第4讲--利用轴对称破解最短路径问题..pdf

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1、第一章平移、对称与旋转 第 4 讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与 作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借 助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识轻松学 与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。 （4）垂直平分线上

2、的点到线段两端点的距离相等； 【精讲 】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点 之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的 对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性 质。 （判定： 如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质： 平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的 数学公理， 通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线 段最短解决实际

3、问题在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路 径问题”的原型来自于“饮马问题”、 “造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边） 三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1） “一线同侧两点”问题 例 1 如图，点A、B在直线 m的同侧，点B是点 B关于 m的对称点， AB 交 m于点 P （1）AB 与 AP+PB相等吗？为什么？ （2）在 m上再取一点N，并连接 AN与 NB ，比较 AN+NB 与 AP+PB的大小，并说明理由 解析： （ 1）点 B是点 B关于 m的对称点， PB=PB ， AB =AP+PB ， AB =AP+PB （2）如图：连接A

4、N，BN ，BN， AB =AP+PB ， AN+NB=AN+NB AB， AN+NB AP+PB 点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究， 利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题转化为数学问题的能力，关键是利 用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等 变式 1 需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场 到 A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置 （2） “两点两线（平行） ”问题 例 2 如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河 流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到 B的距

5、离最短？ 解析：虽然 A、B两点在河两侧， 但连接 AB的线段不垂直于河岸关 键在于使AP+BD 最短，但AP与 BD未连起来，要用线段公理就要想办法 使 P与 D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的 如图，作 BB 垂直于河岸GH ，使 BB 等于河宽， 连接 AB ，与河岸EF相交于 P，作 PD GH ， 则 PD BB 且 PD=BB ，于是PDBB 为平行四边形，故 PD=BB 根据“两点之间线段最短”，AB最短，即AP+BD最短 故桥建立在PD处符合题意 点评：此题考查了轴对称最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，解决 “造桥选址” 的简单的实际问题但许多实际问题没这

6、么简单，需要我们将一些线段进行转 化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题此类题往往需要利用 对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法 变式 2 如图，两个村庄A和 B被一条河隔开，现要在河 上架设一座桥CD 请你为两村设计桥址，使由 A村到 B村的距 离最小（假定两河岸m 、 n 是平行的，且桥要与河垂直）要求写出作法，并说明理由 （3） “一点两线（相交） ”解决周长最短问题 例 3：如图所示，ABC内有一点 P，在 BA 、BC边上各取一 点 P1、P2，使 PP1P2的周长最小 解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于 AB ，AC

7、的对称点，如图，以BC为对称轴作P的对称点M ， 以 BA为对称轴作出P的对称点 N， 连 MN 交 BA 、BC于点 P1、P2 PP1P2为所求作三角形 点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线 上一动点距离和最小”问题（将军饮马问题），其核心是化折为直（两点之间线段最短）的 思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题 变式 3 城关中学八 （2） 班举行文艺晚会， 桌子摆成两直条 （如 图中的 AO ，BO ） ，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站 在 C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处， 请你在下图 帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ （4

8、） “一线异侧两点”“差最大”问题 例 4 在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作 一点 P，使 PA与 PB之差的绝对值最大 解析：作法：作点B关于直线XY的对称点B， 作直线 AB 交 XY于 P点， 则点 P为所求点（如图） ；若 BAXY （即 B、 A到直 线 XY的距离相等） ，则点 P不存在 证明：连接BP ，在 XY上任意取点P， 连接 PA、PB，则PB=PB ，PB=P B， 因为|PBPA|=|P BPA|AB =|PB PA|=|PBPA|， 所以，此时点P使|PAPB|最大 点评： 本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形， 再由两点之间线段最短的知识求解