《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题二 第四讲 导数的综合应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题二 第四讲 导数的综合应用.docx（35页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四讲导数的综合应用高考考点考点解读利用导数研究复杂函数的零点或方程的根1.判断函数的零点或方程的根的个数，或根据零点、方程的根存在情况求参数的值(取值范围)2常与函数的单调性、极值、最值相结合命题利用导数解决不等式问题1.根据不等式恒成立、存在性成立求参数的值(取值范围)2证明不等式、比较大小利用导数解决生活中的优化问题以实际生活问题、几何问题为背景解决最大、最小值问题备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)理解并掌握函数的零点的概念，求导公式和求导法则及不等式的性质(2)熟练掌握利用导数研究函数零点，方程解的个数问题 ，及研究不等式成立问题、证明问题及大小比较的方法和规律预测2
2、020年命题热点为：(1)较复杂函数的零点，方程解的个数的确定与应用(2)利用导数解决含参数的不等式成立及不等式证明问题(3)利用导数解决实际生活及工程中的最优化问题Z 1利用导数求函数最值的几种情况(1)若连续函数f(x)在(a，b)内有唯一的极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在a，b上的最大值，f(a)，f(b)min是函数f(x)在a，b是的最小值；若函数f(x)在(a，b)内有唯一的极小值点x0，则f(x0)是函数f(x)在a，b上的最小值，f(a)，f(b)max是函数f(x)在a，b是的最大值.(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)是函数f(x)在a，b上的最小值
3、，f(b)是函数f(x)在a，b上的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)是函数f(x)在a，b上的最大值，f(b)是函数f(x)在a，b上的最小值(3)若函数f(x)在a，b上有极值点x1，x2，xn(nN*，n2)，则将f(x1)，f(x2)，f(xn)与f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是函数f(x)在a，b上的最大值，最小的一个是函数f(x)在a，b 上的最小值.2不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI)(2)f(x)g(x)对xI能成立I是f(x)g(x)的解集的交集，且I不是
4、空集f(x)g(x)max0(xI)(3)对x1，x2D使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)对x1D1，x2D2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min，f(x)定义域为D1，g(x)定义域为D2.3证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究单调性、极值和最值，再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键1(文)(2018全国卷，21)已知函数faexln x1.(1)设x2是f的极值点求a，并求f的单调区间；(2)证明：当a时，f0.解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f (x)aex.由题设知，f (2)0，所以a.从
5、而f(x)exln x1，f (x)ex.当0x2时，f (x)2时，f (x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当时a时，f(x)0.(理)(2018全国卷，21)已知函数fxaln x.(1)讨论f的单调性；(2)若f存在两个极值点x1，x2，证明：0；当x(32，32)时，f (x)0，所以f(x)0等价于3a0.设g(x)3a，则g (x)0，仅当x0时g (x)0，所以g(x)在(，)上单
6、调递增故g(x)至多有一个零点又f(3a1)6a22a620，故f(x)有一个零点综上，f(x)只有一个零点(理)(2018全国卷，21)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.解析(1)当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，所以g(x)在(0,1)(1，)上单调递减而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1.(2)设函数h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0，)上只有
7、一个零点(i)当a0时，h(x)0，h(x)没有零点(ii)当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时，h(x)0；当x(2，)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增故h(2)1是h(x)在0，)上的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)上没有零点；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)上只有一个零点；若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点，由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110.故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0，)有两个零点综上，f(x)在(0，)只有一个零点时，a.3
8、(文)(2018全国卷，21)已知函数f.(1)求曲线yf在点处的切线方程；(2)证明：当a1时，fe0.解析(1)f(x)的定义域为R，f(x)，显然f(0)1，即点(0，1)在曲线yf(x)上，所求切线斜率为kf(0)2，所以切线方程为y(1)2(x0)，即2xy10.(2)方法一(一边为0)：令g(x)ax2(2a1)x2，当a1时，方程g(x)的判别式(2a1)20，由g(x)0得，x，2，且02，x，f(x)，f(x)的关系如下x2(2，)f(x)00f(x)极小值极大值若x(，2，f(x)fe又因为a1，所以01,14a210，ex0，所以f(x)0，f(x)e0，综上，当a1时，
9、f(x)e0.方法二(充要条件)：当a1时，f(x).显然ex0，要证f(x)e0只需证e，即证h(x)x2x1eex0，h(x)2x1eex，观察发现h(1)0，x，h(x)，h(x)的关系如下x(，1)1(1，)h(x)0h(x)极小值所以h(x)有最小值h(1)0，所以h(x)0即f(x)e0.当a1时，由知，e，又显然ax2x2，所以ax2x1x2x1，f(x)e，即f(x)e0.综上，当a1时，f(x)e0.方法三(分离参数)：当x0时，f(x)e1e0成立当x0时，f(x)e0等价于e，等价于ax2x1eex，即ax2eexx1等价于ak(x)，等价于k(x)max1.k(x)，令
10、k(x)0得x1,2.x，k(x)，k(x)的关系如下x(，1)1(1,0)(0,2)2(2，)k(x)00k(x)极大值极大值又因为k(1)1，k(2)0，所以k(x)max1，k(x)1，x0，综上，当a1时，f(x)e0.(理)(2018全国卷，21)已知函数fln2x.(1)若a0，证明：当1x0时，f0时，f0；(2)若x0是f的极大值点，求a.解析(1)当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，f(x)ln(1x).设函数g(x)f(x)ln(1x)，则g(x).当1x0时，g(x)0时，g(x)0.故当x1时，g(x)g(0)0，当且仅当x0时，g(x)0，从而f(x)0，当且
