 则MN平面FHN， MN平面B1BDD1. 点M在线段FH上(或点M与点H重合) 12345678910111213141516 11.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形. (1)证明：平面A1BD平面CD1B1

27、； 12345678910111213141516 证明由题设知BB1DD1且BB1DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BDB1D1. 又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1， 所以BD平面CD1B1. 因为A1D1B1C1BC且A1D1B1C1BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BD1C. 又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1， 所以A1B平面CD1B1. 又因为BDA1BB，BD，A1B平面A1BD， 所以平面A1BD平面CD1B1. 12345678910111213141516 (2)若平面ABCD平面B1D1C直线l，证明：B1D1l. 证

28、明由(1)知平面A1BD平面CD1B1， 又平面ABCD平面B1D1Cl， 平面ABCD平面A1BDBD， 所以直线l直线BD， 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形， 所以B1D1BD， 所以B1D1l. 12345678910111213141516 12.(2018 绍兴模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底 面ABCD为梯形，ABCD，AB2DC，且PAD与ABD均为正三角形， E为AD的中点，G为PAD的重心. (1)求证：GF平面PDC； 2 3 12345678910111213141516 证明连接AG并延长交PD于点H，连接

29、CH. 由梯形 ABCD 中，ABCD 且 AB2DC 知，AF FC 2 1. 又 E 为 AD 的中点，G 为PAD 的重心，AG GH 2 1. 在AHC 中，AG GH AF FC 2 1，故 GFHC. 又HC平面PCD，GF平面PCD， GF平面PDC. 12345678910111213141516 (2)求三棱锥GPCD的体积. 12345678910111213141516 解方法一由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为 AD的中点， 知PEAD，BEAD， 又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD， PE平面ABCD，且PE3， 由(1)知GF平面P

30、DC， V 三棱锥 GPCDV三棱锥 FPCDV 三棱锥 PCDF1 3PESCDF. 又由梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB2DC2 3， 知 DF1 3BD 2 3 3 ， 12345678910111213141516 又ABD为正三角形，得CDFABD60， SCDF1 2CDDFsinBDC 3 2 ， 得 V 三棱锥 PCDF1 3PESCDF 3 2 ， 三棱锥 GPCD 的体积为 3 2 . 方法二由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为AD的 中点，知PEAD，BEAD， 又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD， PE平面ABCD，且PE3，连接C

31、E， 12345678910111213141516 PG2 3PE， V 三棱锥 GPCD2 3V 三棱锥 EPCD2 3V 三棱锥 PCDE2 3 1 3PESCDE， 得 SCDE1 2CDDEsinEDC 3 3 4 . 又ABD为正三角形，得EDC120， V 三棱锥 GPCD2 3 1 3PESCDE 2 3 1 33 3 3 4 3 2 ， 三棱锥 GPCD 的体积为 3 2 . 技能提升练 12345678910111213141516 13.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点， 且EF，则下列结论中错误的是 A.ACBF B.三棱

32、锥ABEF的体积为定值 C.EF平面ABCD D.异面直线AE，BF所成的角为定值 2 2 12345678910111213141516 解析ABCDA1B1C1D1为正方体， 易证AC平面BDD1B1， BF平面BDD1B1， ACBF，故A正确； 对于选项B，E，F，B在平面BDD1B1上， A到平面BEF的距离为定值， EF 2 2 ，B 到直线 EF 的距离为 1， BEF的面积为定值， 三棱锥ABEF的体积为定值，故B正确； 12345678910111213141516 对于选项C，EFBD，BD平面ABCD，EF平面ABCD， EF平面ABCD，故C正确； 对于选项D，异面直线

33、AE，BF所成的角不为定值，令上底面中心为O， 当F与B1重合时，E与O重合，易知两异面直线所成的角是A1AO， 当E与D1重合时，点F与O重合，连接BC1，易知两异面直线所成的角是 OBC1，可知这两个角不相等， 故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误. 12345678910111213141516 14.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱 柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，M，N分别在 AD1，BC上移动，始终保持MN平面DCC1D1，设BN x，MNy，则函数yf(x)的图象大致是 12345678910111213141516 解析过M作MQDD1，

