高中数学论文数列通项公式的求法集锦.pdf

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1、数列通项公式的求法集锦 河北省沧州颐和中学060001 左学红 Email: 联系电话： 15130720068 左学红 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情 况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如 1 ( ) nn aaf n(n=2、3、4.) 且(1)(2).(1)fff n可求，则用累加 法求 n a。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1.在数列 n a中， 1 a=1， 1 1 nn aan(n=2、3、4 ) ，求 n a的通项公式。 解： 1 11na时， 21 32 43 1 21 2 3 .

2、 1 nn naa aa aa aan 时, 这 n-1 个等式累加得： 1 12. n aa（n-1）= (1) 2 n n 故 2 1 (1)2 22 n n nnn aa且 1 1a也满足该式 2 2 2 n nn a(nN). 例 2在数列 n a中， 1 a=1， 1 2 n nn aa(nN),求 n a。 解： n=1 时 , 1 a=1 21 2 32 3 43 1 1 22 2 2 . 2 n nn naa aa aa aa 时, 以上 n-1 个等式累加得 21 1 22.2 n n aa= 1 2(12) 12 n =22 n ，故 1 2221 nn n aa且 1 1

3、a也满 足该式 21 n n a(nN)。 二、累乘法 形如 1 ( ) n n a f n a (n=2、3、4 )，且(1)(2).(1)fff n可求，则用累乘法 求 n a。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例 3在数列 n a中， 1 a=1， 1nn ana，求 n a。 解：由已知得 1n n a n a ，分别取n=1、2、3 (n-1),代入该式得n-1 个等式累乘，即 324 1231 n n aaaa aaaa =123 (n-1)=(n-1)!所以时， 1 (1)! n a n a 故(1)! n an 且 1 0!a=1 也适用该式(1)! n

4、 an(nN). 例 4已知数列 n a 满足 1 a= 2 3 ， 1 1 nn n aa n ，求 n a。 解：由已知得 1 1 n n an an ，分别令n=1， 2，3，.(n-1),代入 上式得 n-1 个等式累乘，即 324 1231 n n aaaa aaaa = 1231 234 n n 所以 1 1 n a an ，又因为 1 2 3 a也满足该式，所以 2 3 n a n 。 三、构造等比数列法 原数列 n a既不等差，也不等比。若把 n a 中每一项添上一个数或一个式子构成新数 列，使之等比，从而求出 n a。该法适用于递推式形如 1n a= n bac或 1n a=

5、 n baf n或 1n a= n n bac其中 b、c 为不相等的常数， f n为一次式。 例 5、 （06 福建理 22）已知数列 n a满足 1 a=1， 1n a=21 n a(nN)，求数列 n a 的通项公式。 解：构造新数列 n ap，其中 p 为常数，使之成为公比是 n a的系数 2 的等比数列 即 1n ap=2() n ap整理得： 1n a=2 n ap使之满足 1n a=21 n ap=1 即1 n a是首项为 1 1a=2，q=2 的等比数列1 n a= 1 2 2 n n a=21 n 例 6、 （07 全国理 21）设数列 n a 的首项 1 (0,1)a， n

6、 a= 1 3 2 n a ，n=2、3、4 （）求 n a的通项公式。 解：构造新数列 n ap，使之成为 1 2 q的等比数列 即 n ap= 1 1 () 2 n ap整理得： n a= 1 13 22 n ap满足 n a= 1 3 2 n a 得 3 2 p= 3 2 p=-1 即新数列1 n a首项为 1 1a， 1 2 q的 等比数列1 n a= 1 (1a） 1 1 2 n （）故 n a= 1 (1a） 1 1 2 n （）+1 例 7、 （07 全国理 22）已知数列 n a中， 1 a=2， 1n a=( 21) (2) n anN （）求 n a的通项公式。 解：构造新

