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1、【课时训练】课时3导数与函数的综合问题一、选择题1(2018海南中学模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0，当x0时，有0的解集是()A(2,0)(2，)B(2,0)(0,2)C(，2)(2，)D(，2)(0,2)【答案】D【解析】当x0时，0；在(2，)内恒有f(x)0；在(2,0)内恒有f(x)0的解集为(，2)(0,2)2(2018河北故城模拟)若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是()A(，7B(，20C(，0D12,7【答案】B【解析】令f(x)x33x29x2，则f (x)3x26x9，令f (x)0得x1或x3(舍去)f(1)7, f
2、(2)0, f(2)20，f(x)的最小值为f(2)20，故m20.3(2018贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为1,4，部分对应值如下表：x10234f(x)12020f(x)的导函数yf (x)的图象如图所示当1a2时，函数yf(x)a的零点的个数为()A1B2C3D4【答案】D【解析】根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数yf(x)的大致图象如图所示由于f(0)f(3)2,1a2，所以yf(x)a的零点个数为4.4(2018河南濮阳一模)函数f(x)的导函数为f (x)，若xR恒有f (x)ex2的解集为()A(，1)B(1，)C(2，)D(，2)【答案】D【解析】设函数g(x)，
3、则g(x)ex2可转化为.g(2)，x2，x(，2)故选D.二、填空题5(2018大连模拟)函数yx2cos x在区间上的最大值是_【答案】【解析】y12sin x，令y0，又x，得x，则x时，y0；x时，y0.故函数yx2cos x在上单调递增，在上单调递减，所以当x时，函数取得最大值.6(2018安徽江南名校联考)已知x(0,2)，若关于x的不等式0，即kx22x对任意x(0,2)恒成立，从而k0，因此由原不等式，得k0，函数f(x)在(1,2)上单调递增；当x(0,1)时， f (x)0，函数f(x)在(0,1)上单调递减所以kf(x)minf(1)e1，故实数k的取值范围是0，e1)三
4、、解答题7(2018云南大理二模)设f(x)(x1)eax(其中a0)，曲线yf(x)在x处有水平切线(1)求a的值；(2)设g(x)f(x)xxln x，证明：对任意x1，x2(0,1)有|g(x1)g(x2)|e12e2.(1)【解】f (x)eaxa(x1)eax(axa1)eax.由题意知0f (a2)e，解得a2.(2)【证明】令g(x)g1(x)g2(x)，x(0,1)，其中g1(x)(x1)e2xx，g2(x)xln x，求导得g1(x)(2x1)e2x1.对h(x)g1(x)求导得h(x)2e2x2(2x1)e2x4xe2x0，x(0,1)因此g1(x)在(0,1)上为增函数，
5、故当x(0,1)时，g1(x)g1(0)0.因此g1(x)在(0,1)上也为增函数，从而1g1(0)g1(x)g1(1)12e2(0x1)又g2(x)1ln x，令g2(x)0，解得xe1.当0xe1时，g2(x)0，g2(x)在(0，e1)上为减函数；当e1x1时，g2(x)0，g2(x)在(e1,1)上为增函数，从而g2(x)在(0,1)上取得的最小值为g2(e1)e1，因此e1g2(x)0(0x1)由得1e1g(x)12e2(0x1)，因此对任意x1，x2(0,1)，有|g(x1)g(x2)|(12e2)(1e1)e12e2.8(2019贵阳检测)已知函数f(x)(x1)ex1，x0,1
6、(1)证明：f(x)0；(2)若a0，x(0,1)，所以当x(0,1)时，g(x)g(1)e1，要使a成立，只需exax10在x(0,1)恒成立，令h(x)exax1，x(0,1)，则h (x)exa.由x(0,1)，得ex(1，e)当a1时，h (x)0，此时x(0,1)，有h(x)h(0)0成立，所以a1满足条件；当ae时，h(x)0，此时x(0,1)，有h(x)h(0)0，不符合题意，舍去；当1ae时，令h(x)0，得xln a当x(0，ln a)时，h(x)0，即x(0，ln a)时，h(x)h(0)0，不符合题意，舍去综上，a1.又be1，所以ba的最小值为e2.9(2018沈阳监测
7、)已知函数f(x)aln x(a0)，e为自然对数的底数(1)若过点A(2，f(2)的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x0时，求证：f(x)a；(3)若在区间(1，e)上eex0恒成立，求实数a的取值范围(1)【解】由题意得f (x)，f (2)2，a4.(2)【证明】f(x)a等价于a0，令g(x)a(ln x1)，则g(x)a.令g(x)0，即a0，解得x1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)的最小值为g(1)0，f(x)a.(3)【解】由题意可知【答案】eex，化简得ln x，又x(1，e)，a.令h(x)，则h(x)，由(2)知，当x(1，e)时，ln x10，h(x)0，即h(x)在(1，e)上单调递增，h(x)h(e)e1.ae1.