高中数学函数知识点总结(全).pdf

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1、数学 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合，Ax xxBx ax| 2 2301 若，则实数 的值构成的集合为BAa 3. 注意下列性质： （ ）集合，的所有子集的个数是；12 12 aaan n 要知道它的来历：若B 为 A 的子集，则对于元素a1来说，有 2 种选择（在或者不在） 。同样，对于元素a2, a3, an,都有 2 种选择，所以，总共有2 n 种选择，即集

2、合 A 有2n个子集。 当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21 n ， 非空真子集个数为22 n （ ）若，；2ABABAABB （3）德摩根定律： CCCCCC UUUUUU ABABABAB， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax xa MMMa 5 035 2 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：AB，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应 能构成映射？ （一对一，多对一，允许B

3、 中有元素无原象。 ） 注意映射个数的求法。如集合A 中有 m 个元素，集合B 中有 n 个元素，则从A 到 B 的映射个数有nm个。 如：若4,3 ,2, 1A，,cbaB；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个；A到B的函数 有个，若3 ,2, 1A，则A到B的一一映射有个。 函数)(xy的图象与直线ax交点的个数为个。 数学 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数的定义域是y xx x 4 3 2 lg 函数定义域求法： 分式中的分母不

4、为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数的定义域是，则函数的定f xabbaF(xf xfx( )( )()0 义域是 _。 例若函数)(xfy的定义域为 2, 2 1 ，则的定义域为。 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数 y= x 1 的值域 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数y= 2 x-2x+5 ，x-1 ，2 的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不 必拘泥在判别

5、式上面 数学 . 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 b a y型：直接用不等式性质 k+x bx b. y型, 先化简，再用均值不等式 xmx n x1 例： y 1+x x+ x xmxn c y型 通常用判别式 xmxn xmxn d. y型 xn 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉 xx1 （x+1） （x+1） +1 1 例： y（x+1）1211 x1x1x1 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三 角函数的单调性。 6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 7、

6、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数 y=x+1x的值域。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：求函数y= )2( 2 x + )8( 2 x 的值域。 数学 倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例求函数 y= 3 2 x x 的值域 12. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？ 切记：

7、做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误， 与到手的满分失之交臂 如：，求fxexf x x 1( ). 15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1) 定义法： 根据定义，设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2) 之间的大小关系 可以变形为求 12 12 ()()fxf x xx 的正负号或者 1 2 () () f x f x 与 1 的关系 (2) 参照图象： 若函数f(x)的图象关于点 (a，b)对称，函数f(x) 在关于点 (a ，0) 的对称区间具有相同的单调性；（特例

8、： 奇函数） 若函数 f(x) 的图象关于直线xa 对称，则函数 f(x)在关于点 (a ， 0) 的对称区间里具有相反的单调性。 （特例： 偶函数） (3) 利用单调函数的性质： 函数 f(x) 与 f(x) c(c 是常数 ) 是同向变化的 函数 f(x) 与 cf(x)(c是常数 ) ，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。 如果函数f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x) f2(x)和它们同向变化； （函数相加） 如果正值函数f1(x) ，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与 f2(x) 同 向变化

9、，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化； （函数相乘） 函数 f(x) 与 1 ( )f x 在 f(x)的同号区间里反向变化。 若函数 u(x) ， x ， 与函数 yF(u) ， u ( )， ( ) 或 u ( ), ( ) 同向变化，则在 ， 上复合函数yF (x)是递增的；若函数u(x),x， 与函数 yF(u) ，u ( )，() 或 u ( )，() 反向变化，则在 ， 上复合函数yF (x)是递减的。（同增异减） 若函数 yf(x) 是严格单调的，则其反函数xf 1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。 f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)

10、*g(x) 都 是 正 数学 17. 函数 f(x) 具有奇偶性的条件是什么？ （f(x) 定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( ) 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()( )( ) 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积 是奇函数。 （ ）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0 （3）f（x）是定义域在（-6,0） ， （0，6）上的奇函数，若x 0 时 f（x）= 求 x0 时 f（x） 判断函数奇偶性的方法 一、定义域法 一个函数

11、是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于 原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)( xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 奇函数 f(x)-f(-x)=0 偶函数 f(x) 1 偶函数 f(-x) f(x) 1 奇函数 f(-x) 三、复合函数奇偶性 数 增增增增增 增减减/ / 减增减/ / 减减增减减 f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇奇奇奇偶 奇偶偶非 奇 非 偶 奇 偶奇

12、偶非 奇 非 偶 奇 数学 18.（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0( )( )函数， T 是一个周期。） 如：若，则f xaf x( ) 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0, 我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推 导： ()()0 ()(2 ) ()(2 )0 fxfxt fxfxt fxtfxt ， 同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x). 其实这都是说同样一个意思：函数f(x) 关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如，f(x