7、数列 n ap，使之成为21q的等比数列 1n ap=(21) () n ap整理得： 1n a=( 21) n a+( 22)p 使之满足已知条件 1n a=( 21) n a+2( 21)( 22)2( 21)p解得 2p2 n a是首项为2221q的等比数列，由此得 2 n a=(22) 1 (21) n n a=2(21)2 n 例 8、已知数列 n a 中， 1 a=1， 1n a=23 n n a，求数列的通项公式。 分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3 n 是变量，而不是常量了。故应构造 新数列3 n n a，其中为常数，使之为公比是 n a的系数 2 的等比数列。 解：

8、构造数列3 n n a，为不为 0 的常数，使之成为q=2 的等比数列 即 1 1 3 n n a=2(3 ) n n a整理得： 1n a= 1 2(2 33) nn n a 满 足 1n a=23 n n a得 1 2 333 nnn 1新 数 列3 n n a是 首 项 为 1 1 3a=2，q=2 的等比数列3 n n a= 1 22 n n a=32 nn 例 9、 （07 天津文 20）在数列 n a中， 1 a=2， 1n a=431 n an，求数列的通项 n a。 解：构造新数列 n an，使之成为 q=4 的等比数列， 则 1 (1 ) n an=4() n an 整理得：

9、 1n a=43 n an满足 1n a=431 n an，即331nn得 1新数列 n an的首项为 1 11a，q=4 的等比数列 1 4 n n an 1 4 n n an 四、构造等差数列法 数列 n a 既不等差， 也不等比， 递推关系式形如 1 1 ( ) n nn ababf n，那么把两边 同除以 1n b后，想法构造一个等差数列，从而间接求出 n a。 例 10（07 石家庄一模） 数列 n a 满足 1 221 n nn aa(2)n且 4 81a。 求( 1 ) 1 a、 2 a、 3 a( 2 )是否存在一个实数，使此数列 2 n n a 为等差数列？若存在求出的值及

10、n a； 若不存在，说明理由。 解：(1)由 4 a= 4 3 221a=81 得 3 a=33；又 3 a= 3 2 221a=33 得 2 a=13； 又 2 a= 2 1 221a=13， 1 a=5 (2)假设存在一个实数，使此数列 2 n n a 为等差数列 即 1 1 22 nn nn aa = 1 2 2 nn n aa = 21 2 n n = 1 1 2 n 该数为常数 =1即 1 2 n n a 为首项 1 1 1 2 2 a ， d=1 的等差数列 1 2 n n a =2+(1) 1n=n+1 n a=(1) 21 n n 例 11、数列 n a 满足 1n a= 1

11、2( 2) n n a(nN)，首项为 1 2a，求数列 n a的通 项公式。 解： 1n a= 1 2( 2) n n a两边同除以 1 ( 2) n 得 1 1 ( 2) n n a = ( 2) n n a +1 数列 ( 2) n n a 是首项为 1 2 ( 2) =1，d=1 的等差数列 ( 2) n n a =1+(1) 1nn 故 n a=( 2) n n 例 12数列 n a中， 1 a=5，且 1 331 n nn aa（n=2、3、4 ） ，试求数列 n a 的通项公式。 解： 构造一个新数列 3 n n a ，为常数，使之成为等差数列，即 1 1 33 nn nn aa

12、 d 整理得 1 33 n nn aad+3 ，让该式满足 1 331 n nn aa取33 nn d， 21得 1 2 ， d=1 ， 即 3 n n a 是首项为 1 1 1 3 2 32 a ， 公差 d=1 的等差数列。 故 1 31 2 (1) 1 322 n n a nn n a= 11 () 3 22 n n 例 13、 （07 天津理 21）在数列 n a中， 1 a=2，且 1 1 (2)2 nn nn aa（nN） 其中0，( )求数列 n a的通项公式。 解： 1n 的底数与 n a的系数相同，则两边除以 1n 得 1 1 11 22 1 nn nn nnnn aa 即

13、1 1 1 22 1 nn nn nn aa 2 n n n a 是首项为 1 2 0 a ，公差 d=1 的等差数 列。 2 0(1)1 n n n a nn(1)2 nn n an。 五、取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有 1nn a a 项，直接求相邻两项的关系很困难，但 两边同除以 1nn a a 后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出 n a。 例 14、已知数列 n a， 1 a= 1， 1 1 n n n a a a nN，求 n a=？ 解：把原式变形得 11nnnn aaaa两边同除以 1nn a a 得 1 11 1 nn aa 1 n a 是首项为1，d

