高中数学向量专题.pdf

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1、1向量的概念 向量 既有大小又有方向的量。向量一般用cba ,来表示， 或用有向线段的起点与终点的 大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法 ),(yxjyi xa 。向量的大 小即向量的模（长度） ，记作 |AB|即向量的大小，记作a|。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 零向量 单位向量 模为 1 个单位长度的向量，向量 0 a 为单位向量 0 a 1。 平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相 反的向量，称为平行向量，记作ab。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量 )，平行 向量总可以平移到同一直线上，故平

2、行向量也称为共线向量。 相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba 。大小相等， 方向相同),(),( 2211 yxyx 21 21 yy xx 。 2向量的运算 （1）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。 设,ABa BCb，则a+b =ABBC=AC。 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些

3、向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”。 （2）向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。 记作a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）)( a=a； (ii) a+(a)=(a)+a=0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。 向量减法 向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作： )( baba 求两个向量差的运算，叫做向量的减法

4、。 作图法：ba 可以表示为从b的终点指向 a的终点的向量（a、b有共同起点） 。 （3）实数与向量的积 实数 与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： （） aa； （）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相 反；当0 时，0a ，方向是任意的。 数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 3两个向量共线定理： 向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。 4平面向量的基本定理 如果 21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只 有一对实数 21, 使： 2211 eea其中不共线的向量 21,e e 叫做表示这一平

5、面内所有向 量的一组基底。 5平面向量的坐标表示 （1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量； （2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对 位置有关系。 （2）平面向量的坐标运算： 若 1122 ,ax ybxy，则 1212 ,abxxyy； 若 2211 ,yxByxA，则 2121 ,ABxx yy； 若a=(x,y) ，则a=(x, y)； 若 1122 ,ax ybxy，则 1221 /0abx yx y。 向量的数量积 （1）两个非零向量的夹角 已知非零向量a 与 a，作OAa，OBb，则 AA （ ）叫a与b的夹 角； 说明： （ 1）

6、当 时，a与b同向； （2）当 时，a与b反向； （3）当 2 时，a与b垂直，记 ab； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0 180。 （2）数量积的概念 已知两个非零向量a与b， 它们的夹角为， 则ab=a bcos叫做a与b的 数量积（或内积） 。规定00a； 向量的投影： bcos= | a b a R，称为向量b在a方向上的投影。 投影的绝对值称 为射影； （3）数量积的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。 （4）向量数量积的性质 ； 平面向量数量积的运算律 向量的夹角：cos=cos, a b a b ab = 2 2 2 2 2 1 2

7、1 2121 yxyx yyxx 。 当且仅当两个非零向量a与b同方向时， =0 0，当且仅当 a与b反方向时 =1800，同 时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 （5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量 1122 (,),(,)axybxy，则ab= 1212 x xy y。 （6）垂直：如果a与b的夹角为 90 0 则称a与b垂直，记作ab。 两个非零向量垂直的充要条件：ababO0 2121 yyxx，平面向量 数量积的性质。 （7）平面内两点间的距离公式 设),(yxa，则 222 |yxa或 22 |yxa。 C 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(

8、 11 yx、),( 22 yx，那么 2 21 2 21 )()(|yyxxa(平面内两点间的距离公式)。 例一 如图 12，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF () 图 12 A0 B.BE C.AD D.CF 【解析】BA CD EF BA AF BC BF BC CF ，所以选D. 练习 1 如图正六边形ABCDEF 中， BA CD EF () A0 B.BE C.AD D.CF 例二已知向量a(3，1)，b(0，1)，c(k，3)若 a2b 与 c共线， 则 k_. 【解析】 因为 a2b(3，3)，由 a2b与 c 共线，有 k 3 3 3 ，可得 k 1. 练习 1

