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1、上教版七年级（下）第十四章三角形中14.2三角形的内角和 教学设计 一、教材地位和作用 本节课的内容是上教版第十四章三角形中 14.2三角形的内角和的 第一课时 . 上教版初中数学教材的几何部分教学分为三个阶段：直观几何阶段、 实验几 何阶段和论证几何阶段 . 三个阶段实施年级实施内容 直观几何六年级、七年级上第四章圆和扇形等 实验几何七年级下 第十三章相交线 平行线 第十四章三角形 论证几何八年级、九年级第十八章几何证明等 第十四章以三角形为研究对象. 三角形是平面内最简单的直线型封闭图形，三角 形的知识是进一步探究学习其他图形性质的基础. 本章节的教学处在从是实验几 何向论证几何的过渡期间
2、， 也是实验几何的最后一章， 许多内容的呈现以实验归 纳为主，同时也有些内容是通过说理来导出，或者把实验归纳与推理论证结合起 来阐述 . 由于学生在小学阶段已经通过实验操作对三角形的内角和已有直观认 识，所以实验探究与演绎说理相结合成为本章乃至本节课的教学主策略. 此外， 在三角形内角和性质的证明中引入了辅助线，这些都为后继学习奠定了基础. 二、教学目标分析 教学目标经历对三角形内角和性质说理证实的过程，进一步了解演绎推理的意 义，初步体验联想与构造的思维方法；掌握三角形内角和性质及其应用；并在知 识发生过程和运用中发展理性思维. 教学重点三角形内角和性质及其应用. 教学难点三角形内角和性质说
3、理证实的过程. 教学过程说明 A BC 两直线平行，同旁内角互补 平角的意义 180 一、三角形内角和性质的说理证实 1、开门见山，引出课题 这是我们非常熟悉的三角形，今天，我们一起 研究三角形的内角和 . 关于三角形的内角和，你们知 道多少？ 小学时，你们就已经知道三角形的内角和是180，当时你们 是通过量角器量一量、剪刀剪一剪拼一拼的操作去解释的. 然而， 量一量、拼一拼都只能对具体的三角形进行操作，不具有一般性， 并且量、拼都会产生误差，所以通过操作来说明就不可靠了. 因此， 我们要用严谨的说理去证实. 2、联想构造，说理证实 如何说理验证？ 为了便于说明，我们结合图形ABC ，用符号形
4、式表示出来 . （1）将命题（文字语言）转化为数学符号语言（图像语言、符号 语言） 图像语言： 符号语言：如果A、B、C 是ABC 的三个内角， 那么 A+B+C=180. （2）联想、启发 要说明 A+B+C=180 ，想一想在已学的几何意义、定理 中，会出现 180的有哪些结论？ （3）构造、说理 如果 A、 B、 C 是ABC 的三个内角， 那么 A+B+C=180. 解：过 ABC的顶点 A作直线 DE BC DEBC B=DAB （两直线平行，内错角相等） C= EAC （两直线平行，内错角相等） D、A、E在直线 DE上 DAB+ BAC+ EAC=180 （平角的意义） B+BA
5、C+ C=180 （等量代换） 启发和鼓励同学们用其它方法证明，例如延长三角形的一边构 学 生 在 小 学 的学习中， 通 过 实 验 操 作 知 道 了 三 角 形 内 角 和 的 结论，所以尊 重 学 生 的 认 知基础，直接 进 入 说 理 阶 段. 文字语言、 图 像 语 言 和 符 号 语 言 是 几 何 说 理 的 基 础，为之后论 证 几 何 阶 段 的 说 理 作 准 备. 让 学 生 自 己 回 顾 已 学 过 的几何意义、 定理，从中发 现 有180 的结论 . 以便 进 行 联 想 与 构造 . 从 学 生 认 知 的 最 近 发 展 区角度出发， 学 生 很 容 易 由
6、180 想 到 平 角 的 意 义 或 两 直 线 平 行 下 的 同 _ A BC 造平角或过三角形一顶点作其对边的平行线构造同旁内角.这里不 给出其他证法的详细证明过程了. 在肯定学生思路的同时，点出几种证法背后的共同点，即借 助联想，通过添加辅助线， 构造平角或两直线平行， 进行几何说理， 初步体验联想与构造的思维方法. （4）归纳和整理 通过同学们多种的说理方法， 我们证实了 “三角形的内角和是 180”，而这个结论就是我们今天要研究的三角形的内角和性质. 三角形的内角和性质三角形的内角和等于180 图像语言： 符号语言：A、 B、C 是ABC 的三个内角（已知） A+B+C=180（
