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1、 专题6.12：等差数列若干问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：等差数列的证明问题提升对（常数）本质的认识，只要后项减前项为同一个常数，就能证明数列是等差数列. 根据条件，判断下列数列是否为等差数列？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）已知数列及是两个无穷等差数列，公差分别是和，求证：成等差数列，并求它的公差. 探究2：含绝对值的数列问题设等差数列的通项公式为，设数列的每一项都满足，求数列的前项和.变式：已知数列an共有2k项（），数列an的前n项和为Sn，满足：a1 = 2，an+1 = (p - 1)Sn + 2（n = 1，2， 2k-1），其中常数p 1（1）求证：数
2、列an是等比数列；（2）若，数列bn 满足（n = 1，2， 2k），求数列bn 的通项公式；（3）对于（2）中数列bn ，求和Tn = 解：（1）an+1 = (p - 1)Sn + 2（n = 1，2， 2k-1），an = (p - 1)Sn - 1 + 2（n = 2， 2k）则当n = 2， 2k-1时，两式相减，得an+1 - an = (p - 1)（Sn - Sn - 1），即an+1 - an = (p - 1) anan+1 = pan（n = 2， 2k-1） 原式中，令n = 1，得a2 = (p - 1)a1 + 2 = 2 (p - 1) + 2 = 2p = pa
3、1an+1 = pan，即（n = 1，2， 2k-1）则数列an是等比数列 （2）由（1），得an = a1p n - 1 （3），当nk时，；当nk+1时，则Tn = =探究3：三个数或四个数成等差数列问题（1）三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，求这三个数. （2）成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数. 探究4：等差数列通项的若干性质探究.（1）已知，两个数列和都是等差数列，且公差分别为和，求.（2）已知是等差数列，当（）时，是否有？如果是，请给出证明. 并思考能否对该结论作进一步推广？（3）在等差数列中，已知，则探究5：（1）一个等
4、差数列的前项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差（2）等差数列中，前项（为奇数）和为77,其中偶数项之和为33,且,则数列的通项公式为_. 探究6： （1）已知等差数列的前项和为，首项为，公差为，则是_数列. （2）设Sn为等差数列an的前n项和，已知S5 = 5，S9 = 27，则S7 = （3）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_.（4）等差数列的前项和为，首项为，公差为，则成等差数列，公差为_.（5）已知各项均为正数的等比数列的前项和为,且，则的最小值为_ 32解：利用等比数列连续等项的和成等比数列性质可容易得到。探究7：等差数列an和bn的前n项的和分别是
5、Sn和Tn，且，则=_，=_变式1：已知等差数列an和bn的前n项的和分别是 Sn和Tn，且，则使得为正整数的的个数为_ 变式2：两个等差数列和前项的和分别为和，且，若 是整数，则= 29变式3：设数列、是各项均为正数的等比数列，并设、的前项和分别为和，若，设，则数列的通项公式为_. 应用等差数列和等比数列的互化方法以及结论完成探究8：（1）在一个等差数列中，如果其中有一项为，那么能否成为该等差数列的连续三项？（2）已知由正数组成的无穷等差数列中有3项. 求证：是其中一项. （3）数列满足：，（），其中为常数. 当时，求与的值； 数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，请说明理由.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？