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1、三角恒等变换与解三角形1tan 70tan 50tan 70tan 50的值为()A. B. C D答案D解析因为tan 120，即tan 70tan 50tan 70tan 50.2在ABC中，若原点到直线xsin Aysin Bsin C0的距离为1，则此三角形为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不能确定答案A解析由已知可得，1，sin2Csin2Asin2B，c2a2b2，故ABC为直角三角形3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos Bbcos A2ccos C，c，且ABC的面积为，则ABC的周长为()A1 B2C4 D5答案D解析在ABC中，acos B
2、bcos A2ccos C，则sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C，即sin(AB)2sin Ccos C，sin(AB)sin C0，cos C，C，由余弦定理可得，a2b2c2ab，即(ab)23abc27，又Sabsin Cab，ab6，(ab)273ab25，ab5，ABC的周长为abc5.4已知为锐角，则2tan 的最小值为()A1 B2 C. D.答案D方法二为锐角，sin 0，cos 0，2tan 2，当且仅当，即时等号成立故选D.5已知2sin 1cos ，则tan 等于()A或0 B.或0C D.答案A解析因为2sin 1cos ，所以4sin co
3、s 12sin2，解得sin 0或2cos sin ，即tan 0或2，又tan ，当tan 0时，tan 0；当tan 2时，tan .6在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，若a，则b2c2的取值范围是()A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6答案C解析(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，又A(0，)，A，BC.又ABC为锐角三角形，B.由正弦定理2，得b2sin B，c2sin C，b2c24(sin2Bsin2C)44
4、32sin2B2sin Bcos B31cos 2Bsin 2B4242cos，又B，2B，1cos，5BD，所以为锐角，从而cos .因此sinADCsinsin cos cos sin .所以ADC的面积SADDCsinADC62(1)11已知函数f(x)cossincos2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)1，a2，求ABC面积的最大值解(1)f(x)cossincos2sin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)由(
5、1)知f(A)sin1，因为A(0，)，所以2A，所以2A，所以A.在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，又a2，则4b2c2bc2bcbcbc，即bc4，当且仅当bc2时，等号成立所以ABC面积的最大值为SABCbcsin A4.12已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin，因为函数f(x)的最小正周期为T，所以.(2)由(1)知f(x)sin，易得f(A)sin.因为sin B，sin A，sin
6、C成等比数列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(当且仅当bc时取等号)因为0A，所以0A，所以3A，所以sin1，所以1sin，所以f(A)的值域为.13.已知函数f(x)sin xcos xsin2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，f(A)，ADBD2，求cos C. 解(1)f(x)sin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间是(kZ).14.在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发
7、现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形ABECD内，保护人员为了研究该动物生存条件的合理性，需要分析貂熊的数量与活动面积的关系，保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息：A，B，C，D，E在同一平面内，且ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1 km.(1)求BC的长；(2)野生动物貂熊的活动区ABECD的面积约为多少？(1.732，结果保留两位小数)解(1)在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin 45(km).(2)依题意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan 60(k
8、m)，又sin 105sin(6045)，sin 15sin(6045)，所以活动区ABECD的面积SSACDSABCSBCEACCDACCBsin 15BCCEsin 1051111.87 (km2)，故野生动物貂熊的活动区ABECD的面积约为1.87 km2.15.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2a2ccos B.(1)求角C的大小；(2)求cos Asin的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值.解(1)b2a2ccos B2a2c，整理得a2b2c2ab，即cos C，因为0C，所以C.(2)由(1)知C，则BA，于是cos Asincos Asin(A)co
9、s Asin A2sin，由AB，得0A，A.故当A时，2sin取得最大值2，此时B.15.设函数f(x)sin xcos xsin2(xR)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，c2，求ABC面积的最大值.解(1)函数f(x)sin xcos xsin2(xR)，化简可得f(x)sin 2xsin 2x.令2k2x2k(kZ)，则kxk(kZ)，即f(x)的单调递增区间为(kZ).令2k2x2k(kZ)，则kxk(kZ)，即f(x)的单调递减区间为(kZ).(2)由f0，得sin C，又因为ABC是锐角三角形，所以C.由余弦定理得
10、c2a2b22abcos C，将c2，C代入得4a2b2ab，由基本不等式得a2b24ab2ab，当且仅当ab时，等号成立.即ab4(2)，所以SABCabsin C4(2)2，即ABC面积的最大值为2.17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m(2ac，cos C)，n(b，cos B)，mn.(1)求角B的大小；(2)若b1，当ABC的面积取得最大值时，求ABC内切圆的半径.(2)由(1)得B，又b1，在ABC中，b2a2c22accos B，所以12a2c2ac，即13ac(ac)2.又(ac)24ac，所以13ac4ac，即ac1，当且仅当ac1时取等号.从而SABCacsin Bac，当且仅当ac1时，SABC取得最大值.设ABC内切圆的半径为r，由SABC(abc)r，得r.