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1、章末复习提升课章末复习提升课 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 空间中的共点、共线、共面问题空间中的共点、共线、共面问题 如图所示如图所示，空间四边形空间四边形 ABCD 中中， E，F 分别为分别为 AB，AD 的中点的中点，G，H 分别分别 在在 BC，CD 上上，且且 BGGCDHHC 12. 求证：求证：(1)E、F、G、H 四点共面；四点共面； (2)GE 与与 HF 的
2、交点在直线的交点在直线 AC 上上 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 【证明证明】 (1)因为因为 BGGCDHHC， 所以所以 GHBD，又因为又因为 E、F 分别为分别为 AB，AD 的中点的中点， 所以所以 EFBD，所以所以 EFGH， 所以所以 E、F、G、H 四点共面四点共面 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 (2)因为因为 G、H 不是不是 BC、CD 的中点的中点，所以所以 EFGH. 又又 EFGH， 所以所以 EG 与与 FH 不平行不平行， 则必相交则必相交，设
3、交点为设交点为 M， EG 平面平面ABC HF 平面平面ACD M平面平面 ABC 且且 M平面平面 ACD M 在在平面平面 ABC 与平面与平面 ACD 的交线上的交线上 MAC 所以所以 GE 与与 HF 的交点在直线的交点在直线 AC 上上 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 在四边形在四边形 ABCD 中中， 已知已知 ABDC， AB， BC， DC，AD(或延长线或延长线)分别与平面分别与平面 相交于点相交于点 E，F，G，H.求求 证
4、：证：E，F，G，H 必在同一直线上必在同一直线上 证明：因为证明：因为 ABCD， 所以四边形所以四边形 ABCD 是一个平面图形是一个平面图形， 即即 AB，CD 确定一个平面确定一个平面 ，则则 AB，AD. 因为因为 EAB， 所以所以 E， 因为因为 HAD，所以所以 H. 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 又因为又因为 E，H， 所以所以 EH. 因为因为 DC，GDC， 所以所以 G. 又因为又因为 G， 所以点所以点 G 在在 与与 的交线的交线 EH 上上 同理同理，点点 F 在在 与与 的交线的交线 EH 上上 所以所
5、以 E，F，G，H 必在同一条直线上必在同一条直线上 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 平行、垂直关系平行、垂直关系 如图如图，已知直角梯形已知直角梯形 ABCD 中中，E 为为 CD 边中点边中点，且且 AECD，又又 G，F 分别为分别为 DA，EC 的中点的中点，将将ADE 沿沿 AE 折叠折叠，使得使得 DEEC (1)求证：求证：AE平面平面 CDE； (2)求证：求证：FG平面平面 BCD； 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 (3)在线段在线段 AE 上找一点上找一点 R
6、，使得平面使得平面 BDR平面平面 DCB，并说并说 明理由明理由 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 【解解】 (1)证明证明：由已知得：由已知得 DEAE，AEEC 因为因为 DEECE，DE，EC平面平面 DCE， 所以所以 AE平面平面 CDE. (2)证明：证明：取取 AB 中点中点 H， 连接连接 GH，FH， 所以所以 GHBD，FHBC， 因为因为 GH 平面平面 BCD，BD平面平面 BCD， 所以所以 GH平面平面 BCD 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 同理同理
7、 FH平面平面 BCD， 又又 GHFHH， 所以平面所以平面 FHG平面平面 BCD， 因为因为 GF平面平面 FHG， 所以所以 GF平面平面 BCD (3)取线段取线段 AE 的中点的中点 R， 则平面则平面 BDR平面平面 DCB 证明如下：证明如下： 取线段取线段 DC 的中点的中点 M，取线段取线段 DB 的中点的中点 S， 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 连接连接 MS，RS，BR，DR，EM. 则则 MS 1 2BC， ， 又又 RE 1 2BC， ， 所以所以 MS RE， ， 所以四边形所以四边形 MERS 是平行四
8、边形是平行四边形， 所以所以 RSME. 在在DEC 中中，EDEC，M 是是 CD 的中点的中点， 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 所以所以 EMDC 由由(1)知知 AE平面平面 CDE，AEBC， 所以所以 BC平面平面 CDE. 因为因为 EM平面平面 CDE， 所以所以 EMBC 因为因为 BCCDC， 所以所以 EM平面平面 BCD， 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 因为因为 EMRS， 所以所以 RS平面平面 BCD 因为因为 RS平面平面 BDR， 所以平面所以平
9、面 BDR平面平面 DCB 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 (1)平行、垂直关系的相互转化平行、垂直关系的相互转化 (2)证明空间线面平行或垂直需注意三点证明空间线面平行或垂直需注意三点 由已知想性质由已知想性质，由求证想判定；由求证想判定； 适当添加辅助线适当添加辅助线(或面或面)是解题的常用方法之一；是解题的常用方法之一； 用定理时要先明确条件用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论再由定理得出相应结论 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 如图如图，在梯形在梯形 ABCD 中中
10、，ABCD，ADDC CBa，ABC60，平面平面 ACFE平面平面 ABCD，四边四边 形形 ACFE 是平行是平行四边形四边形，点点 M 在线段在线段 EF 上上 (1)求证：求证：BC平面平面 ACFE； (2)当当 EM 为何值时为何值时，AM平面平面 BDF？证明你的结论？证明你的结论 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 解：解：(1)证明：证明：在梯形在梯形 ABCD 中中， 因为因为 ABCD，ADDCCBa，ABC60， 所以四边形所以四边形 ABCD 是等腰梯形是等腰梯形，ADCBCD120， 所以所以DCADAC30，
