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1、1 高中数学第一章 -集合 考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集 逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的 意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合 （2）理解逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及 充要条件的意义 01. 集合与简易逻辑知识要点 一、知识结构: 本 章 知 识 主 要 分 为 集 合 、 简 单 不 等 式 的 解 法 （ 集 合 化 简 ）、 简 易 逻 辑 三 部 分 ： 二、知识回顾： （一
2、）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集，记为AA； 空集是任何集合的子集，记为A； 空集是任何非空集合的真子集； 如果 BA ，同时 AB ，那么 A = B. 如果CACBBA，那么，. 注： Z= 整数 （）Z =全体整数 （ 3） 已知集合S 中 A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集 .（3） （例： S=N ； A=N ，则 CsA= 0） 空集的补集是全集. 2 若集合A=集合 B，则 C BA=，CAB =C
3、S（CAB ）=D（注：CAB =） . 3. （x，y）| xy =0，xR， yR坐标轴上的点集. （x，y）| xy0，xR，yR二、四象限的点集. （x，y）| xy0，xR，yR 一、三象限的点集. 注：对方程组解的集合应是点集. 例： 132 3 yx yx 解的集合 (2，1). 点集与数集的交集是. （例： A =(x，y)| y =x+1 B=y| y =x2+1 则 AB =） 4. n 个元素的子集有2 n 个. n 个元素的真子集有2n 1 个. n 个元素的非空真子集有2 n2 个. 5. ?一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题 . 一个命题为真，
4、则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题 . 例：若325baba或，则应是真命题 . 解：逆否： a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. ，且21yx3yx. 解：逆否： x + y =3x = 1 或 y = 2. 21yx且3yx ,故3yx是21yx且的既不是充分，又不是必要条件. ?小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3.例：若 255xxx或， . 4.集合运算：交、并、补. |, | , ABx xAxB ABx xAxB AxUxAU 交：且 并：或 补：且C 5.主要性质和运算律 （1）包含关系： , ,;,;,. U AAA AUAU A
5、B BCAC ABA ABB ABA ABB C （2）等价关系： U ABABAABBABUC （3）集合的运算律： 交换律：.;ABBAABBA 结合律 :)()();()(CBACBACBACBA 分配律 :.)()()();()()(CABACBACABACBA 0-1 律：,AAA UAA UAU 等幂律：.,AAAAAA 求补律： A UA= A UA=U UU=U=U UU(UA)=A 3 反演律： U(A B)= (UA) (UB) U(AB)= (UA) (UB) 6.有限集的元素个数 定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card() =0.
6、 基本公式： (1)()( )( )() (2)()( )( )() ()()() () card ABcard Acard Bcard AB card ABCcard Acard Bcard C card ABcard BCcard CA card ABC (3) card(UA)= card(U)- card(A) ( 二) 含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法 （零点分段法） 将不等式化为a0(x-x 1)(x-x2) ,(x-xm)0(0”, 则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论； 一元二次不等式ax 2+box0(a0) 解的讨论
7、 . 000 二次函数 cbxaxy 2 （0a）的图象 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实根 )(, 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2 R 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxx 4 原 命 题 若 p则 q 否 命 题 若 p 则 q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 q 则 p 互 为 逆 否 互 逆否 互 为 逆 否 互 互 逆 否 互 2. 分式不等式的解法 （ 1）标准化：移项通分化为 )( )( xg xf 0( 或 )( )
8、( xg xf f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数 . 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这 一区间叫做函数y=f(x)的单调区间 .此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题： （ 1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)( xf为奇 函数或偶函数的必要不充分条件；（ 2）)()(xfxf或 )()(xfxf是定义域上的恒等式。 2奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数 的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的