13、)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x) 就都表示函数关于直线x=a 对称。 ( ) ()()()() ( )(2) (2)(2) ( )(2) 2,222 ,( )(22 ) ( )(22 ) ,( )2|(, , f xxaxb f axf axf bxf bx f xfax faxfbx f xfbx taxbxtba f tf tba f xf xba f xbaa b 又如：若图象有两条对称轴， 即， 令则 即 所以 函数以为周期 因不知道的大小关系 为保守起见 我加了一个绝对值 如： 19. 你掌握常用的图象变换了吗？ f xfxy( )()与的图象关于轴 对称联想

14、点（ x,y）,(-x,y) 偶偶偶偶偶 数学 f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称联想点（ x,y）,(x,-y) f xfx( )()与的图象关于 原点 对称联想点（ x,y）,(-x,-y) f xfxyx( )( )与的图象关于直线对称 1 联想点（ x,y）,(y,x) f xfaxxa( )()与的图象关于 直线对称2联想点（ x,y）,(2a-x,y) f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20联想点（ x,y）,(2a-x,0) 将图象 左移个单位 右移个单位 yf x a a a a yf xa yf xa ( ) () () () () 0 0 上移个

15、单位 下移个单位 b b b b yf xab yf xab () () () () 0 0 注意如下“翻折”变换： ()|() |x ()( | )y fxfx fxfx 把 轴下方的图像翻到上面 把 轴右方的图像翻到上面 19. (k0) y=b O (a,b) O x x=a （ ）一次函数：10ykxb k(k 为斜率， b 为直线与y 轴的交点 ) （）反比例函数：推广为是中心，200y k x kyb k xa kO ab() 的双曲线。 （ ）二次函数图象为抛物线30 2 4 4 2 2 2 yaxbxc aa x b a acb a 顶点坐标为，对称轴 b a acb a x

16、b a2 4 42 2 开口方向：，向上，函数ay acb a 0 4 4 2 min 数学 ay acb a 0 4 4 2 ，向下， max 121212 2 ,| | b x a bc xxxxxx aaa 根的关系： 2 2 1212 1212 ( )() ( )()(mn ( )()()(,2 ( )()()(, )(, ) f xaxbxc f xa xmn f xa xxxxx x f xa xxxxhx hxh 二次函数的几种表达形式： 一般式 顶点式，（， ）为顶点 是方程的个根） 函数经过点（ 应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程 axbxc

17、xxyaxbxcx 2 12 2 00，时，两根、为二次函数的图象与轴 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc 2 00() 求闭区间m，n上的最值。 2 m ax() ,m i n() 2 m a x() ,m i n() 2 2 2 4 m i n,m a xm a x () ,() ) 4 m , n 0 b nffmffn a b mffnffm a b nm a cba fff mf n a a 区间在对称轴左边（） 区间在对称轴右边（） 区间在对称轴边 （） 也可以比较和对称轴的关系， 距离越远，值越大 (只讨论的情况） 求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。 一

18、元二次方程根的分布问题。 如：二次方程的两根都大于axbxck b a k f k 2 0 0 2 0( ) 数学 y O x k k y (a0) O k x1x2x 一根大于，一根小于kkf k( )0 0 mn2 2 ()0 ( )0 mn()( )0 b mn a f m f n f m f n 在区间（， ）内有 根 在区间（， ）内有 1根 （ ）指数函数：，401yaaa x （）“对勾函数”60yx k x k 利用它的单调性求最值 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 如：（ ），满足，证明为奇函数。1xRf xf xyf xf yf x( )()( )( )

19、( ) （先令再令，）xyfyx000( ) （ ），满足，证明是偶函数。2xRf xf xyf xf yf x( )()( )( )( ) （先令xytfttf tt()()() 数学 ftftf tf t()()( )( ) ）ftf t()( ) （ ）证明单调性：3 2212 f xfxxx() （对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、代 y=x ， 2、令 x=0 或 1 来求出 f(0) 或 f(1) 3、求奇偶性，令y=x；求单调性：令x+y=x1 几类常见的抽象函数 1.正比例函数型的抽象函数 f（x） kx（k0） - f（xy） f（x） f（y） 2.

20、幂函数型的抽象函数 f（x） x a- f（xy） f（x） f（y） ；f（ y x ） )( )( yf xf 例 1 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy） f（x） f（y） ，且当 x0 时， f(x)0，f(1) 2 求 f(x) 在区间 2,1上的值域 . 例 2 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy） 2f（x） f（y） ，且当 x0 时， f(x)2，f(3) 5，求不 等式f（a22a2）0,xN； f（ ab）f（a）f（b） ，a、bN； f（2） 4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由. 数学 例 6 设 f（x）

