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1、13.3.2 等边三角形 学校： _姓名： _班级： _ 一选择题（共12 小题） 1如图， AOB是边长为2 的等边三角形，顶点A的坐标是（） A（，） B（， 1） C（ 1，） D （， 1） 2平面上，若点P 与 A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是 A 、B、C 三点的巧妙点若A、B、C三点构成三角形，也称点P是 ABC的巧妙点则平面上等边 ABC的巧妙点有（）个 A7 B 8 C 9 D10 3在 ABC中， AB=BC=AC=6，则 ABC的面积为（） A9 B 18 C 9 D 18 4下列几种三角形：有一个角为60的等腰三角形；三个外角都相等的三角形；一 边
2、上的高也是这边上的中线的三角形；有一外角为120的等腰三角形其中是等边三角 形的有（） A4 个B 3 个C 2 个D1 个 5等腰 ABC的顶角 A为 120，过底边上一点D作底边 BC的垂线交AC于 E，交 BA的延 长线于 F，则 AEF是（） A等边三角形B 直角三角形 C等腰直角三角形D等腰但非等边三角形 6如图， E是等边 ABC中 AC边上的点，1=2，BE=CD ，则 ADE的形状是（） A等腰三角形B 等边三角形C 不等边三角形 D不能确定形状 7下面给出几种三角形：（1）有两个角为60的三角形； （2）三个外角都相等的三角形； （3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4
3、）有一个角为60的等腰三角形，其中 是等边三角形的个数是（） A4 个B 3 个C 2 个D1 个 8在下列结论中： （1）有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形； （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（） A4 个B 3 个C 2 个D1 个 9已知：在 ABC中， A=60 ，如要判定ABC是等边三角形，还需添加一个条件现有 下面三种说法： 如果添加条件“ AB=AC ”，那么ABC是等边三角形； 如果添加条件“B=C”，那么 ABC是等边三角形； 如果添
4、加条件“边AB 、BC上的高相等”，那么ABC是等边三角形 上述说法中，正确的有（） A3 个B 2 个C 1 个D0 个 10如图， 在 ABC中，AB=AC ，D、E是 ABC内的两点， AD平分 BAC ，EBC= E=60 若 BE=6cm ，DE=2cm ，则 BC的长为（） A4cm B 6cm C 8cm D12cm 11如图，在四边形ABCD中， AB=AC ，ABD=60 ， ADB=78 ， BDC=24 ，则DBC= （） A18 B20 C25 D15 12在下列结论中： 有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形； 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； 有一边上的
5、高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； 有一个角是60，且是轴对称的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（） A4 个B 3 个C 2 个D1 个 二填空题（共8 小题） 13如图，在等边三角形ABC中，点 D是边 BC的中点，则BAD= 14将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点 A表示的数为x3，点 B表示的数为2x+1，点 C表示的数为4，若将 ABC向右滚动，则x 的值等于，数 字 2012 对应的点将与ABC的顶点重合 15如图， MON=30，点A1，A2， A3，在射线ON上，点B1，B2，B3，在射线OM 上， A1B1A2， A2B2A3， A3B
6、3A4均为等边三角形若OA1=1，则 AnBnAn+1的边长为 16下列三角形：（1）有两个角等于60；（ 2）有一个角等于60的等腰三角形；（3） 三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等 边三角形的有 17在直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别是A （0，），B （ 1，0），C （ 1， 0） （1） ABC为三角形 （2） 若 ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3， 则所得的图形与原来的三角形相比， 主要的变化是 18如果三角形的三边a、b、c 适合（ a 22ac）（ b a）=c2（a b），则 a、 b、c 之间满 足的关系是；
7、有同学分析后判断ABC是等边三角形，你的判断是 19如图， AB=AC ，DB=DC ，若 ABC为 60， BE=3cm ，则 AB= cm 20如图是两块完全一样的含30角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边 的中点 M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C已知 AC=5 ， 则这块直角三角板顶点A、A之间的距离等于 三解答题（共5 小题） 21已知：在ABC中， AB=AC ，A=60 ，求：B、 C的度数， ABC是什么三角形？ 22如图，在等边ABC中， AC=6 ，点 O在 AC上，且 AO=2 ，点 P是 AB上一动点，连接OP ， 将线段 OP绕
8、点 O逆时针旋转60得到线段OD 要使点 D恰好落在 BC上， 则 AP的长是多少？ 23如图，在 ABC中， BAC=90 ， BE平分 ABC ，AM BC于点 M ，交 BE于点 G，AD平分 MAC ，交 BC于点 D ，交 BE于点 F （1）判断直线BE与线段 AD之间的关系，并说明理由； （2）若 C=30 ，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说 明理由 24如图一， AB=AC ，BD 、 CD分别平分 ABC和 ACB 问：（答题时，注意书写整洁） （1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明） （2）过 D点作 EFBC ，交 AB于 E，交