34、交AD于点Q，连接QN. MQ平面DCC1D1，DD1平面DCC1D1， MQ平面DCC1D1， MN平面DCC1D1， MNMQM， 平面MNQ平面DCC1D1. 又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC， NQDC，可得QNCDAB1，AQBNx， 12345678910111213141516 在RtMQN中，MN2MQ2QN2，即y24x21， y24x21(x0，y1)， 函数yf(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.故选C. MQ AQ DD1 AD 2，MQ2x. 拓展冲刺练 12345678910111213141516 15.如图，在三棱锥SABC

35、中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC 10，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且D，E分别是AB， BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为 A.45 2 B.45 3 2 C.15 D.45 3 12345678910111213141516 解析取AC的中点G，连接SG，BG. 易知SGAC，BGAC，SGBGG，SG，BG平面SGB， 故AC平面SGB， 所以ACSB. 因为SB平面DEFH，SB平面SAB， 平面SAB平面DEFHHD，则SBHD. 同理SBFE. 又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，

36、从而得 HFAC 且 HF1 2AC，DEAC 且 DE 1 2AC， 12345678910111213141516 所以HFDE且HFDE， 所以四边形DEFH为平行四边形. 因为ACSB，SBHD，DEAC， 所以DEHD，所以四边形DEFH为矩形， 其面积 SHF HD 1 2AC 1 2SB 15. 12345678910111213141516 16.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四 边形ABCD为直角梯形，AC与BD相交于点O，ADBC， ADAB，ABBCAP3，三棱锥PACD的体积为9. (1)求AD的值； 所以 V 三棱锥 PACD1 3SACDAP 1 3

37、 ABAD 2 AP3AD 2 9，解得 AD6. 解在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， 四边形ABCD为直角梯形， ADBC，ADAB，ABBCAP3， 12345678910111213141516 (2)过点O的平面平行于平面PAB，平面与棱BC，AD，PD，PC分别相交于 点E，F，G，H，求截面EFGH的周长. 12345678910111213141516 解方法一由题意知平面平面PAB，平面平面ABCDEF，点O在EF 上，平面PAB平面ABCDAB， 根据面面平行的性质定理，得EFAB， 同理EHBP，FGAP. 又易知BEAF，AD2BC，所以FD2AF. 因为 BCA

38、D，所以BOCDOA且BC AD CO OA 3 6 1 2. ， 因为 EFAB，所以CE BC OC AC 1 3. 因为 FGAP，所以FG AP FD AD 2 3，FG 2 3AP2. 12345678910111213141516 如图，作HNBC，GMAD，NPBN，GMPAM， 则HNGM，HNGM， 所以四边形GMNH为平行四边形，所以GHMN， 因为 EHBP，所以EH PB EC BC 1 3， 所以 EH1 3PB 2. 在PMN 中，MNPN2PM22PNPMcosMPN 8122 2cos 45 5， 又EFAB3， 所以截面 EFGH 的周长为 EFFGGHEH3

39、2 5 25 5 2. 12345678910111213141516 所以BOCDOA，且BC AD CO AO 1 2， 方法二因为平面平面PAB，平面平面ABCDEF，点O在EF上，平面 PAB平面ABCDAB， 所以EFAB，同理EHBP，FGAP. 因为BCAD，AD6，BC3， 所以EO OF 1 2，CE 1 3CB1，BEAF2， 同理CH PC EH PB CO CA 1 3， 12345678910111213141516 所以 EH1 3PB 2， 如图，连接HO，则HOPA， 所以HOEO，HO1， 因为 ADBC，所以OC AO OB DO 1 2. 因为 EFAB，所以FD DA OD BD 2 3. 因为 FGAP，所以FG AP FD DA 2 3， 所以 FG2 3PA2， 12345678910111213141516 则 GHHN2GN2 5， 又EFAB3， 所以截面 EFGH 的周长为 EFFGGHEH32 5 25 5 2. 过点H作HNEF交FG于点N，