9、已知向量a (3，1)，b(0， 1)， c(k，3)若a2b 与 c 共线，则k _. 2 课标文数3.F22011 广东卷 已知向量a(1,2)，b(1,0)，c (3,4)若 为实数， (a b)c，则 () A. 1 4 B.1 2 C1 D2 3 课标文数13.F22011 湖南卷 设向量 a，b 满足 |a|25，b(2,1)，且 a 与 b 的方向 相反，则a 的坐标为 _ 例 3 设 A1， A2， A3， A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2 ( R)， A1A4 A1A2 ( R)，且 1 1 2，则称 A3，A4调和分割 A1，A2，已知平面上的点C

10、，D 调和分割 点 A， B，则下面说法正确的是() AC 可能是线段AB 的中点 BD 可能是线段AB 的中点 CC、D 可能同时在线段AB 上 DC、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 来源 :Zxxk.Com 【解析】若 C、D 调和分割点A；B，则 AC AB ( R)，AD AB ( R)，且 1 1 2. 对于 A：若 C 是线段AB 的中点，则 AC 1 2AB ? 1 2? 1 0，故 A 选项错误；同理B 选项错误； 对于 C：若 C、A 同时在线段AB 上，则 02，C 选项错误；对于D： 若 C、D 同时在线段AB 的延长线上，则 1， 1? 1 1 1?| |a 22

11、a b| | b 21? a b1 2 ?| |a| |bcos cos 1 2? 0， 2 3 ， 所以 p1为真命题， p2为假命题 又因为| ab1?| |a 22a b| | b 2 1? a b1 2? | | a| |bcos cos 1 2? 3，所以 p4 为 真命题， p3为假命题 练习 1 课标理数10.F32011 辽宁卷 若 a，b，c 均为单位向量， 且 a b0，(ac) (bc)0， 则|abc|的最大值为 () A.21 B1 C.2 D2 2课标文数 3.F32011 辽宁卷 已知向量 a(2,1)， b(1， k)， a (2ab)0， 则 k () A 1

12、2 B 6 C6 D12 3 课标文数13.F32011 课标全国卷 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数， 若向量 ab 与向量 ka b垂直，则k_. 4 课标数学10.F32011 江苏卷 已知 e1，e2是夹角为 2 3 的两个单位向量，a e1 2e2，b ke1e2, 若 a b 0，则实数k 的值为 _ 5 大纲理数12.F32011 重庆卷 已知单位向量e1， e2的夹角为 60 ，则 |2e1 e2| _. 6 大纲文数5.F32011 重庆卷 已知向量a(1，k)， b(2,2)，且 ab与 a 共线，那么 ab 的值为 () A1 B2 C3 D 4 7

13、大纲 理数 12.F42011 全国卷 设向量a， b，c 满足 |a|b|1，a b 1 2， ac，b c 60 ，则 |c|的最大值等于() A2 B.3 C.2 D1 8 2 011北京海淀一模 在四边形ABCD 中， AB DC ，且 AC BD 0，则四边形ABCD 是() A矩形 B菱形C直角梯形 D等腰梯形 例 7 已知 a，b 是不共线的向量，AB ab，AC a b， ， R，那么A、B、C 三点共线的充要条件为() A 2 B 1 C 1 D1 练习 12011 淄博二模 设平面向量a(1,2)，b (2，y)，若 ab，则 |3ab|等于 () A.5 B.6 C.17

14、 D.26 2 2011 惠州三调 已知 ABC 中，点 A、B、C 的坐标依次是A(2，1)，B(3,2)，C( 3， 1)，BC 边上的 高为 AD，则 AD 的坐标是 _ 32011 南昌期末 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点 P(x， y)满足不等式0 OP OM 1,0OP ON 1，则 zOQ OP 的最大值为 _ 42011 合肥一模 若 e1， e2是夹角为 3的单位向量， 且 a2e1e2， b 3e12e2， 则 a b () A1 B 4 C 7 2 D.7 2 52011 合肥质检 已知平面向量a，b，c 满足 abc0，且 a 与 b 的夹角为135 ，c 与 b 的夹角为 120 ，|c|2，则 |a|_.