9、奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增 减性相反. 4如果 )( xf 是偶函数，则 |)(|)(xfxf，反之亦成立。 若奇函数在0x时有意义，则0)0(f。 7. 奇函数，偶函数： ?偶函数：)()(xfxf 设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于y 轴对称，例如：1 2 xy在)1, 1上不是偶函数. 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1 )( )( xf xf . ?奇函数：)()(xfxf 设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同
10、时满足 定义域一定要关于原点对称，例如： 3 xy在)1, 1上不是奇函数. 7 x y 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1 )( )( xf xf . 8. 对称变换：y = f（x）（ 轴对称 xfy y y =f（x）（ 轴对称 xfy x y =f（x）（ 原点对称 xfy 9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： 在进行讨论 . 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（ x）= 1+ x x 1 的定义域为A，函数 ff（x）的定义域是B，则集合A 与集合 B 之间的关 系是. 解：)(xf的值域是)(x
11、ff的定义域 B ，)(xf的值域R，故RB，而 A1| xx，故AB. 11. 常用变换： )( )( )()()()( yf xf yxfyfxfyxf. 证：)()()()( )( )( )(yfyxfyyxfxf xf yf yxf )()()()()()(yfxfyxfyfxf y x f 证：)()()()(yf y x fy y x fxf 12. ?熟悉常用函数图象： 例： | 2 x y|x关于 y 轴对称 . | 2| 2 1 x y | 2 1 x y |2| 2 1 x y x y x y (0,1) x y (-2,1) |122| 2 xxy| y关于 x 轴对称
12、. ?熟悉分式图象： 例： 3 7 2 3 12 xx x y定义域, 3|Rxxx， 值域,2|Ryyy值域x 前的系数之比 . （三）指数函数与对数函数 22 1 22 212122 2 22 121 )( )()( bxbx xxxx bxbxxfxf x ）（ AB x y 2 3 8 指数函数)10(aaay x 且 的图象和性质 a1 00时， y1;x0时， 01. （5）在 R 上是增函数（5）在 R上是减函数 对数函数y=logax 的图象和性质 : 例如：xxx aaa log2(log2log 2 中 x 0 而 2 log x a 中 xR）. ? x ay（1,0 a
13、a）与xy a log 互为反函数 . 当1a时，xy a log 的a值越大，越靠近x 轴；当10a时，则相反 . （四）方法总结 ? . 相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. ?对数运算： a1 01 a0 )1 ,0(x时0y ), 1(x时0y （5）在（ 0， +）上是增函数在（ 0，+）上是减函数 9 nanaaa cba b b a N a n a a n a aaa aaa aaaa acb a N N Na M n M MnM NM N M NMNM n a 1121 loglog.loglog 1logloglog log log log log 1 log lo
14、glog logloglog loglog)(log 32 log )12 )1( 推论： 换底公式： （以上 10且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ） 注?：当0,ba时，)log()log()log(baba. ?：当0M时，取“ +” ，当n是偶数时且0M时，0 n M，而0M，故取“”. 例如：xxx aaa log2(log2log 2 中 x 0 而 2 log x a 中 xR）. ? x ay（1,0 aa）与xyalog互为反函数 . 当1a时，xy a log的a值越大，越靠近x 轴；当10a时，则相反 . ? . 函数表达式的求法：定义
15、法；换元法；待定系数法. ? . 反函数的求法：先解x, 互换 x、y，注明反函数的定义域( 即原函数的值域). ? . 函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域. 常涉 及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. ? . 函数值域的求法：配方法( 二次或四次 ) ；“判别式法” ；反函数法；换元法；不等式法； 函数的单调性法. ? . 单调性的判定法：设x1,x 2 是所研究区间内任两个自变量，且x1x 2 ；判定f(x 1) 与 f(x2 ) 的
16、大小；作差比较或作商比较. ? . 奇偶性的判定法： 首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系： f(-x)=f(x) 为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0为偶； f(x)+f(-x)=0为奇； f(-x)/f(x)=1是偶； f(x) f( -x)=-1为奇函数 . ? . 图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、 翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. 10 高中数学第三章数列 考试内容： 数列 等差数列及其通项公式等差数列前n 项和公式 等比数列及其通项公式等比数列前n