7、三角形的内角和等于180） 二、三角形内角和性质的应用举例 . 探索得到了三角形的内角和性质，接下来，就让我们一起解决 以下问题吧 . 1、试一试：应用三角形的内角和性质，判断下列各组角度的角是 否为同一个三角形的内角： （1）80、95、5答：是同一个三角形的内角； （2）60、20、90答：不是同一个三角形的内角； （3）73、50、57答：是同一个三角形的内角； 2、例题 1：在 ABC 中，如果 B=25， C=65，求 A 的大 小，并判断 ABC 的类型 . 解： A、B、 C 是ABC 的三个内角（已知） A+B+C=180（三角形的内角和等于180） B=25， C=65（已知
8、） A=180 B C=1802565=90 （等式性质） ABC 是直角三角形 直接应用三角形的内角和性质，通过已知的两个内角，求出第 三个内角 .还结合角的特征判断三角形的形状. 3、例题 2：在 ABC 中，已知 A：B：C=1：2：3,求A、 B、C 的大小 . 旁内角互补， 从 而 进 行 构 造、说理 . 这 里 不 给 出 其 他 证 法 的 详 细 证 明 过 程，只是对说 理 思 路 进 行 数学交流 . 对 三 角 形 内 角 和 性 质 的 直 接 巩 固 应 用. 先 让 学 生 进 行表达，然后 示 范 几 何 说 理的格式， 指 出 几 何 计 算 不 能 只 有
9、结 论，而应有严 密 的 推 理 过 程，逐步要求 学 生 养 成 言 必 有 据 的 习 惯. D A BC 解：根据题意，可设 A、B、C 的大小分别为 x,2x,3x A、B、C 是ABC 的三个内角（已知） A+B+C=180（三角形的内角和等于180） 即 x+2x+3x=180 x=30 A=30，B=60， C=90 当给出按比例分配的条件时，我们通常可以采取设元的方法. 在设元的过程中，采用简单原则，比如在例题2 中，我们设每一份 为 x，由份数把 A、B、C 的大小都可用含有x 的代数式表示 . 再根据已知条件寻找数量关系， 建立含有元的方程进行求解.这也是 今后在几何计算中
10、的常用方法之一. 4、例题 3：如图，在 ABC 中， BAC=60， C=45，AD 是ABC 的角平分线， 求ADB 的大小 . 分析： 通过这两种解题思路的分析，再写出说理过程就简单多了.下 面，我们写出其中一种解题过程. 解： AD 是ABC 的角平分线（已知） DAC= 2 1 BAC （角平分线的意义） BAC=60（已知） DAC=30（等式性质） DAC、ADC、C 是ADC 的三个内角（已知） DAC+ADC+C=180（三角形的内角和等于180） C=45（已知） ADC=180 DAC C=180 30 45=105 （等式性质） B、D、C 在直线 BC 上（已知） A
11、DB+ADC=180（平角的意义） ADB=180 ADC=180105=75（等式性质） 若有同学通过添加辅助线进行求解，应向学生指出这种想法可 以证明，但繁琐而不必要 .然而添加辅助线的方法有价值， 应予以肯 定. 本 题 渗 透 用 方 程 思 想 将 几 何 中 的 数 量 问 题 转 化 为方程问题. 在 许 多 几 何 题中，运用方 程 思 想 去 解 决，具有思路 顺畅、过程简 捷的特点 . 渗透分析法， 并 以 分 析 框 图 的 方 式 呈 现，一方面培 养 学 生 分 析 能力，同时以 此 降 低 说 理 书写的难度 . 对 较 长 的 说 理 过 程 引 导 学 生 学
12、会 分 段处理，以简 明 的 逻 辑 段 落 逐 步 演 绎 说理，用空一 行加以区分 . 三、课堂小结 1、学生小结 2、教师小结 （1）经历对三角形内角和性质说理证实的过程，体验联想与构造 的思维方法； （2）通过对三角形内角和性质的应用，进一步了解演绎推理的意 义. 四、思考拓展 1、思考题：一个三角形的三个内角中最多有几个钝角？ 解：一个三角形的三个内角中最多有1 个钝角 . 假设一个三角形中有2 个钝角， 那么它们的和一定大于180， 则这个三角形的内角和也必定大于180，与“三角形的内角和等 于 180”矛盾，所以一个三角形的三个内角中最多有1 个钝角 . 2、拓展题：你能求出四边
