《（通用版）2019版高考数学二轮复习课件+训练：第二部分备考技法专题二4大数学思想系统归纳——统一统思想课件理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（通用版）2019版高考数学二轮复习课件+训练：第二部分备考技法专题二4大数学思想系统归纳——统一统思想课件理.pdf（126页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、备考技法专题二备考技法专题二 4 4 大数学思想系统归纳大数学思想系统归纳 统一统思想统一统思想 第第1讲讲函数与方程思想函数与方程思想 第第2讲讲数形结合思想数形结合思想 目目 录录 第第3讲讲分类讨论思想分类讨论思想 第第4讲讲转化与化归思想转化与化归思想 第第1讲讲 函数与方程思函数与方程思想想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问 题和解决问题方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数题和解决问题方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数 学语言将问题中的条件转化为数学模型学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程
2、与方程、不等式或方程与 不等式的混合组不等式的混合组)，然后通过解方程，然后通过解方程(组或不等式组组或不等式组)来使问题获来使问题获 解方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还解方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还 可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面： 一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明证明)不等不等 式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问
3、题的研究式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究 中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转 化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的 应用应用(一一) 借助借助“显化函数关系显化函数关系”，利用函数思想解决问题，利用函数思想解决问题 在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将 原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方 法
4、使问题顺利获解法使问题顺利获解 例例1 已知数列已知数列an是各项均为正数的等差数列，是各项均为正数的等差数列，a12， 且且a2，a3，a41成等比数列成等比数列 (1)求数列求数列an的通项公式的通项公式an； (2)设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，bn 1 Sn 1 1 Sn 2 1 S2n ， 若对任意的若对任意的nN N *，不等式 ，不等式bnk恒成立，求实数恒成立，求实数k的最小值的最小值 解解 (1)因为因为a12，a2 3 a2(a41)， 又因为又因为an是正项等差数列，所以公差是正项等差数列，所以公差d0， 所以所以(22d)2(2d)(33d)，解得，解得d
5、2或或d1(舍去舍去)， 所以数列所以数列an的通项公式的通项公式an2n. (2)由由(1)知知Snn(n1)，则，则bn 1 Sn 1 1 Sn 2 1 S2n 1 n1 n2 1 n2 n3 1 2n 2n1 1 n1 1 n2 1 n2 1 n3 1 2n 1 2n1 1 n1 1 2n1 n 2n23n1 1 2n1 n 3 ， 令令f(x)2x1 x(x 1)， 则则f(x)2 1 x2， ， 当当x1时时，f(x)0恒成立恒成立， 所以所以f(x)在在1，)上是增函数上是增函数， 故当故当x1时时，f(x)minf(1)3， 即当即当n1时时，(bn)max1 6， ， 要使对任
6、意的正整数要使对任意的正整数n，不等式不等式bnk恒成立恒成立， 则需使则需使k(bn)max1 6， ， 所以实数所以实数k的最小值为的最小值为1 6. 技法领悟技法领悟 数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列 的通项公式，前的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看 成关于成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地 凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问 题题