17、 项和公式 考试要求： （1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式 写出数列的前几项 （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题 （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题 03. 数 列知识要 点 1. ?等差、等比数列： 等差数列等比数列 定义 daa nn 1 )0( 1 qq a a n n 递 推 公 式 daa nn1 ；mdaa nmn qaa nn1 ； mn mn qaa 通 项 公 式 dnaan)1( 1 1 1 n n qaa（
18、0, 1 qa） 中项 2 knkn aa A （0, * knNkn） )0(knknknknaaaaG （0, * knNkn） 前n 项 和 )( 2 1nn aa n S d nn naSn 2 ) 1( 1 )2( 11 1 )1( 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 重 要 性 质 ) ,( * qpnm Nqpnmaaaa qpnm ),( * qpnmNqpnmaaaa qpnm 数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 等差数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n项和 等比数列 等比数列
19、的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n项和 11 等差数列等比数列 定义 常数）为( 1 daaPAa nnn 常数）为( 1 q a a PGa n n n 通 项 公 式 n a= 1 a+ （n-1） d= k a+ （ n-k） d=dn+ 1 a-d kn k n n qaqaa 1 1 求 和 公 式 n d an d d nn na aan s n n ) 2 ( 2 2 )1( 2 )( 1 2 1 1 )1( 11 )1( )1( 11 1 q q qaa q qa qna s n n n 中 项 公 式 A= 2 ba 推广： 2 n a= mnmn aaa
20、bG 2 。推广： mnmnn aaa 2 性 质 1 若 m+n=p+q 则 qpnm aaaa若 m+n=p+q，则 qpnm aaaa。 2 若 n k成 A.P （其中Nkn） 则 n k a 也为 A.P。 若 n k成等比数列（其中Nkn） ， 则 n k a成等比数列。 3 nnnnn sssss 232 ,成等差数列。 nnnnn sssss 232 ,成等比数列。 4 )( 1 1 nm nm aa n aa d nmn 1 1 a a q nn ， m nmn a a q )(nm 5 ?看数列是不是等差数列有以下三种方法： ), 2( 1 为常数dndaa nn 2 11
21、nnn aaa (2n) bknan (kn,为常数 ). ?看数列是不是等比数列有以下四种方法： )0,2( 1 且为常数qnqaa nn 11 2 nnn aaa(2n，0 11nnn aaa ) 注： i. acb，是 a、b、c 成等比的双非条件，即acba、b、c 等比数列 . ii. acb（ac0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. acb为 a、b、c 等比数列的必要不充分. 12 iv. acb且0ac为 a、b、c 等比数列的充要. 注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个. n n cqa(qc,为非零常数 ). 正数列 n
22、a 成等比的充要条件是数列 nx alog （1x）成等比数列. ?数列 n a的前 n项和 n S与通项 n a的关系： )2( )1( 1 11 nss nas a nn n 注： danddnaan 11 1（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列） 若d不为 0，则是等差数列充分条件）. 等差 n a前 n 项和n d an d BnAnSn 22 1 22 2 d 可以为零也可不为零为等差的充要条件若 d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. 非零 常数列既可为等比数列，也可为等差数列 .（不是非零，即不可能有等比数列） 2. 等差数列
23、依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2 倍., 232kkkkk SSSSS ； 若等差数列的项数为2 Nnn，则， 奇偶 ndSS 1n n a a S S 偶 奇 ； 若等差数列的项数为 Nnn12，则 nn anS12 12 ，且 n aSS 偶奇 ， 1n n S S 偶 奇 得到所求项数到代入12nn. 3. 常用公式：1+2+3 ,+n = 2 1nn 6 121 321 2222nnn n 2 2 1 321 3333 nn n 注：熟悉常用通项：9，99，999， 110 n n a； 5，55，555，110 9 5 n na. 4. 等比数列的前n项和公式的常
24、见应用题： ?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列， 公比为r1. 其中第 n 年产量为 1 )1( n ra，且过 n 年后总产量为： . )1(1 )1( )1(.)1()1( 12 r raa rararaa n n ?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每 月的 a元过 n个月后便成为 n ra)1(元. 因此，第二年年初可存款： )1(.)1()1()1( 101112 rararara= )1(1 )1(1)1( 12 r rra . ?分期付款应用题：a 为分期付款