11、仅当x0时，f(x)0.所以f(x)在(1，)上单调递增又f(0)0，故当1x0时，f(x)0时，f(x)0.(2)(i)若a0，由(1)知，当x0时，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，这与x0是f(x)的极大值点矛盾(ii)若a0，设函数h(x)ln(1x).由于当|x|0，故h(x)与f(x)符号相同又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点，当且仅当x0是h(x)的极大值点h(x).如果6a10，则当0x，且|x|0，故x0不是h(x)的极大值点如果6a10，则a2x24ax6a10存在根x10，故当x(x1,0)，且|x|min时，h(x)0；当x(0,1)时，h(x)
12、0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明若f(x)有零点，则f(x)在区间(1，)上仅有一个零点解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)x.因为k0，所以令f(x)0得x，列表如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值减区间为(0，)，增区间为(，)当x时，取得极小值f().(2)当1，即00，所以f(x)在区间(1，)上没有零点当1，即1k0，f()0，f()0，此时函数没有零点当，即ke时，f(x)在(1，)上单调递减，f(1)0，f()2)(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在2，t上为单调函数；(2)当1t0，得x1或x0；由f(x)0得0x1.f(x)在(，0
13、，1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减，若使f(x)在2，t上为单调函数，则需2t0，即t的取值范围为(2,0(2)xx0，(t1)2，即xx0(t1)2，令g(x)x2x(t1)2，则问题转化为当1t4时，求方程g(x)x2x(t1)20在2，t上的解的个数g(2)6(t1)2(t2)(t4)，g(t)t(t1)(t1)2(t2)(t1)，当1t0且g(t)0，g(0)(t1)20，g(x)0在2，t上有两解即满足(t1)2的x0的个数为2.规律总结对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定
14、义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解G 已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在，e上有两个零点，求实数m的取值范围解析(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f (x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf (1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.x，e，当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大g(1)m1.
15、又g()m2，g(e)m2e2，g(e)g()4e20，则g(e)g()，g(x)在，e上的最小值是g(e)g(x)在，e上有两个零点的条件是解得10得解得0x，故f的单调递增区间是.(2)令F(x)f(x)(x1)，x，则有F(x)，当x时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1满足题意当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)1满足题意当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则有Gx1k.由G0得，x2x10，解得x10，x21，当x时，G0，故G在内单调递增从而当x时，GG0，即fk.综上，k的取值范围是.规律总结1两招破解不等式的恒成立问题(1)分离参数法第一
16、步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围(2)函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解2利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解3利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形(2)构造新的函数h(x)(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值(4)根据单调性及最值，得到所证不等式特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时
17、，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题G 已知函数f(x)ln xx2ax(a为常数)(1)若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)当0mln a恒成立，求实数m的取值范围解析(1)f (x)2xa.由已知得：f (1)0，所以12a0，所以a3.(2)当0a2时，f (x)2xa，因为00，而x0，即f (x)0，故f(x)在(0，)上是增函数(3)当a(1,2)时，由(2)知，f(x)在1,2上的最小值为f(1)1a，故问题等价于：对任意的a(1,2)不等式1amln a恒成立即m恒成立，记g(a)(1a2)，则g(a)，令M(a)aln a1a，则M(a)ln a0，所
18、以M(a)M(1)0，故g(a)0，所以g(a)在a(1,2)上单调递减，所以mg(2)log2e，即实数m的取值范围为(，log2e 例3某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为y，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型. (1)求a，b的值；(2)设公
19、路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解析(1)由题意知，M点的坐标为(5,40)，N点的坐标为(20,2.5)，代入曲线C的方程y可得：解得(2)由(1)知曲线C的方程为y(5x20)，y，所以y|xt即为l的斜率又当xt时，y，所以P点的坐标为，所以l的方程为y(xt)令x0，得y；令y0，得xt.所以f(t)，其中5t20.由知f(t)，其中5t20.令g(t)22t2，所以g(t)t.因为5t20，令g(t)0，得5t0，得10t20.所以g(t)在区间5,10)单调递减，在(10，20
20、单调递增所以g(10)675是g(t)的极小值，也是最小值所以当t10时f(t)取得最小值，最小值为f(10)15.所以当t10时，公路L的长度最短，最短长度为15千米规律总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f (x)，解方程f (x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f (x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答G (文)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/
