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1、二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： 2 yax 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc 的性质： 上加下减。 3. 2 ya xh的性质： 左加右减。 4. 2 ya xhk 的性质： a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a向上00，y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随 x的增大而减小；0x时，y有最小值 0 0a 向下 00，y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随 x的增大而增大；0x时，y有最大值 0 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0c，y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随 x的
2、增大而减小；0x时，y有最小值c 0a 向下 0c，y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随 x的增大而增大；0x时，y有最大值c a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a向上 0h，X=h xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y 随x的增大而减小； xh时，y有最小值0 0a 向下 0h，X=h xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y 随x的增大而增大；xh 时，y有最大值 0 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk，X=h xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y 随x的增大而减小；xh 时，y有最小值 k 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：将
3、抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线 2 yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax 2+k y=ax2 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： cbxaxy 2 沿y轴平移 :向上（下）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 （或 mcbx
4、axy 2 ） cbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 cmxbmxay)()( 2 （或cmxbmxay)()( 2 ） 三、二次函数 2 ya xhk与 2 yaxbxc的比较 从解析式上看， 2 ya xhk 与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即 2 2 4 24 bacb ya x aa ，其中 2 4 24 bacb hk aa ， 四、二次函数 2 yaxbxc图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左
5、右对称地描点画图.一般我们 0a 向下 hk，X=h xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y 随x的增大而增大；xh 时，y有最大值 k 选取的五点为：顶点、与 y轴的交点0c， 、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、 与x轴的交点 1 0x ， 2 0x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 五、二次函数 2 yaxbxc的性质 1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小； 当 2 b
6、x a 时，y随x的增大而增大； 当 2 b x a 时，y有最小值 2 4 4 acb a 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ，当 2 b x a 时，y随x的增大而增大；当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y 有最大值 2 4 4 acb a 六、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc （a， b，c为常数，0a） ； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk （a， h， k 为常数，0a） ； 3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1 x ， 2x 是抛物线与x
7、轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写 成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc 中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上， a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决 定开口的大小 2.
8、 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下， 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在 a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴 a b x 2 在y轴左边则0ab，在y轴的右
9、侧则0ab， 概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 0 ； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情 况： 1. 已知抛物线上三点
10、的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 八、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 ya xb xc关于x轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbx c ； 2 ya xhk 关于x轴对称后，得到的解析式是 2 ya xh k ； 2. 关于y轴对称 2 ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbx c； 2 ya xhk 关于y轴对称后，得到的解析式是 2
11、ya xh k ； 3. 关于原点对称 2 ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是 2 yaxbx c； 2 yaxhk 关于原点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 2 ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ； 2 ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk 5. 关于点mn，对称 2 ya xhk 关于点mn，对称后，得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变 求抛物线的对称
12、抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适 的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图像参考： 十 一、 y=2(x-4) 2-3 y=2(x-4) 2 y=2x 2 y= x2 2 y=2x 2 y=x 2 y=-2x 2 y= -x 2 y= - x2 2 y=2 x2-4 y=2 x2+2 y=2 x2 y=3(x+4) 2 y=3(x-2) 2 y=3x 2 y=-2(x+3) 2 y=-2(x-3) 2 y=-2x 2 【例题精讲】 一、一元二次函数的图
13、象的画法 【例 1】 求作函数64 2 1 2 xxy的图象 【解】)128( 2 1 64 2 1 22 xxxxy 2-4)( 2 1 4-4)( 2 12222 xx 以4x为中间值，取x的一些值，列表如下： x-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y 2 5 0 2 3 -2 2 3 0 2 5 【例 2】 求作函数34 2 xxy的图象。 【解】 )34(34 22 xxxxy 7)2( 7)2( 22 xx 先画出图角在对称轴2x的右边部分，列表 【点评】 画二次函数图象步骤： (1)配方； (2) 列表； (3) 描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象
14、，再利 用对称性描出右（左）部分就可。 二、一元二次函数性质 【例 3】 求函数96 2 xxy的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。 【解】7) 3(79626 222 xxxxxy 由配方结果可知：顶点坐标为)73(，对称轴为3x； 01 当3x时，7 min y 函数在区间3(，上是减函数，在区间)3，上是增函数。 【例 4】求函数135 2 xxy图象的顶点坐标、对称轴、最值。 x-2 -1 0 1 2 y 7 6 5 4 3 10 3 )5(2 3 2a b ， 20 29 )5(4 31)5(4 4 4 22 a bac 函数图象的顶点坐标为) 20 29 , 10
15、3 (，对称轴为 20 29 x 05当 10 3 x时，函数取得最大值 20 29 maz y 函数在区间 10 3 ,(上是增函数，在区间),3上是减函数。 【点评】 要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个： (1) 配方法；如例3 (2) 公式法：适用于不容易配方题目( 二次项系数为负数或分数) 如例 4， 可避免出错。 任何一个函数都可配方成如下形式：)0( 4 4 ) 2 ( 2 2 a a bac a b xay 【二次函数题型总结】 1.关于二次函数的概念 例 1 如果函数1)3( 23 2 mxxmy mm 是二次函数，那么 m的值为。 例 2 抛物线42 2 xxy的开口方向是；对称轴是；顶点 为。 2.关于二次函数的性质及图象 例 3 函数)0( 2 acbxaxy的图象如图所示， 则 a、b、c，cba，cba的符号 为， 例 4 已知abc=0 9a3bc=0,则二次函数y=ax 2 bxc 的图像的顶点可能在 （） （A） 第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限（D）第二或 第三象限 3.确定二次函数的解析式 例 5 已知：函数cbxaxy 2 的图象如图：那么函数解析式为（） （A）32 2 xxy（B）32 2 xxy -1 O X=1 Y X 3 o -1 3 y x