7、，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养， 提高发散思维的水平提高发散思维的水平 应用体验应用体验 1已知等差数列已知等差数列an满足满足 3a47a7，a10，Sn是数列是数列an的前的前 n 项和，则项和，则 Sn取得最大值时取得最大值时 n_. 解析：解析：设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，3a47a7， 3(a13d)7(a16d)，4a133d.a10， d 2， ，0 3， ， c a 1 2 3 2 32，即即c a2. 答案答案： 3 (2， ，) 应用应用(二二) 转换转换“函数关系函数关系”，利用函数思想解决
8、问题，利用函数思想解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成 立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函 数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限 制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切 入问题本质，从而使原问题获解入问题本质，从而使原问题获解 例例2 已知函数已知函数f(x)lg 12x4x a a2a1 ，其中，其中a为常数，若为常数，若
9、 当当x(，1时，时，f(x)有意义，则实数有意义，则实数a的取值范围为的取值范围为 _ 解析解析 参数参数a深深含在一个复杂的复合函数的表达式中，含在一个复杂的复合函数的表达式中， 欲直接建立关于欲直接建立关于a的不等式的不等式(组组)非常困难，故应转换思维角非常困难，故应转换思维角 度，设法从原式中把度，设法从原式中把a分离出来，重新认识分离出来，重新认识a与其他变元与其他变元x的依的依 存关系，利用新的函数关系，使原问题存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明柳暗花明” 由由1 2x4x a a2a1 0，且，且a2a1 a1 2 2 3 4 0， 得得12x4x a0，故，故a 1
10、 4x 1 2x . 当当x(，1时，时，y 1 4x与 与y 1 2x都是减函数， 都是减函数， 因此，函数因此，函数y 1 4x 1 2x 在在(，1上是增函数，上是增函数， 所以所以 1 4x 1 2x max 3 4， ，a3 4， ， 故故a的取值范围的取值范围是是 3 4， ， . 答案答案 3 4， ， 技法领悟技法领悟 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约 的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函 数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表数的性
11、质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表 现本题主客换位后，利用新建函数现本题主客换位后，利用新建函数y 1 4x 1 2x 的单调性巧的单调性巧 妙地求出实数妙地求出实数a的取值范围此法也叫主元法的取值范围此法也叫主元法 应用体验应用体验 3对于满足对于满足0p4的所有实数的所有实数p，使不等式，使不等式x2px4xp3 成立的成立的x的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：设设f(p)(x1)px24x3， 则当则当x1时，时，f(p)0. 所以所以x1. 函数函数f(p)在在0,4上恒为正，等价于上恒为正，等价于 f 0 0， f 4 0， 即即 x3 x1 0， x210， 解得
12、解得x3或或x0. 设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中，其中y1y2， 则则y1y2 2m m24， ，y1y2 3 m24， ，所以所以|y2y1|4 m 2 3 m24 ， 所以所以S AOB1 2|OE|y2 y1|2 m 2 3 m24 2 m23 1 m23 . 设设t m23，则，则g(t)t1 t ，t 3， 所以所以g(t)11 t2 0， 所以所以g(t)在区间在区间 3，)上为增函数，上为增函数， 所以所以g(t) 4 3 3 ，所以，所以S AOB 3 2 ，当且仅当，当且仅当m0时等号时等号 成立成立 所以所以AOB的面积存在最大值，为的面积存在最大值，为 3
13、 2 . 应用应用(三三) 构造构造“函数关系函数关系”，利用函数思想解决问题，利用函数思想解决问题 在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问 题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构 造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问 题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意 的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的是，构造时，要深入审题，充分发掘