25、方式贷款为a 元； m 为 m 个月将款全部付清；r 为年利率 . 13 11 111 11111 21 m mm mmmm r rar x r rx raxrxrxrxra 5. 数列常见的几种形式： ? nnn qapaa 12 （p、q 为二阶常数）用特证根方法求解. 具体步骤： 写出特征方程qPxx 2 （ 2 x对应 2n a， x 对应 1n a） ，并设二根 21, x x若 21 xx可设 nn n xcxca 2 211. ，若 21 xx可设 n n xncca 121 )(；由初始值 21,a a确定 21,c c. ?rPaa nn1 （P、r 为常数）用转化等差， 等
26、比数列；逐项选代； 消去常数n 转化为 nnn qaPaa 12 的形式，再用特征根方法求 n a； 1 21 n n Pcca（公式法）， 21,c c由 21,a a确定 . 转化等差，等比： 1 )( 11 P r xxPxPaaxaPxa nnnn . 选代法：rrPaPrPaa nnn )( 21xPxa P r P P r aa nn n 1 1 1 1)( 1 ) 1 ( rrPaP nn Pr 2 1 1 . 用特征方程求解：相减， rPaa rPaa nn nn 1 1 1n a 111 1 nnnnnn PaaPaPaPaa）（ . 由选代法推导结果： P r P P r
27、acPca P r ac P r c nn n 1111 1 11 1 2121 ）（，. 6. 几种常见的数列的思想方法： ?等差数列的前n项和为 n S，在0d时，有最大值. 如何确定使 n S取最大值时的n 值，有两种方法： 一是求使0, 0 1nn aa，成立的 n值；二是由n d an d Sn) 2 ( 2 1 2 利用二次函数的性质求n 的值 . ?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：,. 2 1 )12,.( 4 1 3, 2 1 1 n n ?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等
28、差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项， 公差是两个数列公差 21 dd ，的最小公倍数. 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1) 定义法 :对于n 2 的任意自然数,验证 )( 1 1 n n nn a a aa为同一常数。 (2)通项公式法。 (3)中项公式法 :验证 21 2 nnn aaaNnaaa nnn )( 2 2 1 都 成立。 3. 在等差数列 n a中 ,有关 Sn的最值问题： (1)当 1 a0,d0 时，满足 0 0 1m m a a 的项数 m 使得 m s取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转 14 化思想的应用。 （三）、
29、数列求和的常用方法 1. 公式法 :适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法 :适用于 1nna a c 其中 n a是各项不为0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含阶 乘的数列等。 3.错位相减法 :适用于 nnb a其中 n a是等差数列， n b是各项不为0 的等比数列。 4.倒序相加法 : 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1）: 1+2+3+.+n = 2 ) 1(nn 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 2 n 3） 2 333 ) 1( 2 1 21nnn 4）)12)(1( 6 1 321 2222 nnnn 5）
30、1 11 )1( 1 nnnn ) 2 11 ( 2 1 )2( 1 nnnn 6）)() 11 ( 11 qp qppqpq 高中数学第四章 -三角函数 考试内容： 角的概念的推广弧度制 任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切 正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知 三角函数值求角 正弦定理余弦定理斜三角形解法 考试要求： （1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割
31、、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关 系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义 （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 （5） 理解正弦函数、 余弦函数、正切函数的图像和性质，会用 “五点法”画正弦函数、 余弦函数和函数y=Asin( x+)的简图，理解A.、 的物理意义 （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx 表示 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 15 （8） “同角三角函数基本关系式：
32、sin2+cos2=1，sin /cos =tan,tan?cos=1” 04. 三角函数知识要点 1. 与（ 0360 ）终边相同的角的集合（角与角的终边重合） ：Zkk,360| 终边在 x 轴上的角的集合：Zkk,180| 终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180| 终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90| 终边在 y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180| 终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180| 若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：k360 若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：180360 k 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180 角