13、形的内角和吗？六边形呢？ 解：把四边形的内角和问题转化成两个三角形的内 角和问题 . 解：把六边形的内角和问题也可以转化成三角形或四边形内角和问 题. 五、回家作业 必做题 练习册习题 14.2（1）. 选做题： 请运用今天的探索成果，解决以下问题： 1、你还能用其它的方法对三角形内角和性质进行说理吗？ 2、你能猜想出五边形的内角和吗？请对你的猜想结论通过说理进 行证实 . 本 题 既 是 三 角 形 内 角 和 性质的运用, 同 时 体 验 化 归思想，把多 边 形 内 角 和 的 问 题 转 化 成 我 们 熟 悉 的三角形、 四 边 形 内 角 和 问题 . 作 业 设 计 说 明：必做
14、题对 所 学 知 识 进 行有效巩固， 面 向 全 体 学 生；选做题面 向 部 分 有 自 主 探 究 能 力 的学生 . A BC 两直线平行，同旁内角互补 平角的意义 180 教学设计 教学过程说明 一、三角形内角和性质的说理证实 1、开门见山，引出课题 这是我们非常熟悉的三角形，今天，我们一起 研究三角形的内角和 . 关于三角形的内角和，你们知 道多少？ 小学时，你们就已经知道三角形的内角和是180，当时你们 是通过量角器量一量、剪刀剪一剪拼一拼的操作去解释的. 然而， 量一量、拼一拼都只能对具体的三角形进行操作，不具有一般性， 并且量、拼都会产生误差，所以通过操作来说明就不可靠了.
15、因此， 我们要用严谨的说理去证实. 2、联想构造，说理证实 如何说理验证？ 为了便于说明，我们结合图形ABC ，用符号形式表示出来 . （1）将命题（文字语言）转化为数学符号语言（图像语言、符号 语言） 图像语言： 符号语言：如果 A、B、C 是ABC 的三个内 角， 那么 A+B+C=180. （2）联想、启发 要说明 A+B+C=180 ，想一想在已学的几何意义、定理 中，会出现 180的有哪些结论？ （3）构造、说理 如果 A、 B、 C 是ABC 的三个内角， 那么 A+B+C=180. 解：过 ABC的顶点 A作直线 DE BC DEBC B=DAB （两直线平行，内错角相等） 学生
16、在小学的 学习中，通过实 验操作知道了 三角形内角和 的结论，所以尊 重学生的认知 基础，直接进入 说理阶段 . 文字语言、图像 语言和符号语 言是几何说理 的基础，为之后 论证几何阶段 的说理作准备 . 让学生自己回 顾已学过的几 何意义、定理， 从 中 发 现 有 180的结论. 以便进行联想 与构造 . 从学生认知的 最近发展区角 度出发，学生很 容 易 由180 想到平角的意 义或两直线平 行下的同旁内 角互补，从而进 行构造、说理 . 这里不给出其 他证法的详细 证明过程，只是 对说理思路进 行数学交流 . _ A BC C= EAC （两直线平行，内错角相等） D、A、E在直线 D
17、E上 DAB+ BAC+ EAC=180 （平角的意义） B+BAC+ C=180 （等量代换） 启发和鼓励同学们用其它方法证明，例如延长三角形的一边构 造平角或过三角形一顶点作其对边的平行线构造同旁内角.这里不 给出其他证法的详细证明过程了. 在肯定学生思路的同时，点出几种证法背后的共同点，即借 助联想，通过添加辅助线， 构造平角或两直线平行， 进行几何说理， 初步体验联想与构造的思维方法. （4）归纳和整理 通过同学们多种的说理方法， 我们证实了 “三角形的内角和是 180” ，而这个结论就是我们今天要研究的三角形的内角和性质. 三角形的内角和性质三角形的内角和等于180 图像语言： 符号
18、语言： A、B、C 是 ABC 的三个内角 （已知） A+B+C=180（三角形的内角和等于180） 二、三角形内角和性质的应用举例 . 探索得到了三角形的内角和性质，接下来，就让我们一起解决 以下问题吧 . 1、试一试：应用三角形的内角和性质，判断下列各组角度的角是 否为同一个三角形的内角： （1）80、95、5答：是同一个三角形的内角； （2）60、20、90答：不是同一个三角形的内角； （3）73、50、57答：是同一个三角形的内角； 2、例题 1：在 ABC 中，如果 B=25， C=65，求 A 的大 小，并判断 ABC 的类型 . 解： A、B、 C 是ABC 的三个内角（已知）