9、 AC于 F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形， 选一个进行证明 （3）如图三，若将题中的ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角 形？（写出来，不需要证明）线段EF与 BE 、CF有什么关系，并证明 25如图， ABC中， AB=BC=AC=12cm，现有两点M 、N分别从点 A、点 B同时出发，沿三角 形的边运动， 已知点 M的速度为1cm/s，点 N的速度为2cm/s当点 N第一次到达B点时， M 、 N同时停止运动 （1）点 M 、N运动几秒后，M 、N两点重合？ （2）点 M 、N运动几秒后，可得到等边三角形AMN ？ （3）当点 M 、N在 BC边上运动时，能否
10、得到以MN为底边的等腰三角形AMN ？如存在，请求 出此时 M 、N运动的时间 参考答案与试题解析 一选择题（共12 小题） 1 解：如图，过点A作 AE x 轴于点 E， AOB是等边三角形， AEOB ，OAE=30 ， OE= OA=1 ，AE= 点 A位于第二象限， （ 1，） 故选： C 2 解：（ 1）点 P在三角形内部时，点P是边 AB 、BC 、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外 心， （2）点 P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图： 共有 9 个点符合要求， 具有这种性质的点P共有 10 个 故选： D 3 解：如图，作ADBC于 D， AB=BC=AC=6 ， A
11、D为 BC边上的高，则D为 BC的中点， BD=DC=3 ， AD=， 等边 ABC的面积 =BC?AD= 63=9 故选： C 4 解：因为有三角都是60，或有三边相等的三角形是等边三角形， 那么可由，推出等边三角形， 而只能得出这个三角形是等腰三角形 故选： B 5 解：如图， AB=AC ， B=C AEF= DEC=90 C， F=90 B， AEF= F 又A=120 ， FAE=60 AEF是等边三角形 故选： A 6 解： ABC为等边三角形 AB=AC 1=2， BE=CD ABE ACD AE=AD ， BAE= CAD=60 ADE是等边三角形 故选： B 7 解：有三角都
12、是60，或有三边相等的三角形是等边三角形， 那么可由（ 1），（ 2），（ 4）推出等边三角形， 而（ 3）只能得出这个三角形是等腰三角形 故选： B 8 解：（ 1）：因为外角和与其对应的内角的和是180，已知有一个外角是120，即是有一 个内角是60，有一个内角为60的等腰三角形是等边三角形该结论正确 （2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的， 故不能确定该三角形是等边三角形该结论错误 （3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能 保证该三角形是等边三角形该结论错误 （4）若每一个角各取一个外角，则所有内角相等，即三
13、角形是等边三角形；若一个顶点取 2 个的话，就不成立，该结论错误 故选： D 9 解：若添加的条件为AB=AC ，由 A=60 ， 利用有一个角为60的等腰三角形为等边三角形可得出ABC为等边三角形； 若添加条件为B=C， 又 A=60 ， B=C=60 ， A=B=C， 则 ABC为等边三角形； 若添加的条件为边AB 、BC上的高相等，如图所示： 已知： BAC=60 ， AE BC ，CD AB ，且 AE=CD ， 求证： ABC为等边三角形 证明： AE BC ， CD AB ， ADC= AEC=90 ， 在 RtADC和 Rt CEA中， ， Rt ADC RtCEA （HL），
14、ACE= BAC=60 ， BAC= B=ACB=60 ， AB=AC=BC ，即 ABC为等边三角形， 综上，正确的说法有3 个 故选： A 10 解：延长ED交 BC于 M ，延长 AD交 BC于 N， AB=AC ，AD平分 BAC ， ANBC ，BN=CN ， EBC= E=60 ， BEM为等边三角形， EFD为等边三角形， BE=6cm ，DE=2cm ， DM=4cm ， BEM为等边三角形， EMB=60 ， ANBC ， DNM=90 ， NDM=30 ， NM=2cm ， BN=4cm ， BC=2BN=8cm 故选： C 11 解：如图延长BD到 M使得 DM=DC ，
15、 ADB=78 ， ADM=180 ADB=102 ， ADB=78 ， BDC=24 ， ADC= ADB+ BDC=102 ， ADM= ADC ， 在 ADM 和 ADC中， ， ADM ADC ， AM=AC=AB， ABD=60 ， AMB是等边三角形， M= DCA=60 ， DOC= AOB ， DCO= ABO=60 ， BAO= ODC=24 ， CAB+ ABC+ ACB=180 ， 24 +2（60 +CBD ）=180， CBD=18 ， 故选： A 12 解：有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形，正确； 有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误； 有一
16、边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误； 有一个角是60，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确 故选： C 二填空题（共8 小题） 13 解： ABC是等边三角形， BAC=60 ， AB=AC 又点 D是边 BC的中点， BAD= BAC=30 故答案是： 30 14 解：将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点 A表示的数为x3， 点 B表示的数为2x+1，点 C表示的数为 4， 4（ 2x+1）=2x+1（ x3）； 3x=9， x= 3 故 A表示的数为：x3= 33= 6， 点 B表示的数为：2x+1=2（ 3）+1=5， 即等边三角形ABC
