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1、学习必备欢迎下载 高三第一轮复习数列 5.3 等比数列 一、考点分布 1. 等比数列的概念（ B） 2. 等比数列的通项公式与前n 项和的公式（ C） 二、考试要求 1. 理解等比数列的概念； 2. 掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式 3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题； 4. 了解等比数列与指数函数的关系. 三、重点与难点 1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点； 2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点. 四、复习过程 1. 知识梳理 等差数列等比数列 定义 1n n a q a 或 2 12nnn aa a 注意；0,0. n aq 通项
2、公式1 1 nn m nm aa qa q（离散型指数函数） 前 n 项和公式 1 1 ,1, (1) ,1. 1 n n na q S aq q q 注意 q 含字母讨论 简单性质 若 * (, , ,)mnst m n s tN, 则 mnst aaaa. 2. 基础练习 （1）在等比数列 n a中，已知 33 3 1, 4 aS，则 6 a_. 提示： -8 方法一：基本量法列出 1, a d方程组；方法二：求和公式 （2）在等比数列 n a中，已知 1 S， 2 2S， 3 3S成等差数列，则公比q=_. 提示：由题意，得 2 111111 4()3()aa qaaa qa q，故(3
3、1)0qq. 又0q,所以 1 3 q. 学习必备欢迎下载 说明：等比数列通项公式与和 n S之间的联系，注意0,0. n aq （3）已知数列 n a是等比数列 ,且0 n a, * nN, 354657 281a aa aa a，则 46 aa9 （4）设 4710310 ( )22222() n f nnN，则( )f n等于 （A） 2 (81) 7 n （B） 12 (81) 7 n （ C） 32 (81) 7 n （D） 42 (81) 7 n 3. 典型例题 例 1.（1）若等比数列 an的公比 q0，前 n 项和为 Sn，则 S2a3与 S3a2的大小关系是 (A) S2a3
4、S3a2 (B) S2a3S3a2 (C) S2a3= S3a2 (D) 不确定 （2） 已知数列满足 a1=1， an1=2an3(nN*)， 则 an 的通项公式为 _ 例 2. 若数列 n a: n b 满足 121 1,(),(1,2,3,). nnn aaa abaan为常数且 （）若 an是等比数列，试求数列 bn 的前 n 项和 Sn的公式； （）当 bn是等比数列时，甲同学说： an一定是等比数列；乙同学说： an一定不是等比数列你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解： （1）因为 an是等比数列 a1=1,a2=a.a0 ，an=a n1. 又 1nnn baa， 1 2 1
5、122 1121 1 , n nnnn n nnnn baaaa baaaa baaaa 则, 即 n b是以 a 为首项 , a 2 为公比的等比数列 . 2 2 (| 1), (1) (| 1). 1 n n naa S aa a a （II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设bn 的公比为 q，则 1122 1 0 nnnn nnnn baaa qa ba aa 且 又 a1=1,a2=a, a1, a3, a5, ，a2n1，是以 1 为首项， q 为公比的等比数列； 而 a2, a4, a6, , a2n, 是以 a 为首项， q 为公比的等比数列， 即an 为：1，a,
6、q, aq , q 2, aq2, . 当 q=a 2 时， an 是等比数列；当 q a 2 时， an不是等比数列 . 例 3. 数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， 1 1 3 nn aS，n=1，2，3， 求（I）a2，a3，a4的值及数列 an 的通项公式； （II） 13521n aaaa的值. 学习必备欢迎下载 解： （）由得, 3 , 2, 1, 3 1 , 1 11 nSaa nn . 3 1 3 1 3 1 112 aSa 3212 43123 11 1 2 2 2 114 (), 339 1116 (). 3327 11 ()(2), 33 4 ,(2), 3