33、与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360 k 2. 角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式：1rad 180 57.30 =5718 1 180 0.01745（rad） 3、弧长公式： rl| . 扇形面积公式： 2 11 | | 22 slrr 扇形 4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） P与原点的距离为r ， 则 r y sin ； r x cos ； x y tan ； y x cot ； x r
34、 sec ；. y r csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切余弦、正割 - - - - - + + + + + - + 正弦、余割 oo o x y x y x y 6、三角函数线 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. y x SIN COS三角函数值大小关系图 sinx cosx 1、 2、3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域 1 2 3 4 1 2 3 4 sinx sinx sinx cosxcosx cosx r o x y a的终边 P（ x,y ) T MAO P x y (3) 若 o|cosx| |cosx|s
35、inx|cosx|sinx| |sinx|cosx| sinxcosx cosxsinx 16. 几个重要结论: O O x y x y 16 7. 三角函数的定义域： 三角函数定义域 )(xf sinx Rxx | )(xfcosxRxx | )(xftanx ZkkxRxx, 2 1 |且 )(xf cotx ZkkxRxx,|且 )(xf secx ZkkxRxx, 2 1 |且 )(xfcscxZkkxRxx,|且 8、同角三角函数的基本关系式： tan cos sin c ot s i n c o s 1cottan 1sincsc1c oss ec 1cossin 22 1tans
36、ec 22 1cotcsc 22 9、诱导公式： 2 k 把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式： （一）基本关系 公式组二公式组三 xxk xxk xxk xxk cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( xx xx xx xx c o t)c o t ( t a n)t a n ( c o s)c o s ( s i n)s i n ( 公式组四公式组五公式组六 xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( xx xx xx xx c o t)2c o t (
37、t an)2t an ( c o s)2c o s ( s i n)2s i n ( xx xx xx xx c o t)c o t ( t a n)t a n ( c o s)c o s ( s i n)s i n ( （二）角与角之间的互换 公式组一公式组二 sinsincoscos)cos(c o ss i n22s i n sinsincoscos)cos( 2222 s i n211c o s2s i nc o s2c o s sincoscossin)sin( 2 t a n1 t a n2 2t a n sincoscossin)sin( 2 c o s1 2 s i n tan
38、tan1 tantan )tan( 2 cos1 2 cos 公式组一 sinx2 cscx=1tanx= x x cos sin sin 2x+cos2x=1 cosx2 secxx= x x sin cos 1+tan 2 x =sec 2x tanx2 cotx=1 1+cot 2x=csc2x =1 17 tantan1 tantan )tan( 公式组三公式组四公式组五 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 4 26 75cos15sin , 4 26 15cos75sin ,3275cot15ta
39、n,3215cot75tan. 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin （A、0） 定义域R R R 值域 1, 1 1, 1 R R AA, 周期性22 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当 ,0非奇非偶 当, 0奇函数 单调性 2 2 ,2 2 k k 上 为 增 函 数； 2 2 3 ,2 2 k k 上 为 减 函 数（Zk） 2 ,12 k k ； 上 为 增 函 数 12 ,2 k k 上 为 减 函 数 （Zk） kk 2 , 2 上为增函数 （Zk） 1, kk上为减函 数（Zk） )( 2 1 2 ),( 2 2 A k A k 上为增函数； )( 2
40、 3 2 ),( 2 2 A k A k 上为减函数 （Zk） 注意： xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若 coscos 2 1 sinsin coscos 2 1 coscos sinsin 2 1 sincos sinsin 2 1 cossin 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan ZkkxRxx, 2 1 |且 ZkkxRxx,|且 xycotxyt
