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1、专题跟踪检测（十九） 不等式选讲 1(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)当x1时，由2x40，解得2x2时，由2x60，解得2x3，故f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，)2(2018兰州模拟)设函数f(x)|x3|，g(x)|x2|.(1)解不等式f(x)g(x)2；(2)对于实数x，y，若f(x)1，g(y)1，证明
2、：|x2y1|3.解：(1)解不等式|x3|x2|2.当x2时，原不等式可化为3x2x.所以x2.当2x3时，原不等式可化为3xx22，解得13时，原不等式可化为x3x22，解得x.所以3x.由可知，不等式的解集为.(2)证明：因为f(x)1，g(y)1，即|x3|1，|y2|1，所以|x2y1|(x3)2(y2)|x3|2|y2|123.当且仅当或时等号成立3(2018开封模拟)已知函数f(x)|xm|，m0.(1)当m1时，求解不等式f(x)f(x)2x；(2)若不等式f(x)f(2x)1的解集非空，求m的取值范围解：(1)当m1时，f(x)|x1|，f(x)|x1|，设F(x)|x1|x
3、1|G(x)2x，由F(x)G(x)，解得x2或x0，所以不等式f(x)f(x)2x的解集为x|x2或x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m0.设g(x)f(x)f(2x)，当xm时，g(x)mxm2x2m3x，则g(x)m；当mx时，g(x)xmm2xx，则g(x)m；当x时，g(x)xm2xm3x2m，则g(x).所以g(x)的值域为，若不等式f(x)f(2x)，解得m2，又m0，所以m的取值范围是(2,0)4(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值解：(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(
4、2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.5已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)f(a)f(b)解：(1)当x1时，原不等式可化为x12x2，解得x1；当1x时，原不等式可化为x12x2，解得x1，此时原不等式无解；当x时，原不等式可化为x11.综上，Mx|x1(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2
5、a2b210，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立6(2018广东五市联考)已知函数f(x)|xa|(a0)(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a时，函数g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数a的取值范围解：(1)f(xm)|xma|.f(x)f(xm)|xa|xma|m|，当且仅当|m|1时，f(x)f(xm)1恒成立，1m1，即实数m的最大值为1.(2)当a时，g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|g(x)minga0，或解得a0，实数a的取值范围是.7(2018郑州模拟)已知函数
6、f(x)|2x1|ax5|(0a5)(1)当a1时，求不等式f(x)9的解集；(2)若函数yf(x)的最小值为4，求实数a的值解：(1)当a1时，f(x)|2x1|x5|所以f(x)9或或解得x1或x5，即所求不等式的解集为(，15，)(2)0a时，f(x)单调递增，f(x)的最小值在上取得在上，当0a2时，f(x)单调递增，当2a5时，f(x)单调递减，或解得a2.8(2018成都模拟)已知函数f(x)|x2|k|x1|，kR.(1)当k1时，若不等式f(x)4的解集为x|x1xx2，求x1x2的值；(2)当xR时，若关于x的不等式f(x)k恒成立，求k的最大值解：(1)由题意，得|x2|x1|2时，原不等式可化为2x5，2x；当1x2时，原不等式可化为34，1x2.当x1时，原不等式可化为2x3，x1；综上，原不等式的解集为，即x1，x2.x1x21.(2)由题意，得|x2|k|x1|k.当x2时，即不等式3kk成立，k0.当x2或x0时，|x1|1，不等式|x2|k|x1|k恒成立当2x1时，原不等式可化为2xkxkk，可得k1，k3.当1x0时，原不等式可化为2xkxkk，可得k1，k3.综上，可得0k3，即k的最大值为3.