14、题设中可类比、联想 的因素，促进思维迁移的因素，促进思维迁移 例例 3 已知函数已知函数 f(x)ex2x2a，xR R ，aR R . (1)求求 f(x)的单调区间与极值；的单调区间与极值； 解解 由由 f(x)ex2x2a，知，知 f(x)ex2. 令令 f(x)0，得，得 xln 2. 当当 xln 2 时，时，f(x)0，故函数，故函数 f(x)在区间在区间(ln 2，) 上单调递增上单调递增 所以所以 f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是，单调递增区间是 (ln 2，)，f(x)在在 xln 2 处取得极小值处取得极小值 f(ln 2)eln 22
15、ln 2 2a22ln 22a. 解解 证明：设证明：设 g(x)exx22ax1(x0)， 则则 g(x)ex2x2a， 由由(1)知知 g(x)ming(ln 2)22ln 22a. 又又 aln 21，则，则 g(x)min0. 于是对于是对 xR R ，都有，都有 g(x)0， 所以所以 g(x)在在 R R 上单调递增上单调递增 于是对于是对 x0，都有，都有 g(x)g(0)0. 即即 exx22ax10，故，故 exx22ax1. (2)求证：当求证：当 aln 21 且且 x0 时，时，exx22ax1. 技法领悟技法领悟 一般地，要证一般地，要证f(x)g(x)在区间在区间(
16、a，b)上成立，需构造辅助上成立，需构造辅助 函数函数F(x)f(x)g(x)，通过分析，通过分析F(x)在端点处的函数值来证在端点处的函数值来证 明不等式若明不等式若F(a)0，只需证明，只需证明F(x)在在(a，b)上单调递增即上单调递增即 可；若可；若F(b)0，只需证明，只需证明F(x)在在(a，b)上单调递减即可上单调递减即可 应用体验应用体验 5.(2018 天津高考天津高考)如图，在平面四边形如图，在平面四边形 ABCD中，中，ABBC，ADCD，BAD 120 ，ABAD1.若点若点E为边为边CD上的动上的动 点，则点，则 AE BE的最小值为 的最小值为 ( ) A.21 1
17、6 B.3 2 C.25 16 D3 解析：解析：如图，以如图，以 D 为坐标原点建立平面直角坐标系，连接为坐标原点建立平面直角坐标系，连接 AC. 由题意知由题意知CADCAB60 ， ACDACB30 ， 则则 D(0,0)，A(1,0)，B 3 2， ， 3 2 ， C(0， 3)设设 E(0，y)(0y 3)， 则则 AE (1，y)， BE 3 2， ，y 3 2 ， AE BE 3 2 y2 3 2 y y 3 4 2 21 16， ， 当当 y 3 4 时，时， AE BE有最小值 有最小值21 16. 答案：答案：A 6设函数设函数f(x)在在R上存在导函数上存在导函数f(x)
18、，对于任意的实数，对于任意的实数x，都，都 有有f(x)f(x)2x2，当，当xh(1)3，即，即a2b的取值范围的取值范围 是是(3，)故选故选C. 答案答案 C 技法领悟技法领悟 本例本例(1)中有一条明显的中有一条明显的“动态动态”水平直线，通过上下移动水平直线，通过上下移动 观察其与函数图象的交点情况但有些题中的这条水平线就不观察其与函数图象的交点情况但有些题中的这条水平线就不 容易能看出来，如本例容易能看出来，如本例(2)，实际上存在一条，实际上存在一条“虚拟虚拟”的水平直的水平直 线，这一点固然重要，却不是本题的关键本题的关键在于水线，这一点固然重要，却不是本题的关键本题的关键在于
19、水 平直线与函数图象的两个交点的横坐标并非毫无关联，而是满平直线与函数图象的两个交点的横坐标并非毫无关联，而是满 足一定的关系，即足一定的关系，即ab1，这一关键之处决定了该类型题目的，这一关键之处决定了该类型题目的 难度和极易出错的特性难度和极易出错的特性 在此，务必注意到水平直线穿函数图象所得交点的横坐标在此，务必注意到水平直线穿函数图象所得交点的横坐标 之间的联系比如，一条水平直线穿二次函数图象的交点的横之间的联系比如，一条水平直线穿二次函数图象的交点的横 坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线穿三角函坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线穿三角函 数图象的交点的横坐标满
20、足一定的周期性，等等数图象的交点的横坐标满足一定的周期性，等等 应用体验应用体验 1已知已知f(x)|x|x1|，若，若g(x)f(x)a的零点个数不为的零点个数不为0， 则则a的最小值为的最小值为_ 解析：解析：原方程等价于原方程等价于f(x) 12x，x1， 其图象如图所示，要使其图象如图所示，要使af(x)有零点，有零点， 则则a1，因此，因此a的最小值为的最小值为1. 答案：答案：1 2已知函数已知函数f(x)sin 2x 3 的相邻两条对称轴之间的距离为的相邻两条对称轴之间的距离为 4 ，将函数，将函数f(x)的图象向右平移的图象向右平移 8 个单位后，再将所有点的横个单位后，再将所
