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1、考点四平面向量 一、选择题1(2019安徽江淮十校最后一卷)已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(4,5)，若(ab)c，则实数()ABC2D2答案C解析因为a(1,2)，b(2,3)，所以ab(12，23)，又(ab)c，所以(ab)c0，即4(12)5(23)0，解得2.故选C.2已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()ABCD答案A解析因为(3，4)，所以与其同方向的单位向量e(3，4)，故选A.3设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a3e14e2与b6e1ke2不能作为一组基底，则实数k的值为()A8B8C4D4答案B解析由a与b不能作为一组基底
2、，则a与b必共线，故，即k8.故选B.4(2019湖南长沙一中一模)若非零向量a，b满足|a|2|b|4，(a2b)a0，则a在b方向上的投影为()A4B8CD答案A解析由(a2b)aa22ab0得ab8，从而a在b方向上的投影为4，故选A.5在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设a，b，则向量()AabBabCabDab答案C解析由CEFABF，且E是CD的中点，得，则()ab，故选C.6(2019辽宁朝阳四模)已知P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，满足(R)，若|2，则()()A2B3C6D与有关的数值答案C解析设BC的中点为O，则|，因为(R)，所以点
3、P在直线BC上，即在方向上的投影为|，所以()22|26，故选C.7已知向量a(2，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是()A(2，)B(2，)CD答案A解析因为a与b的夹角为钝角，所以ab0且a，b不共线，即210且20，故的取值范围是(2，)8若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形答案A解析()(2)0，即()0，()()0，即|，ABC是等腰三角形，故选A.二、填空题9(2019山东栖霞模拟)若向量a(2，x)，b(2,1)不共线，且(ab)(ab)，则ab_.答案3解析因为ab(0，x1
4、)，ab(4，x1)，且(ab)(ab)，所以04(x1)(x1)0，解得x1或x1，因为向量a(2，x)，b(2,1)不共线，所以x1不成立，即x1，所以ab2(2)113.10向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，若abxe1ye2，则y_.答案3解析由题图易得ae14e2，b2e1e2，则ab(e14e2)(2e1e2)e13e2，所以x1，y3.11(2019四川棠湖中学适应性考试)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，若点P满足0，则|_.答案2解析因为0，所以P为ABC的重心，故P的坐标为，即(2,2)，故|2.12(2019山东德州二
5、模)已知ABC中，|2，2.点P为BC边上的动点，则()的最小值为_答案解析以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得B(1,0)，C(1,0)，设P(a,0)，A(x，y)，由2，可得(x1，y)(2,0)2x22，即x2，y0，则()(1a，0)(xa1a1a，y00)(1a)(x3a)(1a)(23a)3a2a232，当a时，()的最小值为.三、解答题13已知a，b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N.(1)用a，b表示向量；(2)设|a|1，|b|2，求a与b的夹角解(1)由题意可得，AB是SMN的中位线，故有22()2(ba)(2)记a与b的夹角为，因为，
6、所以0，即2(ba)a0，则baa20，所以|b|a|cos|a|20，又|a|1，|b|2，则2cos10，即cos，而0，所以.14(2019四川成都龙泉中学模拟)已知平面向量a(，1)，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t)解(1)证明：ab10，ab.(2)ca(t23)b，dkatb，且cd，cda(t23)b(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)ab0.又a2|a|24，b2|b|21，ab0，cd4kt33t0，kf(t)(t0)一、选择题1设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使
7、0成立的是()Aa2bBabCabDab答案C解析“0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，则答案为C.2(2019全国卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，则()A3B2C2D3答案C解析(3，t)(2,3)(1，t3)，|1，1，t3，(1,0)，21302.故选C.3(2019山东临沂、枣庄二模)已知O是正方形ABCD的中心若，其中，R，则()A2BCD答案A解析，1，2，故选A.4ABC所在的平面内有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是()ABCD答案C解析因为，所以，所以22，即P是AC边的一个三等分点，且PCAC，由三角形的面积公式可知，.5(2019福
8、建模拟)已知向量a，b满足|ab|ab|，且|a|，|b|1，则向量b与ab的夹角为()ABCD答案B解析因为|ab|ab|，所以a22abb2a22abb2，即ab0，所以ab.如图，设a，b，则向量b与ab的夹角为BDE，因为tanBDA，所以BDA，BDE.故选B.6如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为()ABCD答案D解析，5，m，m，P是BN上的一点，B，P，N三点共线，m1，m，故选D.7O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，动点P满足，0，)，则点P的轨迹一定经过ABC的()A外心B内心C重心D垂心答案B解析，因为所在直线与A的角平分线重合，则点P
9、的轨迹是A的角平分线，一定经过ABC的内心，故选B.8(2019广东深圳适应性考试)在平行四边形ABCD中，AB3，AD2，若12，则ADC()ABCD答案C解析如图所示，平行四边形ABCD中，因为12，所以22322232cosBAD12，则cosBAD，即BAD，所以ADC，故选C.二、填空题9(2019湖北四地七校联考)正三角形ABC的边长为1，则_.答案解析正三角形ABC的边长为1，()(11cos603).10(2019安徽A10联盟4月联考)在四边形ABCD中，(2,4)，(3，5)，则在上的投影为_答案解析由得四边形ABCD是平行四边形，且(2,4)(3，5)(1，1)，则(2,
10、4)(1，1)(1,3)，在上的投影为|cos，.11(2019唐山模拟)在ABC中，(3)，则角A的最大值为_答案解析因为(3)，所以(3)0，(3)()0，24320，即cosA2，当且仅当|时等号成立因为0A，所以0A，即角A的最大值为.12(2019天津九校联考)在直角三角形ABC中，ABC90，BAC60，AC4，若，动点D满足|1，则|的最小值是_答案1解析建立如图所示的直角坐标系，由题意可得，A(2,0)，B(0,0)，C(0，2)，O，D(cos，2sin)，即，则，| ，当sin()1时，|取到最小值1.三、解答题13(2019安徽涡阳一中第二次质检)如图，设Ox，Oy是平面
11、内相交成60角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量xe1ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设3e12e2.(1)计算|的大小；(2)设向量a(m，1)，若a与共线，求实数m的值；(3)是否存在实数n，使得向量与b(1，n)垂直？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由解(1)e1e211cos60，所以|3e12e2|.(2)因为a(m，1)me1e2，又a与3e12e2共线，所以存在实数使得a，即me1e2(3e12e2)3e12e2，由平面向量基本定理得解得m.(3)假设存在实数n，使得与向量b(1，n)垂直，则b0，即(3e12e2)(e1ne2)3e(3n2)e1e22ne3|e1|2(3n2)e1e22n|e2|23(3n2)2n0，得n，所以存在实数n，使得向量与b(1，n)垂直14如图，在四边形ABCD中，AD4，AB2.(1)若ABC为等边三角形，且ADBC，E是CD的中点，求；(2)若ACAB，cosCAB，求|.解(1)因为ABC为等边三角形，且ADBC，所以DAB120，又AD2AB，所以AD2BC，因为E是CD的中点，所以()().又，所以()221644211.(2)因为ABAC，AB2，所以AC2，因为，所以()，所以.又|cosCAB4，所以.所以|2|22224162.所以|.