41、an xycos xysin sin) 2 1 cos( cos) 2 1 sin( cot) 2 1 tan( sin) 2 1 cos( cos) 2 1 sin( cot) 2 1 tan( y 18 )(xfy 在 ,ba 上递增（减），则 )(xfy 在 ,ba 上递减（增）. xysin 与xycos的周期是. )sin( xy或)cos( xy（0）的周期 2 T. 2 tan x y 的周期为2（ 2TT ，如图，翻折无效）. )sin(xy的对称轴方程是 2 kx（Zk） ，对称中心（0 ,k） ；)c o s (xy的对称轴方程是 kx（Zk） ，对称中心（ 0, 2 1
42、k ） ；)t a n (xy的对称中心（0, 2 k ）. xxyxy2cos)2cos(2cos 原点对称 当 tan , 1tan)( 2 Zkk； tan, 1tan)( 2 Zkk. xycos与 kxy2 2 sin 是同一函数 ,而)( xy是偶函数，则 )cos() 2 1 sin()(xkxxy . 函数xytan在R上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增 函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点 对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： )()(
43、xfxf，奇函数：)()(xfxf） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：xytan是奇函数， ) 3 1 tan(xy 是非奇非偶 .（定义域不关于原点 对称） 奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有 0)0(f.（x0的定义域，则无此性质） xysin 不是周期函数； xysin 为周期函数（T） ； xycos 是周期函数（如图） ； xycos 为周期函数（T） ； 2 1 2cos xy 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： Rkkxfxfy),(5)(. a b babaycos)sin(sincos 22 有yba 22 . 11、三角函数图象的作法：
44、 ） 、几何法： ） 、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ） 、利用图象变换作三角函数图象 y x y= cos |x| 图象 1/2 y x y=| cos2x+1/2|图象 19 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 yAsin（x ）的振幅 |A| ，周期2 | T ，频率 1| 2 f T ，相位;x初相（即当 x0 时 的相位） （当 A 0， 0 时以上公式可去绝对值符号）， 由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当0|A| 1）到原来 的|A| 倍，得到 yAsinx 的图象，
45、叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A 替换 y） 由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长 （0 | | 1）或缩短 （| | 1）到原来的1 | 倍，得到ysin x 的图象，叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用x 替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位，得到y sin （x ）的图象，叫做相位变换 或叫做沿x轴方向的平移(用 x替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动 b个单位，得到ysinx b 的图象叫做沿y 轴方向的平移 （用 y+(-b)替换 y
46、） 由 ysinx 的图象利用图象变换作函数yAsin（x ） （A0，0） （x R）的图象， 要特别注意： 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数 ysinx， 22 ，x 的反函数叫做反正弦函数 ， 记作 y arcsinx， 它的定义域是 1， 1 ， 值域是 22 ， 函数 ycosx， （x 0， ）的反应函数叫做反余弦函数 ，记作 yarccosx，它的定义域是1，1 ， 值域是 0， 函数 ytanx， 22 ，x 的反函数叫做 反正切函数 ，记作 yarctanx，它的定义域是（，）， 值域是 22 ， 函数 yctgx，
47、 x（0，） 的反函数叫做 反余切函数 ，记作 yarcctgx，它的定义域是 （， ） ， 值域是（ 0，） II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数：?反正弦函数xyarcsin是奇函数，故xxarcsin)arcsin(，1 , 1x （一定要注明定 义域，若 ,x ，没有x与y一一对应，故xysin无反函数） 注：xx)sin(arcsin，1 , 1x， 2 , 2 arcsin x . ?反余弦函数xyarccos非奇非偶，但有kxx2)arccos()arccos(，1, 1x. 注： xx)cos(arccos，1 , 1x， ,0arccosx . xycos
48、是偶函数，xyarccos非奇非偶，而xysin和xyarcsin为奇函数 . ?反正切函数： xyarctan ，定义域),(，值域（ 2 , 2 ） ，xya r c t a n是奇函数， xxarctan)arctan(，x),(. 注：xx)tan(arctan，x),(. 20 ?反余切函数： xarcycot ，定义域 ),(，值域（ 2 , 2 ） ，xa r cyc o t是非奇非偶 . kxarcxarc2)cot()cot(，x),(. 注： xxarc)cotcot(，x),(. xyarcsin与)1arcsin(xy互为奇函数，xyarctan同理为奇而xyarccos 与xarcycot非奇非偶但满 足 1 , 1,2)cot(cot 1 , 1,2arccos)arcco