7、 11 4 ,()(2). 33 3 1,1, , 1 4 (),2. 3 3 nnnnn nn n n nn n aSaa aSaaa aaSSan aan aan n aa n 由 得 又所以 所以 数列的通项公式为 （）由（ I）可知 a3，a3， ，a2n-1，是首项为 4 , 9 公比为（ 3 4 ） 2 的等比数列， 所以 1 1 13521 2 16 1() 434 16 9 1(). 4 9779 1( ) 3 n n n aaaa 例 4. （备选）设数列 an的首项 a1=a 4 1 ，且 1 1 为 偶数 2 1 为奇 数 4 n n n an a an , 记 21 1
8、 4 nn ba，nl，2，3， （I）求 a2，a3； （II）判断数列 bn 是否为等比数列，并证明你的结论； 4. 规律总结： 深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”，特 别注意0,0. n aq 判断或证明等比数列的两种思路： 利用定义，证明 1n n a q a 为常数 ; 利用等比中项，证明 2 12nnn aa a对 * nN成立. 方程思想：在 1, , , nn a aq Sn五个两种，运用待定系数法“知三求二” ； 学习必备欢迎下载 函数思想与分类讨论：当 a1 0， q1 或 a10， 0q 1 时为递增数列; 当 a10，q1 或 a10，0q1
9、时为递减数列； 当 q0 时为摆动数列； 当 q=1 时为常数列 . 掌握等比数列的有关性质: 若 n a是公比为q等比数列，则 2 231 1 , nnmm n kaaaa a 等还成等比数列， 公比分别是 2231 ,kq qqq q ，其中为非零常数. 若 * (, , ,)mnst m n s tN,则 mnst aaaa. 5. 课外作业：海淀总复习检测P46 5.3 等比数列 每课作业 1选择题 （1）等比数列 n a的各项都是正数，若 1 81a, 5 16a,则它的前5 项和是( ) (A)179 (B)211 (C)243 (D)275 (2)设an 是由正数组成的等比数列，
10、公比 q=2， 且 a1 a2 a3 a30=2 30， 那么 a 3 a6 a9 a30 等于 ( ) (A)2 10 (B)2 20 (C)2 16 (D)2 15 (3) 给定正数p,q,a,b,c，其中 p q，若 p,a,q 成等比数列， p,b,c,q 成等差数列 , 则一元二次程 bx 22ax+c=0（ ） (A) 无实数根(B)有两个相等的实数根 (C)有两个同号的相异的实数根(D)有两个异号的相异的实数根 2填空题 (4)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是_. (5)在 1 n 和1n之间插入n个正数 ,使这2n个正数成等比数列,则插入的n个正数之积为 _
11、. (6)一张报纸， 其厚度为a，面积为b.现将报纸对折 (即沿对边中点点连线折叠)7 次,报纸的厚 度为 _,报纸的面积为. 3解答题 （7）在数列 n a中，已知12 21 n n aaa ，求数列 2 n a 前n项的和 . (8)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可成等比数列，已知这三个 数的和等于6，求此三个数. 学习必备欢迎下载 (9)数列 n a中， 1 2a， 1nn aacn（c是常数，12 3n， ，） ，且 123 aaa，成公比 不为1的等比数列 （I）求c的值； （II ）求 n a的通项公式 参考答案 （1） B（2）B （3）A （4）设 RtA
12、BC 中， C= 2 ，则 A 与 B 互余且A 为最小内角 .又由已知得sin 2B=sinA，即 cos 2A=sinA，1 sin2A=sinA，解之得 sinA= 2 15 或 sinA= 2 15 （舍） .故最小内角是 51 arcsin 2 . （5）(5) 2 1 () n n n (6)128 128 b a （7）解 :由由已知得 ,2 1n n a 所以数列 2 n a前n项的和为) 14( 3 1n （8）解：设三个数分别为a-d,a,a+d则 （ad） a (ad)=3a 6 a=2 三个数分别为2d,2,2d 它们互不相等分以下两种情况： 当 (2d)2=2(2d)
13、时， d=6 三个数分别为 -4,2,8 当 (2d)2=2(2d)时， d=-6 三个数分别为8,2,-4 因此，三个数分别为-4,2,8 或 8,2,-4 (9)（I） 1 2a， 2 2ac， 3 23ac， 因为 1 a， 2 a， 3 a成等比数列， 所以 2 (2)2(23 )cc， 解得0c或2c 当0c时， 123 aaa，不符合题意舍去，故2c （II ）当2n时，由于 学习必备欢迎下载 21 aac， 32 2aac， 1 (1) nn aanc， 所以 1 (1) 12(1) 2 n n n aancc 又 1 2a，2c，故 2 2(1)2(2 3) n an nnnn， ， 当1n时，上式也成立， 所以 2 2(1 2)nannn，