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1、 2.52.5指数与指数函数指数与指数函数 1.1.指数幂的概念指数幂的概念 2.2.有理指数幂有理指数幂 3.3.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 教教 材材 研研 读读 考考 点点 突突 破破 考点一考点一指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值 考点二考点二指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 考点三考点三 指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用 1 1. .指数幂的概念指数幂的概念 (1)根式根式 如果一个数的n(n1,且nN*)次方等于a,那么这个数叫做a的n次方根. 也就是说,若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.式子叫做根 式,这里n叫做根指数,a叫做被开
2、方数. (2)根式的性质根式的性质 1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数, n a 教材研读教材研读 这时,a的n次方根用符号表示. 2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正 的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号-表示.正负两个n次方 根可以合写为(a0). 3)()n=a(a使有意义). 4)当n为奇数时,=a; 当n为偶数时,=|a|= n a n a n a n a n a n a nn a nn a (0), (0). aa a a (5)负数没有偶次方根. (6)零的任何次方根都是零. 2.2.有理指数幂有理指数幂 (
3、1)分数指数幂的表示分数指数幂的表示 1)正数的正分数指数幂: =(a0,m,nN*,n1). 2)正数的负分数指数幂: =(a0,m,nN*,n1). m n a mn a m n a 1 m n a 1 mn a 3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 1)aras=ar+s(a0,r,sQ). 2)(ar)s=ars(a0,r,sQ). 3)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ). 3.3.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 a100时,y1; 当x0时,01 在(-,+)上是单调增函数在(-,+)上是单调减函数 知识拓
4、展知识拓展 指数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中,分别作出指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx(a1,b 1,0b1cd0.根据y轴右侧的图象,也可以 利用口诀“底大图高”来记忆. 1.下列函数中值域为正实数的是(B) A.y=-5xB.y= C.y=D.y= 1 1 3 x 1 1 2 x 12 x 2.设a1b0,则下列不等式中正确的是(D) A.(-a)7lgD. 1 a 1 b 1 lna 1 lnb 3.函数f(x)=2|x-1|的大致图象是(B) 4.计算的结果是(B) A.32B.16 C.64D.128 2 1 4 2 2 2 2 5.函数y=ax(a0,且a1
5、)在1,2上的最大值比最小值大 ,则a的值是 或. 2 a 1 2 3 2 指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值 典例典例1下列结果错误的是(D ) A.+=-1 B.(1.5+80.25+()6-=110 C.=a D.= 32 2 3 3 (12) 4 4 (12)2 1 3 ) 0 7 6 4 2 3 23 2 3 2 3 3 25 a b 35 3 34 b a 4 a 3 13 6 42 3 3 2 考点突破考点突破 解析解析A中,原式=+(1-)+|1-|=(-1)+(1-)+(-1)=- 1; B中,原式=1+2233-=2+427=110; C中,原式= ()=a; D中,原式
6、=- =- =-=-. 2 ( 21)222222 1 3 2 3 3 4 2 1 4 2 1 3 2 3 33 2 12 a 32 15 10 b 5 4 a 4 a 2 6 ( 31)(42 3) 6 (42 3) (42 3) 6 16 12 3 2 方法指导方法指导 指数幂运算的一般规则 (1)指数幂运算首先将根式统一为分数指数幂; (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂; (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先 化成假分数; (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指 数. 1-1化简:. 2113 1 3322 56 ()ab
7、ab a b 解析解析 = =a. 2113 1 3322 56 ()abab a b 1113 3322 15 66 abab ab 1 3 1 3 2 6 a 1 1 5 2 3 6 b 指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 典例典例2(1)(2018浙江浙东北联盟期中)已知x,yR,且5x+7-y5y+7-x,则 (C ) A.sin xsin yB.x2y2 C.5x5yD.loxloy (2)已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)f(b),则下列结论中,一定成立的 是(D ) A.a0 C.2-af(c)f(b), 结合图象知f(a)f(c),即1-2a2c-1,2a+2c0
8、,a1)的图象,要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1), . 2.与指数函数图象有关的问题,往往利用相应指数函数图象,通过平移、 对称变换得到题中所给函数的图象. 3.与指数有关的不等式的求解,往往结合相应图象,利用数形结合求解. 4.指数大小比较,首先将底数化为正数,区分数值的正负,是否大于1(或- 1),再考虑指数函数的单调性. 1 1, a 2-1已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象可能是 (A) 解析解析由题图知01,所以-b0,由b0排除B、D.又 由0 ,则(B) A.b2C.a 1 2 1 2 a 2 2 b 1 4 babababa 解析解
9、析=, =. y=是R上的减函数, 12,a,排除A,C; 2 2 b 2 1 2 b 1 4 2 1 2 1 2 x 1 2 1 2 a 2 2 b 1 42 b 3 2 7 2 ba 73 22 2 baba 取a=,b=,得=, 有a-3,所以-3ab的不等式,借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定, 需分a1与0b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借 助函数y=ax的单调性求解. 典例典例5(1)函数y=的单调减区间为(-,1 . (2)已知maxa,b表示a,b两数中的最大值,若f(x)=maxe|x|,e|x-2|,则f(x)的最 小值为e . 2 21
10、 1 2 xx 命题方向三命题方向三指数函数性质的综合应用指数函数性质的综合应用 解析解析(1)设u=-x2+2x+1, y=为减函数, 函数y=的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间. 又u=-x2+2x+1的增区间为(-,1, 所求减区间为(-,1. (2)f(x)=maxe|x|,e|x-2|= 1 2 u 2 21 1 2 xx |2| e ,1, e,1, x x x x 当x1时, f(x)e,且当x=1时,取得最小值e; 当xe. 故f(x)的最小值为f(1)=e. 方法技巧方法技巧 与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤 (1)求复合函数的定义域; (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; (3)分层逐一求解函数的单调区间; (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”). 3-1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=1-2-x,则不等式f (x)0时, f(x)=1-2-x0, 又f(x)是R上的奇函数, 所以f(x) (x0)的解集关于原点对称, 1 2 1 2 由1-2-x 得2-x1, 则f(x)- 的解集是(-,-1). 1 2 1 2 1 2