21、有点的横 坐标伸长为原来的坐标伸长为原来的2倍，得到倍，得到g(x)的图象，若的图象，若g(x)k0在在 x 0， 2 上有且只有一个实数根，则上有且只有一个实数根，则k的取值范围是的取值范围是 ( ) A. ，1 2 B. 1，1 2 C. 1 2， ，1 2 D. 1 2， ，1 2 1 解析：解析：因为因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为相邻两条对称轴之间的距离为 4， ， 结合三角函数的图象可知结合三角函数的图象可知T 2 4，所以 ，所以T 2 2 2， ， 所以所以2，f(x)sin 4x 3 . 将将f(x)的图象向右平移的图象向右平移 8个单位得到 个单位得到 f(x)sin
22、4 x 8 3 sin 4x 6 ， 再将所有点的横坐标伸长为原来的再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到倍，得到g(x)sin 2x 6 . 所以方程为所以方程为sin 2x 6 k0. 令令2x 6 t，因为，因为x 0， 2 ，所以，所以 6 t5 6 . 若若g(x)k0在在x 0， 2 上有且只有一个实数根，上有且只有一个实数根， 即即ysin t与与yk在在 6， ，5 6 上有且只有一个交点上有且只有一个交点 作出作出ysin t与与yk的图象如图所示，的图象如图所示， 由正弦函数的图象可知由正弦函数的图象可知 1 2 k0， x24x，x1 4. 所以所以k的取值范围为的取值
23、范围为 1 4， ， . 答案：答案： 1 4， ， 应用应用(二二) 利用数形结合求解利用数形结合求解kxbf(x)型问题型问题 方法一：旋转动直线方法一：旋转动直线 若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个 定点，对于这类型的题，首先找出这个定点非常关键，然后定点，对于这类型的题，首先找出这个定点非常关键，然后 确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向 例例3 (1)已知函数已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若，若f(x) g(x)有两个不相等的实根，则实数有两个不相等的实根，则实数k的取值
24、范围是的取值范围是 ( ) A. 0，1 2 B. 1 2， ，1 C(1,2) D(2，) 解析解析 由题意得函数由题意得函数f(x)的图象与的图象与 函数函数g(x)的图象有两个不同的交点，分别的图象有两个不同的交点，分别 画出函数画出函数yf(x)与与yg(x)的图象如图所的图象如图所 示直线示直线g(x)kx过原点这个定点，寻找过原点这个定点，寻找 临界点，当直线过点临界点，当直线过点(2,1)时，直线与函时，直线与函 数数f(x)|x2|1只有一个交点，此时只有一个交点，此时k 10 20 1 2 ，然后直线，然后直线 绕着原点逆时针旋转，当与绕着原点逆时针旋转，当与yf(x)在在x
25、2时的图象平行时，就时的图象平行时，就 只有一个交点，所以只有一个交点，所以1 2|xa|至少有一个负数解，则至少有一个负数解，则a 的取值范围是的取值范围是_ 解析解析 令令f(x)2x2，g(x)|xa|， 由于由于g(x)|xa|的图象是的图象是V形形首先将这个首先将这个 V形的尖点放在点形的尖点放在点(2,0)(这是我们所说的初始这是我们所说的初始 位置位置，该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不成立的位该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不成立的位 置置，然后再平移然后再平移)，此时此时a2.然后再将然后再将V形尖点向左平移形尖点向左平移，即即 如图中的箭头所示如图中的箭头所示 由图
26、可知，向左平移的临界情况是由图可知，向左平移的临界情况是V形尖点右支与形尖点右支与f(x)相相 切，此时联立切，此时联立 yxa， y2x2， 知知x2xa20有一个解，有一个解， 14(2a)0a 9 4 .要特别注意，此时要特别注意，此时g(x)|xa|的图象的图象 与与f(x)2x2的图象相切，但不等式取不到等号，因此的图象相切，但不等式取不到等号，因此a 9 4，注意到 ，注意到a2时无负数根，因此时无负数根，因此a的取值范围为的取值范围为 9 4， ，2 . 答案答案 9 4， ，2 技法领悟技法领悟 对于平移动直线情形，关键在于如何选取初始位置对于平移动直线情形，关键在于如何选取初