11、所以所以ACB90，所以所以 ACBC， 又平面又平面ACFE平面平面ABCD， 平面平面ACFE平面平面ABCDAC， BC平面平面 ABCD， 所以所以 BC平面平面 ACFE. 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 (2)当当 EM 3 3 a 时时，AM平面平面 BDF. 证明如下：证明如下： 在梯形在梯形 ABCD 中中， 设设 ACBDN，连接连接 FN(图略图略)， 因为因为 ACBC，BAC30，CBa， 所以所以 AB2a，AC 3a. 因为因为 ABCD， 所以所以 CNNACDABa2a12. 栏目栏目 导引导引 第二章
12、第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 因为因为 EM 3 3 a，EFAC 3a， 所以所以 EMMF12. 又又 EFAC，EFAC， 所以所以 MFAN，MFAN， 所以四边形所以四边形 ANFM 是平行四边形是平行四边形，所所以以 AMNF. 又又 NF平面平面 BDF，AM 平面平面 BDF， 所以所以 AM平面平面 BDF. 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 空间角的计算空间角的计算 如图所示如图所示， 在四棱锥在四棱锥P- ABCD中中， 底面底面ABCD是矩形是矩形， ADPD，BC1，PC2 3，
13、PDCD2. (1)求异面直线求异面直线 PA 与与 BC 所成角的正切值；所成角的正切值； (2)证明平面证明平面 PDC平面平面 ABCD； (3)求直线求直线PB与平面与平面ABCD所成角的正弦值所成角的正弦值 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 【解解】 (1)在四棱锥在四棱锥 P- ABCD 中中，因为底面因为底面 ABCD 是矩形是矩形， 所以所以 ADBC 且且 ADBC故故PAD 为异面直线为异面直线 PA 与与 BC 所成的角所成的角 又因为又因为 ADPD，在在 RtPDA 中中， tanPADPD AD 2， 所以异面
14、直线所以异面直线 PA 与与 BC 所成角的正切值为所成角的正切值为 2. 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 (2)证明：证明：由于底面由于底面 ABCD 是矩形是矩形，故故 ADCD 又因为又因为 ADPD，CDPDD， 所以所以 AD平面平面 PDC 而而 AD平面平面 ABCD， 所以平面所以平面 PDC平面平面 ABCD (3)在平面在平面 PDC 内内，过点过点 P 作作 PECD 交直线交直线 CD 于点于点 E， 连接连接 EB(如图如图) 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置
15、关系 由于平面由于平面 PDC平面平面 ABCD， 而直线而直线 CD 是平面是平面 PDC 与平面与平面 ABCD 的交线的交线，故故 PE平面平面 ABCD由此得由此得PBE 为直线为直线 PB 与平面与平面 ABCD 所成的角所成的角 在在PDC 中中，由于由于 PDCD2，PC2 3， 可得可得PCD30. 在在 RtPEC 中中，PEPCsin 30 3. 由由 ADBC，AD平面平面 PDC， 得得 BC平面平面 PDC，因此因此 BCPC 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 在在 RtPCB 中中， PB PC2BC2 13.
16、 在在 RtPEB 中中， sinPBEPE PB 39 13 . 所以直线所以直线 PB 与平面与平面 ABCD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 39 13 . 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 空间角的求法空间角的求法 (1)找异面直线所成角的三种方法找异面直线所成角的三种方法 利用图中已有的平行线平移；利用图中已有的平行线平移； 利用特殊点利用特殊点(线段的端点或中点线段的端点或中点)作平行线平移；作平行线平移； 补形平移补形平移 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 (2)线面
17、角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内 的射影的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足通常即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足通常 是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角 三角形三角形 (3)二面角：利用几何体的特征作出所求二面角的平面角二面角：利用几何体的特征作出所求二面角的平面角，再再 把该平面角转化到某三角形或其他平面图形中求解把该平面角转化到某三角形或其他平面图形中求解 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关
18、系 (2019 南阳检测南阳检测)如图如图， 在四棱锥在四棱锥 P- ABCD 中中， 底面底面 ABCD 是直角梯形是直角梯形，DABABC90，且且 AB BC2AD2，侧面侧面 PAB底面底面 ABCD，PAB 是等边三角是等边三角 形形 (1)求证：求证：BDPC； (2)求二面角求二面角 B- PC- D 的大小的大小 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 解：解：(1)证明：证明：如图如图，取取 AB 的中点的中点 O，连接连接 PO，CO. 因为因为PAB 是等边三角形是等边三角形，所以所以 POAB 又侧面又侧面 PAB底面底
19、面 ABCD，所以所以 PO底面底面 ABCD， 又又 BD平面平面 ABCD，所以所以 POBD 又又 ABBC2AD2，ABCDAB90， 所以所以DABOBC， 所以所以BCOABD，所以所以 BDOC， 又又 OC，PO平面平面 POC，OCPOO， 所以所以 BD平面平面 POC， 又又 PC平面平面 POC，所以所以 BDPC 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 (2)如如图图，取取 PC 的中点的中点 E，连接连接 BE，DE， 因为因为 PBBC，所以所以 BEPC 又又 BDPC，BEBDB， 所以所以 PC平面平面 BD
20、E，所以所以 PCDE， 所以所以BED 是二面角是二面角 B- PC- D 的平面角的平面角 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 因为因为 BCAB，平面平面 PAB平面平面 ABCDAB， 平面平面 PAB平面平面 ABCD，ADAB， 所以所以 AD平面平面 PAB，BC平面平面 PAB 所以所以 BCPB，ADPA， 由平面几何知识由平面几何知识，可求得可求得 BE1 2PC 2，PDBD 5，所所 以以 DE 3， 所以所以 BE2DE2BD2，所以所以BED90， 即二面角即二面角 B- PC- D 的大小为的大小为 90. 栏目栏目 导引导引 第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放