14、=1的等差数列故 1 1(1)( 1) n nn a 1 n a n 。 例 15、 （ 06 江西理 22）已知数列 n a满足 1 3 2 a，且 1 1 3 21 n n n na a an （2nnN ） ( )求数列 n a的通项公式。 解：把原式变形成 11 2(1)3 nnnn a anana两边同除以 1nn a a 得 即 1 112 33 nn nn aa 构造新数列 n n a ， 使其成为公比q= 1 3 的等比数列 即 1 11 () 3 nn nn aa 整理得： 1 12 33 nn nn aa 满足式使 22 33 1 数列1 n n a 是首项为 1 11 1

15、 3a ，q= 1 3 的等比数列 11 11 1( )( ) 3 33 nn n n a 3 31 n nn n a 。 例 16 （06 江西文 22）已知各项均为正数的数列 n a 满足： 1 3a，且 1 1 1 2 2 nn nn nn aa a a aa nN求数列 n a的通项公式。 解：把原式变形为 111 2(2) nnnnnn aaa aaa 两边同除以 1nn a a 得 1 1 21 2 nn nn aa aa 移项得： 1 1 11 2() nn nn aa aa 所以新数列 1 n n a a 是首项为 1 1 118 3 33 a a q=2 的等比数列。 故 2

16、 11 2 3 n n n a a 解关于 n a的方程得 122 1 (229) 3 nn n a。 六利用公式 1( 2) nnn aSSn求通项 有 些 数 列 给 出 n a 的 前n 项 和 n S与 n a的 关 系 式 n S=() n f a， 利 用 该 式 写 出 11 () nn Sf a，两式做差，再利用 11nnn aSS导出 1n a与 n a的递推式，从而求出 n a。 例 17.(07 重庆 21 题)已知各项均为正数的数列 n a的前 n 项和为 n S满足 1 S1 且 6 n S= (1)(2) nn aanN求 n a的通项公式。 解：由 11 aS=

17、11 1 (1)(2) 6 aa解得 1 a=1 或 1 a=2，由已知 11 aS 1，因此 1 a=2 又由 11nnn aSS= 11 11 (1)(2)(1)(2) 66 nnnn aaaa得 11 ()(3) nnnn aaaa=0 n a0 1 3 nn aa 从而 n a 是首项为 2，公差为3 的等差数列，故 n a的通项为 n a=2+3(n-1)=3n-1. 例 18.(07 陕西理 22)已知各项全不为0的数列 k a的前 k 项和为 k S， 且 k S= 1 1 2 kk a a(kN) 其中 1 a=1，求数列 k a的通项公式。 解：当 k=1 时， 11 aS=

18、 12 1 2 a a及 1 a=1 得 2 a=2；当 k2 时， 由 k a= 1kk SS=11 11 22 kkkk a aaa得 11 () kkk aaa=2 k a k a0 11kk aa=2 从而 21m a=1+(m-1)2=2m-1 2m a=2+(m-1)2=2m ( m N) 故 k a=k (kN). 例 19.(07 福建文 21)数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 a=1， 1 2 nn aS( n N),求 n a的通 项公式。 解：由 1 a=1， 21 2aS=2，当 n 2 时 n a= 1nn SS= 1 1 () 2 nn aa得 1n n

19、a a =3，因此 n a 是 首项为 2 a=2，q=3 的等比数列。故 n a= 2 23 n (n2),而 1 a=1 不满足该式 所以 n a= 2 1 3(2) n n (n=1) 2 。 例 20.(06 全国理22)该数列 n a的前 n 项和 1 412 2 333 n nn Sa(n=1、2、3 ) 求 n a的通项公式。 解：由 1412 2 333 n nn Sa(n=1、2、 3 )得 11 aS= 1 412 4 333 a 所以 1 a=2 再 1n S= 1 412 2 333 n n a（n=2、3 ） 将和相减得： n a= 1nn SS= 1 1 41 ()