27、始位置(临界临界 情形情形)，这个难把握之处正是本块内容的核，这个难把握之处正是本块内容的核心，初始位置的选心，初始位置的选 取并非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题取并非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题 目，仔细体会目，仔细体会 应用体验应用体验 7已知函数已知函数f(x) log2x，x0， 3x，x0 且关于且关于x的方程的方程f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数有且只有一个实根，则实数a的取值范围为的取值范围为 ( ) A(1，) B(1,3) C(，1) D(2,4) 解析：解析：画出画出f(x)图象，如图所示，则图象，如图所示，则 由方程有且仅有一个实根可
28、得由方程有且仅有一个实根可得f(x)的的 图象与直线图象与直线yxa的图象只有一的图象只有一 个交点首先让直线过个交点首先让直线过(0,1)(这是我这是我 们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两 个交点个交点)，由图可知，只有向上平移才能满足，由图可知，只有向上平移才能满足f(x)图象与直线图象与直线 yxa只有一个交点，所以只有一个交点，所以a的取值范围是的取值范围是(1，) 答案：答案：A 8已知函数已知函数f(x) 2 x 1，x0， f x1 ，x0， 若方程若方程f(x)xa有且只有且只 有两个不相等的实数根，则实数有两个
29、不相等的实数根，则实数a的取值范围为的取值范围为 ( ) A(，0 B0,1) C(，1) D0，) 解析：解析：注意本题只有在注意本题只有在(1，)内才内才 是周期为是周期为1的函数，根据函数的解析式首的函数，根据函数的解析式首 先画出在先画出在(，0内的图象，然后截取内的图象，然后截取 (1,0的图象向右一个单位一个单位的的图象向右一个单位一个单位的 平移，可以得到平移，可以得到f(x)的图象，如图所示的图象，如图所示yxa是斜率为是斜率为1的的 动直线，首先让直线过动直线，首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为这是我们所说的初始位置，因为 当直线向下平移时你会发现有两个交点
30、，向上平移只有一个当直线向下平移时你会发现有两个交点，向上平移只有一个 交点交点)，由图可知，只有向下平移才能满足，由图可知，只有向下平移才能满足f(x)图象与直线图象与直线 yxa有两个交点，所以有两个交点，所以a的取值范围是的取值范围是(，1) 答案：答案：C 应用应用 三三 利用数形结合求解解析几何问题利用数形结合求解解析几何问题 例例5 (1)(2018 全国卷全国卷)设设F1，F2是双曲线是双曲线C：x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)的左、右焦点，的左、右焦点，O是坐标原点过是坐标原点过F2作作C的一条的一条 渐近线的垂线，垂足为渐近线的垂线，垂足为P.若若|PF1| 6|
31、OP|，则，则C的离心率为的离心率为 ( ) A. 5 B2 C. 3 D. 2 解析解析 如图，过点如图，过点F1向向OP的反向延的反向延 长线作垂线，垂足为长线作垂线，垂足为P，连接，连接PF2，由，由 题意可知，四边形题意可知，四边形PF1PF2为平行四边为平行四边 形，且形，且PPF2是直角三角形是直角三角形 因为因为|F2P|b，|F2O|c，所以，所以|OP|a. 又又|PF1| 6a|F2P|，|PP|2a， 所以所以|F2P| 2ab，所以，所以c a2b2 3a， 所以所以ec a 3. 答案答案 C (2)已知圆已知圆 C： (x3)2(y4)21 和两点和两点 A(m，
32、0)， B(m， 0)(m0)若圆若圆 C 上存在点上存在点 P，使得，使得 APB90 ，则，则 m 的的 最大值为最大值为 ( ) A7 B6 C5 D4 解析解析 根据题意，画出示意根据题意，画出示意 图，如图所示，则圆心图，如图所示，则圆心 C 的坐标为的坐标为 (3,4)，半径，半径 r1，且，且|AB|2m，因，因 为为 APB90 ， 连接连接 OP， 易知， 易知|OP| 1 2|AB| m.要求要求 m 的最大值， 即求圆的最大值， 即求圆 C 上的点上的点 P 到原点到原点 O 的最的最 大距离因为大距离因为|OC| 32425，所以，所以|OP|max|OC|r6，即，即
33、 m 的最大值为的最大值为 6. 答案答案 B 技法领悟技法领悟 (1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使 数更形象，更直数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的 代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提 供方便供方便 (2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几 何结构的代数形式，主要有：何结构的代数形式，主要有：比值比值可考虑直线的斜可考虑直线的斜 率；率；二元一次式