17、边长为 1， 数字 2012 对应的点与4 的距离为： 2012+4=2016， 20163=672，C从出发到2012 点滚动 672 周， 数字 2012 对应的点将与ABC的顶点 C重合 故答案为： 3，C 15 解： A1B1A2是等边三角形， A1B1=A2B1， 3=4=12=60， 2=120， MON=30， 1=18012030=30， 又 3=60， 5=1806030=90， MON= 1=30， OA1=A1B1=1， A2B1=1， A2B2A3、 A3B3A4是等边三角形， 11=10=60， 13=60， 4=12=60， A1B1A2B2A3B3，B1A2B2A
18、3， 1=6=7=30， 5=8=90， A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3， A3B3=4B1A2=4， A4B4=8B1A2=8， A5B5=16B1A2=16， 以此类推： AnBnAn+1的边长为 2 n1 故答案是： 2 n 1 16 解： （1）根据已知求出A= B=C，所以 ABC是等边三角形； （2）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形； （3）由三个外角都相等，得出三角形的三个内角也相等，根据三角都相等的三角形是等边 三角形；所以是等边三角形； （4）、 AD=DC ，BD AC ， AB=BC ， AB=AC ， AB=AC=BC ， ABC是等边三角形； 故答案
19、为（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） 17 解：（ 1）如图， 由题中条件可得，BC=2 ，OA=，OB=OC=1 ， AB=AC=2=BC ， ABC是等边三角形； （2）如上图，若将ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3， 则所得的图形与原来的三角形全等，只不过相当于将ABC向右平移 3 18 解：（ a 22ac）（ b a）=c2（ab）， ab， a 22ac=c2， （ ac） 2=0， a=c， ABC是等腰三角形， a、b、c 之间满足的关系是a=cb， 故答案为： a=cb， ABC是等腰三角形 19 解：在 ABD和 ACD中， ABD ACD BAD= CAD 又 AB
20、=AC ， BE=EC=3cm BC=6cm AB=AC ，BAC=60 ， ABC为等边三角形 AB=6cm 故答案为： 6 20 解：连接AA ， 点 M是线段 AC、线段 AC的中点，AC=5 ， AM=MC=AM=MC=2.5， MA C=30 ， MCA =MA C=30 ， MCB =18030=150， CMC=360 （ MCB +B +C）=360（ 150+60 +90）=60， AMA =CMC=60 ， AA M是等边三角形， AA =AM=2.5 故答案为： 2.5 三解答题（共5 小题） 21 解：在 ABC中， AB=AC ，A=60 ， ABC是等边三角形， B
21、=C=60 22 解：连接DP ， DOP=60 ， OD=OP ， ODP是等边三角形， OPD=60 ， PO=PD ， 等边三角形ABC ， A=B=60 ， AOP+ OPA=120 ， OPA+ DPB=120 ， AOP= DPB ， 在 AOP和 BPD中 ， AOP BPD ， AO=BP=2 ， AP=AB AP=6 2=4 23 解：（ 1）BE垂直平分AD ，理由： AM BC ， ABC+ 5=90， BAC=90 ， ABC+ C=90 ， 5=C ； AD平分 MAC ， 3=4， BAD= 5+3， ADB= C+4， 5=C， BAD= ADB ， BAD是等腰
22、三角形， 又 1=2， BE垂直平分AD （2） ABD是等边三角形理由： 5=C=30 ， AM BC ， ABD=60 ， BAC=90 ， CAM=60 ， AD平分 CAM ， 4=CAM=30 ， ADB= 3+C=60 ， BAD=60 ， ABD= BDA= BAD ， ABD是等边三角形 24 解：（ 1） AB=AC ， ABC= ACB ， BD、CD分别是角平分线， DBC= ABC= ACB= DCB ， DB=DC ， BDC是等腰三角形， 即在图 1 中共有两个等腰三角形； EFBC ， EDB= DBC ， BD平分 ABC ， DBE= DBC ， DBE= E
23、DB ， EB=ED ， EBD为等腰三角形，同理FDC为等腰三角形， EFBC ， AEF= AFE ， AB=AC ， AEF为等腰三角形， 即在图 2 中增加了三个等腰三角形； （2）同可证明得EBD为等腰三角形，FDC为等腰三角形， 所以 EF=BE+CF ， 即只有两个等腰三角形 25 解：（ 1）设点 M 、N运动 x 秒后， M 、N两点重合， x1+12=2x， 解得： x=12； （2）设点 M 、N运动 t 秒后，可得到等边三角形AMN ，如图， AM=t1=t， AN=AB BN=12 2t ， 三角形 AMN 是等边三角形， t=12 2t ， 解得 t=4 ， 点 M
24、 、 N运动 4 秒后，可得到等边三角形AMN （3）当点 M 、N在 BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（ 1）知 12 秒时 M 、N两点重合，恰好在C处， 如图，假设AMN 是等腰三角形， AN=AM ， AMN= ANM ， AMC= ANB ， AB=BC=AC ， ACB是等边三角形， C=B ， 在 ACM 和 ABN中， ， ACM ABN ， CM=BN ， 设当点 M 、N在 BC边上运动时， M 、N运动的时间y 秒时， AMN 是等腰三角形， CM=y 12，NB=36 2y， CM=NB ， y12=362y， 解得： y=16故假设成立 当点 M 、N在 BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN ，此时 M 、N运动的时 间为 16 秒