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1、八 坐标系与参数方程,【核心知识必记】 1.极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴 作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度 单位.如图,设M是平面内的任意一点,它的,直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表:,2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.,(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的 关系y=g(t),那么 就是曲线的参数方程.,3.直线的极坐标方程 若直线过点M(
2、a,a),且极轴逆时针旋转直线的角为,则它的方程为sin(-)=asin(a-). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:=.,(2)直线过点M(a,0)(a0)且垂直于极轴:cos =a. (3)直线过M 且平行于极轴:sin =b.,4.圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为r:=r. (2)当圆心位于M(r,0),半径为r:=2rcos . (3)当圆心位于M ,半径为r:=2rsin .,5.直线的参数方程 经过点Pa(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程为 (t为参数).,6.圆、椭圆的参数方程 (1)圆心在点M(x0,y0),半
3、径为r的圆的参数方程为 (为参数,02). (2)椭圆 =1的参数方程为 (为参数).,【易错易混提醒】 1.参数方程与普通方程的互化中容易出现错误. 2.点的极坐标与平面直角坐标的互化中出现错误. 3.识别参数方程或极坐标方程表示的曲线时出现错误. 4.讨论参数方程或极坐标方程表示的曲线间的关系时出现错误.,【易错诊断】 1.极坐标方程=cos 和参数方程 (t为参数) 所表示的图形分别是 ( ) A.直线、直线 B.圆、圆 C.直线、圆 D.圆、直线,【解析】选D.极坐标方程=cos 化为直角坐标方程 为x2+y2-x=0,表示圆, 参数方程 ,化为普通方程为3x+y+1=0,表示 直线.
4、,2.已知点P(1,- ),则它的极坐标是 ( ),【解析】选C.因为点P的直角坐标为(1,- ), 所以= =2. 再由1=cos ,- =sin ,可得 结合所给的选项,可取=- ,即点P的极坐标为,3.已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的 极坐标方程为=2cos ,则圆C的圆心到直线l的距 离等于_.,【解析】已知直线l的参数方程为 (t为参数), 转化成直角坐标方程为:4x-3y+1=0. 圆C的极坐标方程为=2cos , 整理得:2=2cos 转化成直角坐标方程为:x2+y2-2x=0, 转化成标准形式为:(x-1)2+y2=1.,所以:圆心坐标为(1,0),半径为1. 则:
5、圆C的圆心到直线l的距离为d= =1. 答案:1,4.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为=-2cos , cos +1=0,则曲线C1上的点与曲线C2上的点 的最远距离为_.,【解析】曲线C1的极坐标方程为=-2cos 即=2sin ,两边同乘以,得2=2sin , 化为普通方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1. 表示以C(0,1)为圆心,半径为1 的圆. C2的极坐标方程为 cos +1=0,即sin +cos +1=0, 化为普通方程为x+y+1=0,表示一条直线. 如图,圆心到直线距离d=|CQ|= 曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为|PQ|= d+r= +1. 答案: +1,5.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与曲线 (t为参数)相交于A,B两点,求线段AB的长.,【解析】曲线 的普通方程为y=x2+2x. 联立 所以可取A(0,0),B(-1,-1), 所以AB=,