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1、刷题增分练 34抛物线的定义、标准方程及性质刷题增分练 小题基础练提分快一、选择题12019哈尔滨模拟过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212x By212xCx212y Dx212y答案：D解析：由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，故其方程为x212y.2抛物线x4y2的准线方程为()Ay By1Cx Dx答案：C解析：将x4y2化为标准形式为y2x，所以2p，p，开口向右，所以抛物线的准线方程为x.3顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2x
2、Bx28yCy28x或x2y Dy2x或x28y答案：D解析：设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，解得m1，则抛物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程为x28y.故选D.42019广东广州天河区实验月考抛物线x24y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为()A2 B1C2 D3答案：A解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1.根据抛物线定义，得yP13，解得yP2，代入抛物线方程求得xP2，点P到y轴的距离为2.故选A.5已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若A
3、OB的面积为1，则p的值为()A1 B.C2 D4答案：B解析：双曲线x21的渐近线y2x与抛物线y22px的准线x的交点分别为A，B，则|AB|2p，AOB的面积为2p1，p0，解得p.62019山东第三月考已知点Q(0,2)及抛物线y24x上一动点P(x，y)，则x|PQ|的最小值为()A4 B2C6 D.答案：B解析：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，则由抛物线的定义得其准线方程为x1.设d为点P(x，y)到准线的距离x|PQ|d1|PQ|PF|PQ|1|FQ|1，x|PQ|的最小值是|QF|1.点Q(0,2)，|QF|3.x|PQ|的最小值是|QF|1312.故选B.7直线xy10与
4、抛物线y22px的对称轴及准线相交于同一点，则该直线与抛物线的交点的横坐标为()A1 B1 C2 D3答案：B解析：由题意可得，直线xy10与抛物线y22px的对称轴及准线交点的坐标为，代入xy10，得10，即p2，故抛物线的方程为y24x.将y24x与直线方程xy10联立可得交点的坐标为(1,2)故选B.82019广东中山一中统测过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点如果x1x26, 那么|AB|()A6 B8 C9 D10答案：B解析：由题意知，抛物线y24x的准线方程是x1. 过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两
5、点，|AB|x1x22.又x1x26，|AB|x1x228.故选B.二、非选择题92019广西贺州桂梧高中月考抛物线x22py(p0)的焦点到直线y2的距离为5，则p_.答案：6解析：由题意得25，p6.102019湖南益阳、湘潭联考已知圆C1：x2(y2)24，抛物线C2：y22px(p0)，C1与C2相交于A，B两点若|AB|，则抛物线C2的方程为_答案：y2x解析：由题意得圆C1与抛物线C2的其中一个交点B为原点，设A(x，y)，圆C1的圆心为C(0,2)|AB|，sinBCA，cosBCA.y|AB|sinBCA，x|AB|cosBCA，点A的坐标为.点A在抛物线C2上，2p2，解得p
6、，抛物线C2的方程为y2x.112019厦门模拟已知焦点为F的抛物线y22px(p0)上一点A(m，2)，若以A为圆心，|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为2，则m_.答案：2解析：因为圆A被y轴截得的弦长为2，所以|AF|m，又A(m,2)在抛物线上，故82pm由与可得p2，m2.122019浙江联考抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(1,0)，则的最小值是_答案：解析：根据抛物线的定义，可求得|PF|x1，又|PA|，所以.因为y24x，令t，则式可化简为，其中t(0,2，即可求得的最小值为，所以的最小值为.刷题课时增分练 综合提能力课时练赢高分一、选择题
7、1若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为()Ay24x By236xCy24x或y236x Dy28x或y232x答案：C解析：因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x0，6)因为P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x010.因为P在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，则抛物线的方程为y24x或y236x.22019重庆酉阳月考已知F是抛物线C：y2x2的焦点，点P(x，y)在抛物线C上，且x1，则|PF|()A. B.C. D.答案：C解析：由y2
8、x2，得x2，则p.由x1得y2.由抛物线的性质，得|PF|22.故选C.3已知抛物线y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，P是抛物线上一点，若|PF|5，则PKF的面积为()A4 B5C8 D10答案：A解析：通解由抛物线y24x，知1，则焦点F(1,0)设点P，则由|PF|5，得 5，解得y04，所以SPKFp|y0|244，故选A.优解由题意知抛物线的准线方程为x1.过点P作PAl于点A，由抛物线的定义知|PF|xpxp15，所以xp4，代入抛物线y24x，得yp4，所以SPKFp|yp|244，故选A.4已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率
9、为()A BC1 D答案：D解析：设M(x，y)，由题意知F，由抛物线的定义，可知x2p，故x，由y22p，知yp.当M时，kMF，当M时，kMF，故kMF.故选D.52018全国卷设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6C7 D8答案：D解析：由题意知直线MN的方程为y(x2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设M为(1,2)，N为(4,4)又抛物线焦点为F(1,0)，(0,2)，(3,4)03248.故选D.62019辽宁联考抛物线C：y24x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上
10、，则MNF的面积为()A. B. C. D3答案：C解析：如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|EF|EN|，又E在抛物线C上，所以EN准线x1，E，所以N(1，)，M(0,2)，所以|NF|，|NM|，所以MNF的面积为，故选C.72019河南联考已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，且l过点(2,3)，M在抛物线C上若点N(1,2)，则|MN|MF|的最小值为()A2 B3C4 D5答案：B解析：由题意得l：x2，抛物线C：y28x.过点M作MMl，垂足为点M，过点N作NNl，垂足为点N.由抛物线的几
11、何性质，得|MN|MF|MN|MM|NN|3.当点M为直线NN与抛物线C的交点时，|MN|MF|取得最小值3.故选B.82019湘潭调研如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为()A5 B6 C. D.答案：C解析：解法一如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，解得y12，所以A(3,2)，又F
12、(1,0)，所以直线AF的斜率k，所以直线AF的方程为y(x1)，代入抛物线方程y24x得，3x210x30，所以x1x2，|AB|x1x2p.故选C.解法二如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p.故选C.解法三如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2
13、p，所以2p4，解得p2，抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为，|AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.故选C.二、非选择题92019宁夏模拟已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为_答案：4解析：由题意可设抛物线的标准方程为x22py(p0)由定义知P到准线的距离为4，故24，即p4，所以抛物线的方程为x28y，代入点P的坐标得m4.10抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是_答案：解析：解法一如图，设与直线4x3y80平行且与抛物线yx2相切的直线为4x3yb0，切线方程与抛物线方程
14、联立得消去y整理得3x24xb0，则1612b0，解得b，所以切线方程为4x3y0，抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是这两条平行线间的距离d.解法二由yx2，得y2x.如图，设与直线4x3y80平行且与抛物线yx2相切的直线与抛物线的切点是T(m，m2)，则切线斜率ky|xm2m，所以m，即切点T，点T到直线4x3y80的距离d，由图知抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是.112019云南大理州模拟已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且满足.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若点M在抛物线C的准线上运
15、动，其纵坐标的取值范围是1,1，且9，点N是以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点，求点N的纵坐标的取值范围解析：(1)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，其焦点F的坐标为，直线l的方程为xty，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去x得：y22ptyp20，所以y1y22pt，y1y2p2，x1x2.因为x1x2y1y2，解得p1，所以所求抛物线C的标准方程为y22x.(2)设点M，1m1，由(1)知，x1x2，y1y21，y1y22t，所以x1x22t21，因为(y1m)(y2m)(tm)2，所以(tm)29得tm3或tm3，因为1m1，2t4或4t2，由抛物线定义可知，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，所以点N的纵坐标为t，所以点N的纵坐标的取值范围是4，22,4