34、二元一次式可考虑直线的截距；可考虑直线的截距；根式分式根式分式 可考虑点到直线的距离；可考虑点到直线的距离；根式根式可考虑两点间的距离可考虑两点间的距离 应用体验应用体验 9过直线过直线xy2 20上一点上一点P作圆作圆x2y21的两条切线，若的两条切线，若 两两条切线的夹角是条切线的夹角是60 ，则点，则点P的坐标是的坐标是_ 解析：解析：如图，由题意可知如图，由题意可知APB 60 ，由切线性质可知，由切线性质可知OPB30 .在在 RtOBP中，中，OP2OB2，又点，又点P在在 直线直线xy22 0上，所以不妨设点上，所以不妨设点 P(x,22x)，则，则OPx2 2 2x 2 2，即
35、，即x2(2 2x)24，整理得，整理得x22 2x20， 所以所以x 2，即点，即点P的坐标为的坐标为( 2， 2) 答案：答案：( 2， 2) 10已知抛物线的方程为已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点是其焦点，点A(2,4)， 在此抛物线上求一点在此抛物线上求一点P，使，使APF的周长最小，此时点的周长最小，此时点P 的坐标为的坐标为_ 解析：解析：因为因为(2)20，且，且a1)在在1,2上的最大值为上的最大值为4，最，最 小值为小值为m，且函数，且函数g(x)(14m)x 在在0，)上是增函上是增函 数，则数，则a_. 解析：解析：若若a1，有，有a24，a 1 m，此时，此时
36、a2，m1 2， ， 此时此时g(x) x为减函数，不合题意；若为减函数，不合题意；若00，且，且a1)的定义域和值域都是的定义域和值域都是 1,0，则，则ab_. 解析：解析：当当a1时，函数时，函数f(x)axb在在 1，0上为增函数， 上为增函数， 由题意得由题意得 a 1 b1， a0b0 无解当无解当00时，时，g(x)的对称轴的对称轴x 1 2a1 2，则当 ，则当 x 1 a， ，2 时，时，f(x)0. 所以所以 f(x)在在 x2 处取得极小值处取得极小值 若若 a1 2，则当 ，则当 x(0,2)时，时，x20. 所以所以 2 不是不是 f(x)的极小值点的极小值点 综上可
37、知，综上可知，a 的取值范围是的取值范围是 1 2， ， . (2)若若 f(x)在在 x2 处取得极小值，求处取得极小值，求 a 的取值范围的取值范围 技法领悟技法领悟 (1)本题研究函数性质对参数本题研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为进行分类讨论，分为a 1 2 和和 a1 2两种情况 两种情况 (2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义 及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面 分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要分析参数变化引起结论的变化情况，参数
38、有几何意义时还要 考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、 不重不漏不重不漏 应用体验应用体验 5已知函数已知函数f(x)mx2xln x，若在函数，若在函数f(x)的定义域内存的定义域内存 在区间在区间D，使得该函数在区间，使得该函数在区间D上为减函数，则实数上为减函数，则实数m的的 取值范围为取值范围为_ 解析：解析：f(x)2mx1 1 x 2mx2x1 x ，即，即2mx2x10时，由于函数时，由于函数y2mx2x1的图象的对称轴的图象的对称轴x 1 4m0， ， 故只需故只需0，即，即18m0，解得，解得m0时，令时，令
39、g(x) 2m， 则则g(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(， 2m)，( 2m，) 综上所述，当综上所述，当m0时，时，g(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(，)； 当当m0时，时，g(x)的单调递减区间是的单调递减区间是 (， 2m)，( 2m，) 应用应用 四四 根据图形位置或形状分类讨论根据图形位置或形状分类讨论 例例 4 (2018 全国卷全国卷)设抛物线设抛物线 C：y22x，点，点 A(2，0)， B(2,0)，过点，过点 A 的直线的直线 l 与与 C 交于交于 M，N 两点两点 (1)当当 l 与与 x 轴垂直时，求直线轴垂直时，求直线 BM 的方程；的方程； 解解 当当 l 与与 x 轴垂直时，轴垂直时，l 的方程为的方程为 x2， 可得点可得点 M 的坐标为的坐标为(2,2)或或(2，2) 所以直线所以直线 BM 的方程为的方程为 y1 2(x 2)或或 y1 2(x 2)， 即即 x2y20 或或 x2y20. 解解 证明： 当证明： 当 l 与与 x 轴垂直时，轴垂直时， AB 为为 MN 的垂直平分线，的垂直平分线， 所以所以ABMABN. 当当 l 与与 x 轴不垂直时，设轴不垂直时，设 l 的方程为的方程为 yk(x2)(k0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，则 x10，x20. 由由 yk