21、是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy） f（x） f（y） ，f（3） 1，求： （1）f（1） ； （2）若 f（x） f（x8） 2，求 x 的取值范围 . 例 7 设函数 y f（x）的反函数是yg（x）.如果 f（ab） f（a） f（b） ，那么 g（a b） g（a） g（b）是 否正确，试说明理由. 例 9 已知函数 f（x） （x0）满足 f（ xy） f（x） f（ y） ， （1）求证： f（1） f（ 1） 0； （2）求证： f（x）为偶函数； （3）若 f（x）在（ 0，）上是增函数，解不等式f（x） f（x 2 1 ） 0. 例 10 已知函数f（x）对一切

22、实数x、y 满足 f（0） 0，f（ xy） f（ x） f（y） ，且当 x0 时， f（x） 1，求 证： （1）当 x0 时， 0f（x） 1； （2）f（x）在 xR 上是减函数 . 练习题： 1.已知： f（xy） f（x） f（y）对任意实数x、y 都成立，则（） （A）f（0） 0 （ B）f（0） 1 （C）f（0） 0 或 1 （ D）以上都不对 2. 若对任意实数x、y 总有 f（xy） f（x） f（y） ，则下列各式中错误的是（） （A）f（1） 0 （B）f（ x 1 ）f（x） （C）f（ y x ）f（x） f（y）（D）f（xn） nf（x） （nN） 3.已知

23、函数f（x）对一切实数x、 y 满足： f（0） 0，f（xy） f（x）f（y） ，且当 x0 时， f（x） 1，则当 x0 时， f（x）的取值范围是（） （A） （ 1，）（B） （， 1） （C） （ 0，1）（D） （ 1，） 4.函数 f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有 f（x1x2） )()(1 )()( 21 21 xfxf xfxf ，则 f（x）为（） （A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数 5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y 满足 f（xy） f（xy） 2f（ x）f（ y），则函数

24、 f（x）是（） （A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数 数学 （C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数 函数 1. 函数的奇偶性 （1）若 f(x) 是偶函数，那么f(x)=f( x)=; （2）若 f(x) 是奇函数， 0 在其定义域内，则（可用于求参数） ； （3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x) f(-x)=0 或（f(x) 0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性； （5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； 2. 复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为a，b,其复合函数fg

25、(x) 的定义域由不等式ag(x) b解出即可；若 已知 fg(x) 的定义域为 a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求 g(x)的值域（即f(x) 的定义域）；研究函数的问题一定要 注意定义域优先的原则。 （2）复合函数的单调性由“ 同增异减 ” 判定； 3.函数图像（或方程曲线的对称性） (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； （2）证明图像C1与 C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然； （3）曲线 C1：f(x,y)=0, 关于 y=x+a(y=-x+a) 的对称曲线C2的方程为f

26、(ya,x+a)=0( 或 f(y+a,x+a)=0); （4）曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（ a,b）的对称曲线 C2方程为： f(2ax,2by)=0; （5）若函数 y=f(x) 对 xR 时， f(a+x)=f(a x)恒成立，则y=f(x) 图像关于直线x=a 对称； （6）函数 y=f(x a)与 y=f(b x)的图像关于直线x=对称； 4.函数的周期性 (1)y=f(x) 对 xR 时， f(x +a)=f(x a) 或 f(x2a )=f(x) (a0) 恒成立 ,则 y=f(x) 是周期为2a 的周期函数； （2）若 y=f(x) 是偶函数，其图像又关于直线x=a

27、对称，则f(x) 是周期为2a的周期函数； （3）若 y=f(x) 奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x) 是周期为4 a的周期函数； （4）若 y=f(x) 关于点 (a,0),(b,0)对称，则f(x) 是周期为2的周期函数； （5）y=f(x) 的图象关于直线x=a,x=b(a b) 对称，则函数y=f(x) 是周期为 2的周期函数； （6）y=f(x) 对 xR 时， f(x+a)= f(x)( 或 f(x+a)= ，则 y=f(x) 是周期为 2的周期函数； 5.方程 k=f(x) 有解kD(D 为 f(x) 的值域 )； 6.a f(x) 恒成立a f(x) max,;

28、a f(x) 恒成立a f(x) min; 7.（1）(a0,a 1,b0,nR +); (2) l og a N=( a0,a 1,b0,b 1); (3) l og a b 的符号由口诀“ 同正异负 ” 记忆 ; (4) a log a N= N ( a0,a 1,N0 ); 8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且A 中不同元素 在 B 中可以有相同的象； 数学 9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。 10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函

29、数也是奇函数；（3）定义域 为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数； （5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x) 与 y=f -1(x)互为反函数，设 f(x) 的定义域为A，值域为B，则有 ff -1(x)=x(x B),f-1f(x)=x(x A). 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“ 两看法 ” ：一看开口方向；二看对称轴 与所给区间的相对位置关系； 12. 依 据 单 调 性 ， 利 用 一 次 函 数 在 区 间 上 的 保 号 性 可 解 决 求 一 类 参 数 的 范 围 问 题 ：( 或 （或） ； 13. 恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法； （2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；