21、千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解析(1)因为x5时，y11，代入y10(x6)2，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x0)(2)f(x)x22(e1)x2elnx2的定义域为1,2e，且f(x)2x2(e1)(1x2e)列表如下：x(1，e)e(e,2ef(x)0f(x)极大值由上
22、表得：f(x)x22(e1)x2elnx2在定义域1,2e上的最大值为f(e)，且f(e)e22.即月生产量在1,2e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f(e)e22，此时的月生产量值为e(万件) .A组1函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则下列结论成立的是( A )Aa0，b0，d0Ba0，b0，c0Ca0，b0，d0 Da0，b0，c0，d0，因为f(x)3ax22bxc0有两个不相等的正实根，所以a0，0，所以b0，所以a0，b0，d0.2已知函数f(x)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是( A )A，) B(，)C(，
23、2 D(，2)解析f(x)x24x，由f(x)0，得x4或x0.f(x)在(0,4)上单调递减，在(4，)上单调递增，当x0，)时，f(x)minf(4)要使f(x)50恒成立，只需f(4)50恒成立即可，代入解之得m.3若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是( D )A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析2x(xa)x.令f(x)x，f(x)12xln20.f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)，故选D4(2018潍坊模拟)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是( C )A5，3 B6，C6，2 D4，3解析当x(0,1时，得a3()3
24、4()2，令t，则t1，)，a3t34t2t，令g(t)3t34t2t，t1，)，则g(t)9t28t1(t1)(9t1)，显然在1，)上，g(t)1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是( A )A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)解析f (x)x2mx0的两根为x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，则即作出区域D，如图阴影部分，可得loga(14)1，所以1a0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是( B )A0 B1C2 D3解析x0时，f (x)0，0，即0.当x0时，由式知(xf(x)0，U(x)xf(x)在(0，)上为增函数，且U(0)0f(0)0，U(x)
25、xf(x)0在(0，)上恒成立又0，F(x)0在(0，)上恒成立，F(x)在(0，)上无零点当x0时，(xf(x)0在(，0)上恒成立，F(x)xf(x)在(，0)上为减函数当x0时，xf(x)0，F(x)0，F(x)在(，0)上有唯一零点综上所述，F(x)在(，0)(0，)上有唯一零点故选B6(2018武汉一模)已知函数f(x)，g(x)(x1)2a2，若当x0时，存在x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是(，).解析由题意得存在x1，x2R ，使得f(x2)g(x1)成立，等价于f(x)ming(x)max.因为g(x)(x1)2a2，x0，所以当x1时，g(x)
26、maxa2.因为f(x)，x0，所以f(x).所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)e.又g(x)maxa2，所以a2ea或a.故实数a的取值范围是(，)7已知x(0,2)，若关于x的不等式0，即kx22x对任意x(0,2)恒成立，从而k0，所以由可得k0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x(0,1)时，f (x)0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以k.解析(1)函数f(x)ln xax的定义域为x|x0，所以f (x)a.若a0，则f (x)0，f(x)在(0，)内单调递增；若a0，得0x，f(x)在(0，)内单调递增；由f (x)
27、a，f(x)在(，)内单调递减(2)证明：ln x1ax10，ln x2ax20，ln x2ln x1a(x1x2)(x1x2)f (x1x2)(x1x2)(a)a(x1x2)lnln.令te2，令(t)ln t，则(t)0，(t)在e2，)内单调递增，(t)(e2)11.(x1x2)f(x1x2).9某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3 700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x); (提
28、示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解析(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23 240x5 000(xN*，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30x260x3 275(xN*，且1x19)(2)P(x)30x290x3 24030(x12)(x9)，因为x0，所以P(x)0时，x12，当0x0，当x12时，P(x)2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)解析当x1时，f (x)1时，f (x)0，
29、此时函数f(x)递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)f(1)，f(2)f(1)，则f(0)f(2)2f(1)故选A2已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( B )A(，0) B(0，)C(0,1) D(0，)解析f(x)x(ln xax)，f (x)ln x2ax1，故f (x)在(0，)上有两个不同的零点，令f (x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a10a0，bR)，若对任意x0，f
30、(x)f(1)，则( A )Aln a2b Dln a2b解析f (x)2axb，由题意可知f (1)0，即2ab1，由选项可知，只需比较ln a2b与0的大小，而b12a，所以只需判断ln a24a的符号构造一个新函数g(x)24xln x，则g(x)4，令g(x)0，得x，当x时，g(x)为减函数，所以对任意x0有g(x)g()1ln 40，所以有g(a)24aln a2bln a0ln a2b.故选A(理)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2.若f(x1)x1x2，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数为( A )A3 B4C5 D6解析f (x)3x22axb，原题等价于方程3x22axb0有两个不等实数根x1，x2，且x10，f(x)单调递增；x(x1，x2)时，f (x)0，f(x)单调递增x1为极大值点，x2为极小值点方程3(f(x)22af(x)b0有两个不等实根，f(x)x1或f(x)x2.f(x1)x1，由图知f