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1、大题专项练(三)立体几何A组基础通关1.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,平面A1BC1平面BCC1B1.证明:(1)AC平面A1BC1;(2)平面AB1C平面A1BC1.证明(1)几何体为三棱柱四边形ACC1A1为平行四边形ACA1C1,又A1C1平面A1BC1,AC平面A1BC1,AC平面A1BC1.(2)BC=CC1且四边形BCC1B1为平行四边形,四边形BCC1B1为菱形,B1CBC1.又平面A1BC1平面BCC1B1,平面A1BC1平面BCC1B1=BC1,B1C平面A1BC1.又B1C平面AB1C,平面AB1C平面A1BC1.2.如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆
2、的两条直径,ABCD=O,且ABCD,SO=OB=2,P为SB的中点.(1)求证:SA平面PCD;(2)求圆锥SO的表面积和体积.(1)证明连接PO,P、O分别为SB、AB的中点,POSA,由于PO平面PCD,SA平面PCD,SA平面PCD;(2)解SO=2,OB=2,SO为圆锥的高,OB为圆锥底面圆的半径,V=13r2h=13222=83,由于SO为圆锥的高,则母线SB=SO2+OB2=22,S侧面=12lSB=122222=42,S底面=r2=22=4,故S=S底面+S侧面=(4+42).3.等边三角形ABC的边长为3,点D,E分别是边AB,AC上的点,且满足ADDB=CEEA=12,如图
3、甲,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使平面A1DE平面BCED,连接A1B,A1C,如图乙,点M为A1D的中点.(1)求证:EM平面A1BC;(2)求四棱锥A1-BCED的体积.解(1)取BD的中点N,连接NE,则NEBC,在四棱锥A1-BCED中,NE与BC的平行关系不变.连接MN,在DA1B中,MNA1B,又NMNE=N,BA1BC=B,平面MNE平面A1BC,又EM平面MNE,EM平面A1BC.(2)等边三角形ABC的边长为3,且ADDB=CEEA=12,AD=1,AE=2.在ADE中,DAE=60,由余弦定理得DE=12+22-212cos60=3,从而AD2+DE2=AE2,AD
4、DE.折起后有A1DDE,平面A1DE平面BCED,平面A1DE平面BCED=DE,A1D平面A1DE,A1D平面BCED.四棱锥A1-BCED的体积V=13S四边形BCEDA1D,连接BE,则S四边形BCED=12CBCEsinBCE+12BDDE=1213sin60+1223=734,V=137341=7312.4.如图所示,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EFAB,EFFB,BFC=90,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH平面EDB;(2)求证:AC平面EDB;(3)求四面体B-DEF的体积.(1)证明设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,如
5、图所示,连接EG,GH.H为BC的中点,GHAB.EFAB,EFGH.又EF=GH=12AB,四边形EFHG为平行四边形,EGFH.EG平面EDB,FH平面EDB,FH平面EDB.(2)证明四边形ABCD为正方形,ABBC.EFAB,EFBC.又EFFB,BCFB=B,EF平面BFC,又FH平面BFC,EFFH,ABFH.BF=FC,H为BC的中点,FHBC,又ABBC=B,FH平面ABCD,FHAC.FHEG,ACEG.ACBD,EGBD=G,AC平面EDB.(3)EFFB,BFFC,EFFC=F,BF平面CDEF,BF即为四面体B-DEF的高.由(2)知,EF平面BFC,EFFC.又EFA
6、BCD,FC为DEF中EF边上的高.BC=AB=2,BF=FC=2,V四面体B-DEF=1312122=13.5.如图,在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,ADCD.(1)证明:AB平面ADE;(2)连接BD,BE,若二面角E-CD-A的大小为120,AD=2AB=2DE=2,求三棱锥E-ABD的体积.(1)证明因为CDAD,CDDE,ADDE=D,所以CD平面ADE,因为四边形CDFE为矩形,所以EFCD.又EF平面ABCD,CD平面ABCD,所以EF平面ABCD.因为EF平面ABCD,EF平面ABFE,平面ABFE平面ABCD=AB,所以EFAB,又EFCD,所以CDAB,又CD
7、平面ADE,所以AB平面ADE.(2)解因为CDAD,CDDE,所以ADE即为二面角A-CD-E的平面角,所以ADE=120.SADE=12DADEsinADE=122132=32.于是V三棱锥E-ABD=V三棱锥B-ADE=13SADEAB=13321=36.6.如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=2,BC=2,截面EBD是等边三角形,M,N分别是AD,CE的中点.(1)求证:MN平面EAB;(2)若EC=EA,ABDE,求三棱锥E-BMN的体积.(1)证明如图,取EB的中点F,连接AF,NF,在ECB中,易得NF12BC,又在平行四边形ABCD中,AM12BC,N
8、FAM,四边形AMNF是平行四边形,MNAF,AF平面EAB,MN平面EAB,MN平面EAB.(2)解如图,连接AC交BD于点O,连接EO,在等腰EAC中,EA=EC,EOAC,又在等边EBD中,EOBD,EO平面ABCD.EOAB.又ABDE,EODE=E,AB平面BDE,ABBD.VE-BMN=VN-EBM=12VC-EBM=12VE-BCM=16SBCMEO,又SBCM=SABC=12ABBD=1222=1,EO=232=62,VE-BMN=16162=612.B组能力提升7.如图,四棱锥A-BCDE中,CD平面ABC,BECD,AB=BC=CD,ABBC,M为AD上一点,EM平面ACD
9、.(1)求证:EM平面ABC;(2)若CD=2BE=2,求点D到平面EMC的距离.(1)证明取AC的中点F,连接BF,因为AB=BC,所以BFAC,又因为CD平面ABC,所以CDBF,又CDAC=C,所以BF平面ACD,因为EM平面ACD,所以EMBF,EM平面ABC,BF平面ABC,所以EM平面ABC;(2)解因为EM平面ACD,EM平面EMC,所以平面CME平面ACD,平面CME平面ACD=CM,过点D作直线DGCM,则DG平面CME.由已知CD平面ABC,BECD,AB=BC=CD=2BE,可得AE=DE,又EMAD,所以M为AD的中点.在RtABC中,AC=2BC=22,在RtADC中
10、,AD=CD2+AC2=23,SCDM=12SACD=1212222=2,在DCM中,CM=12AD=3,由等面积法知12CMDG=2,所以DG=263,即点D到平面EMC的距离为263.8.如图,直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=5,AA=AB=6,D,E分别为AB和BB上的点,且ADDB=BEEB=.(1)求证:当=1时,ABCE;(2)当为何值时,三棱锥A-CDE的体积最小,并求出最小体积.(1)证明=1,D,E分别为AB和BB的中点,又AB=AA,且三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,平行四边形ABBA为正方形,DEAB.AC=BC,D为AB的中点,CDAB.三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,CD平面ABBA,又AB平面ABBA,CDAB,又CDDE=D,AB平面CDE,CE平面CDE,ABCE.(2)解设BE=x,则AD=x,DB=6-x,BE=6-x,由已知可得C到平面ADE的距离即为ABC的边AB所对的高,h=AC2-AB22=4,VA-CDE=VC-ADE=13(S四边形ABBA-SAAD-SDBE-SABE)h=1336-3x-12(6-x)x-3(6-x)h=23(x2-6x+36)=23(x-3)2+27(0x6),当x=3,即=1时,VA-CDE有最小值18.