20、(22 ) 33 nn nn aa 整理得 1 1 24(2) nn nn aa（n=2、 3） 因而数列 2 n n a是首项为 1 24a,q=4 的等比数列。即2n n a= 1 44 n =4 n ，因而42 nn n a。 七重新构造新方程组求通项法 有时数列 n a和 n b 的通项以方程组的形式给出，要想求出 n a与 n b必须得重新构造 关于 n a和 n b的方程组，然后解新方程组求得 n a和 n b。 例 21.（07 辽宁第 21 题） ：已知数列 n a， n b满足 1 a=2， 1 b=1 且 11 11 31 1 44 13 1 44 nnn nnn aab

21、bab （2n） ,求数列 n a， n b 的通项公式。 解析：两式相加得 11 2 nnnn abab则 nn ab 是首项为 11 3ab，d=2 的等差数 列，故 nn ab=3+2(n-1)=2n+1 (1) 而两式相减得 nn ab=11 11 22 nn ab= 11 1 () 2 nn ab则 nn ab是首项为 11 ab=1， q= 1 2 的等比数列，故 nn ab= 1 1 ( ) 2 n (2) 联立 (1)、(2)得 1 21 1 ( ) 2 nn n nn abn ab 由此得 11 () 22 n n an， 11 () 22 n n bn。 分析 该题条件新颖

22、 ,给出的数据比较特殊，两条件做加法、 减法后恰好能构造成等差或等比 数列，从而再通过解方程组很顺利求出 n a 、 n b的通项公式。若改变一下数据，又该怎 样解决呢？下面给出一种通法。 例 22.在数列 n a、 n b中 1 a=2， 1 b=1， 且 1 1 26 7 nnn nnn aab bab （nN） 求数列 n a和 n b 的通项公式。 解析：显然再把 1n a 与 1n b 做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列 nn ab其中为 0的常数。则 11nn ab=26(7) nnnn abab=(2) n a+(76) n b= 76 (2)() 2 nn ab 令 76

23、2 得 1=2 或2=3 则nn ab为首项 11 ab，q=+2 的等比数列。 即 1=2 时， 2 nn ab 是首项为4，q=4 的等比数列，故2 nn ab=4 1 4 n =4 n ； 2 =3 时， 3 nn ab是首项为5，q=5 的等比数列，故3 nn ab=5 1 5 n =5 n 联立二式 24 35 n nn n nn ab ab 解得3 42 5 nn n a，54 nn n b。 注：该法也可适用于例21，下面给出例21 的该种解法 解：构造新数列 nn ab ，则 nn ab=1 31 () 44 n a+ 1 13 () 44 n b+(1)= 11 313 (1

24、) 43 nn ab 令 13 3 得 1=1 或2= 1即 1=1 时，新数列 nn ab 中， nn ab= 11 2 nn ab （ nn ab） 11 ()2 nn ab新数列 nn ab是首项为 11 3ab，d=2 的等差 数列 nn ab=32(1)n=21n (1) 当 2= 1时，新数列 nn ab是首项为 11 ab=1，q= 1 2 的等比数列 nn ab= 1 1 2 n (2) 联立 (1)、(2) 1 21 1 2 nn n nn abn ab 得 11 22 n n an， 11 22 n n bn 。 例 23.在数列 n a、 n b 中， 11 1ab，且

25、1 1 515 7 nnn nnn aab bab （nN） ，求 n a、 n b 的通项公式。 解：构造新数列 nn ab ，则 11nn ab=(5) n a+(15 7 ) n b= 157 (5) 5 nn ab ，令 157 5 得 1 =3或 2 =5 nn ab为首项 11 ab， q=+5 的等比数列 即 1=-3 时 ， 3 nn ab 是 首 项 为 11 3ab=2， q=5+=2的 等 比 数 列 ， 故 3 nn ab= 1 22 n =2 n ； 当 2 =5 时， 5 nn ab 是首项为 11 5ab=6， q=+5=10 的等比数列，故5 nn ab=6 1 10 n 联立二式 1 32 56 10 n nn n nn ab ab 得 13 9 1052 4 nn n a， 13 3 102 4 nn n b。 Email: 联系电话： 15130720068 左学红