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1、第5讲概率与统计考情分析概率与统计通过统计图、古典概型、几何概型、线性相关与线性回归方程等知识考查数据处理能力题目设置比较注重数学与生活的结合，属于中档题，难度适中热点题型分析热点1统计图1一表二图(1)频率分布表数据详实；(2)频率分布直方图分布直观；(3)频率分布折线图便于观察总体分布趋势2茎叶图(1)茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众数等；(2)个位数为叶，十位数(或百位与十位)为茎，相同的数据重复写3条形图条形图是用条形的长度表示各类别频数(或频率)的多少，其宽度(表示类别)则是固定的某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以160,180)，18
2、0,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300分组的频率分布直方图如图(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数解(1)由(0.0020.00950.0110.0125x0.0050.0025)201得x0.0075，直方图中x的值为0.0075.(2)月平均用电量的众数是230.(0.0020.00950.011)200.4578，所以该同学能被授予“数学学科素养优秀标”称号热点2概率统计1古典概型P(A).2几何概型P(A).3当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)P(A)P(B)4若事件A与B为对立事件，则P(A
3、)1P(B)，即P()1P(A)(2019四川省成都模拟)某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率(1)求图中m的值；(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；(3)在450,500)，500,550这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率解(1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50(m0.00400.00500.00660.00160.0008)1，解得m0.0020.(2)设
4、该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t.因为前2组的频率之和为(0.00200.0040)500.30.5，所以350t400，由0.30.0050(t350)0.5，得t390.所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390.(3)由题意，可得在450,500)内抽取64人，分别记为a，b，c，d，在500,550内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：a，b，a，c，a，d，a，e，a，f，b，c，b，d，b，e，b，f，c，d，c，e，c，f，d，e，d，f，e，f，共15种等可能的取法其中抽取的2人恰在同一组的有a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，
5、e，f，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P.求解概率与统计综合题的两点注意：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率；(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成，并判断所述试验的所有基本事件是否为等可能的(2019西南名校联盟联考)某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表：质量指标值MM8080M110M110等级三等品二等品一等品现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图(1)记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率；(2)已
6、知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；(3)根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值(精确到0.01)解(1)记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，且由频率分布直方图估计P(B)0.20.30.150.65，P(C)0.10.090.19，又P(A)P(BC)P(B)P(C)0.84，所以事件A的概率估计为0.84.(2)由(1)知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19,0.65，故任取一件产品是三等品的概率估计值
7、为0.16，从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900,6500,1600件，故利润估计为190010650061600261200元(3)因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，质量指标值M90的频率为0.060.10.20.360.5，质量指标值M0.5，故质量指标值M的中位数估计值为9094.67.热点3线性回归分析与独立性检验1线性回归方程方程 x称为线性回归方程，利用最小二乘法估计公式中的斜率和截距分别为， ，其中(，)是样本点的中心，且回归直线恒过该点2独立性检验根据22列联表，计算随机变量K2(K2也可以表示为2)，当K23.841时，则有95%的把握说两个
8、事件有关；当K26.635时，则有99%的把握说两个事件有关具体参考数据如下表：P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8281某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：表1年份x20132014201520162017储蓄存款y(千亿元)567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，tx2012，zy5得到下表2：表2时间代号t12345z01235(1)求
9、z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程 x，其中 ， )解(1)3，2.2，tizi45，t55，1.2， 2.231.21.4，所以1.2t1.4.(2)将tx2012，zy5，代入1.2t1.4，得y51.2(x2012)1.4，即1.2x2410.8.(3)因为1.220222410.815.6，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元2(2019全国卷)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不
10、满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2.解(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K2的观测值k4.762.由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异1线性回归模型是回归模型中的核心问题，判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：一是根据散点
11、图直观判断；二是将相关数据代入相关系数公式求出r，然后根据r的大小进行判断2求线性回归直线的关键：一是根据公式准确计算出，的值；二是抓住样本点的中心(，)必在回归直线上3求解独立性检验问题时要注意：一是22列联表中的数据与公式中各个字母的对应，不能混淆；二是注意计算得到K2之后的结论，即K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大(2018全国卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据(时间变量
12、t的值依次为1,2，17)建立模型：30.413.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，7)建立模型：9917.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由解(1)利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.519226.1(亿元)利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5(亿元)(2)利用模型得到的预测值更可靠理由如下：从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上
13、下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值
14、更可靠专题作业1(2019合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：x11,13)13,15)15,17)17,19)19,21)21,23频数2123438104(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；(2)若x13或x21，则该产品不合格现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率解(1)频率分布直方图为估计平均数为120.02140.12160.34180.38200.10220.0417.08.由频率分布直方图，得当x17,19)时，矩形面积最大，因此
15、估计众数为18.(2)记技术指标值x6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异3(2019河南名校联考)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下)(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在60,70)和80,90)
16、的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在60,70)的概率解(1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有1431330(人)所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1000750(人)(2)设“至少有1人体育成绩在60,70)”为事件M，记体育成绩在60,70)的2人为A1，A2，体育成绩在80,90)的3人为B1，B2，B3，则从这5人中随机抽取2人，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)而事件M的结
17、果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)因此事件M的概率P(M).4(2019郑州模拟)社区服务是高中生社会实践活动的一个重要内容，某市某中学随机抽取了100名男生、100名女生了解他们一年参加社区服务的时间(单位：小时)，按0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50进行统计，得到男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图如图抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表参加社区服务时间/小时人数频率0,10)0.0510,20)2020,30)0.3530,40
18、)3040,50合计1001抽取的100名女生参加社区服务时间的频率分布直方图(1)完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图；(2)按高中综合素质评价的要求，高中生每年参加社区服务不少于20小时才为合格，根据题中的统计图表，完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有90%以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由；不合格的人数合格的人数合计男女合计200(3)用这200名学生参加社区服务的时间估计全市90000名高中生参加社区服务时间的情况，并以频率作为概率求全市高中生参加社区服务不少于30小时的人数；对该市
19、高中生参加社区服务的情况进行评价P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)由每组的频率等于每组的频数除以样本容量，知男生参加社区服务时间在0,10)内的人数为0.051005；在10,20)内的频率为201000.2；在20,30)内的人数为0.3510035；在30,40)内的频率为301000.3；在40,50)内的人数为100520353010，频率为10.050.20.350.30.1.补全的频率分布表为参加社区服务时间/小时人数频率0,10)50.0510,2
20、0)200.220,30)350.3530,40)300.340,50100.1合计1001根据频率分布直方图中各小长方形的面积的总和等于1，知女生参加社区服务时间在20,30)内的频率为10.01100.025100.02100.01100.35，频率/组距为0.035，所以补全的频率分布直方图如图(2)完成的列联表为不合格的人数合格的人数合计男2575100女3565100合计60140200K22.382.706，所以没有90%以上的把握认为社区服务时间达到合格与性别有关(3)抽取的样本中社区服务不少于30小时的人数为70，频率为，所以全市高中生参加社区服务不少于30小时的概率约为，所以全市高中生参加社区服务不少于30小时的人数约为9000031500.(可从以下角度分析，也可以从其他角度分析，角度正确，分析合理，即可给分)a从抽样数据可以得到全市高中生中还有一部分学生参加社区服务的时间太少，不能达到高中综合素质评价的要求b全市所有高中生参加社区服务的时间都偏少c全市高中生中，女生参加社区服务的时间比男生短d全市高中生参加社区服务的时间集中在1040小时