19、A+B+C=180（三角形的内角和等于180） B=25， C=65（已知） A=180 B C=1802565=90 （等式性质） 对三角形内角 和性质的直接 巩固应用 . 先让学生进行 表达，然后示范 几何说理的格 式， 指出几何计 算不能只有结 论， 而应有严密 的推理过程， 逐 步要求学生养 成言必有据的 习惯 . 本题渗透用方 程思想将几何 中的数量问题 转化为方程问 题. 在许多几何 题中，运用方程 思想去解决， 具 有思路顺畅、 过 程简捷的特点 . 渗透分析法， 并 以分析框图的 方式呈现，一方 面培养学生分 析能力，同时以 此降低说理书 写的难度 . 对较长的说理 过程引导学
20、生 学会分段处理， 以简明的逻辑 段落逐步演绎 说理，用空一行 加以区分 . D A BC ABC 是直角三角形 直接应用三角形的内角和性质，通过已知的两个内角，求出第 三个内角 .还结合角的特征判断三角形的形状. 3、例题 2：在 ABC 中，已知 A：B：C=1：2：3,求A、 B、C 的大小 . 解：根据题意，可设 A、B、C 的大小分别为 x,2x,3x A、B、C 是ABC 的三个内角（已知） A+B+C=180（三角形的内角和等于180） 即 x+2x+3x=180 x=30 A=30，B=60， C=90 当给出按比例分配的条件时，我们通常可以采取设元的方法. 在设元的过程中，采
21、用简单原则，比如在例题2 中，我们设每一份 为 x，由份数把 A、B、C 的大小都可用含有x 的代数式表示 . 再根据已知条件寻找数量关系， 建立含有元的方程进行求解.这也是 今后在几何计算中的常用方法之一. 4、例题 3：如图，在 ABC 中， BAC=60， C=45，AD 是ABC 的角平分线， 求ADB 的大小 . 分析： 通过这两种解题思路的分析，再写出说理过程 就简单多了 .下面，我们写出其中一种解题过程. 解： AD 是ABC 的角平分线（已知） DAC= 2 1 BAC （角平分线的意义） BAC=60（已知） DAC=30（等式性质） DAC、ADC、C 是ADC 的三个内角
22、（已知） DAC+ADC+C=180（三角形的内角和等于180） C=45（已知） ADC=180 DAC C=180 30 45=105 （等式性质） B、D、C 在直线 BC 上（已知） ADB+ADC=180（平角的意义） ADB=180 ADC=180105=75（等式性质） 本题既是三角 形内角和性质 的运用 , 同时体 验化归思想， 把 多边形内角和 的问题转化成 我们熟悉的三 角形、四边形内 角和问题 . 作业设计说明： 必做题对所学 知识进行有效 巩固，面向全体 学生；选做题面 向部分有自主 探究能力的学 生. 若有同学通过添加辅助线进行求解，应向学生指出这种想法可 以证明，但
23、繁琐而不必要 .然而添加辅助线的方法有价值， 应予以肯 定. 三、课堂小结 1、学生小结 2、教师小结 （1）经历对三角形内角和性质说理证实的过程，体验联想与构造 的思维方法； （2）通过对三角形内角和性质的应用，进一步了解演绎推理的意 义. 四、思考拓展 1、思考题：一个三角形的三个内角中最多有几个钝角？ 解：一个三角形的三个内角中最多有1 个钝角 . 假设一个三角形中有2 个钝角， 那么它们的和一定大于180， 则这个三角形的内角和也必定大于180，与“三角形的内角和等 于 180”矛盾，所以一个三角形的三个内角中最多有1 个钝角 . 2、拓展题：你能求出四边形的内角和吗？六边形呢？ 解：把四边形的内角和问题转化成两个三角形的内 角和问题 . 解：把六边形的内角和问题也可以转化成三角形或四边形内角和问题. 五、回家作业 必做题 练习册习题14.2（1）. 选做题： 请运用今天的探索成果，解决以下问题： 1、你还能用其它的方法对三角形内角和性质进行说理吗？ 2、你能猜想出五边形的内角和吗？请对你的猜想结论通过说理进 行证实 .