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1、圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是 222 )()(rbyax . 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是： 222 ryx . 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r ： a.点在圆内dr ； b.点在圆上d=r； c.点在圆外dr (2). 给定点),( 00 yxM及圆 222 )()(:rbyaxC. M 在圆 C 内 22 0 2 0 )()(rbyax M 在圆 C 上 22 0 2 0 )()rbyax（ M 在圆 C 外 22 0 2 0 )()(rbyax （3）涉及最值： 圆外一点 B，圆上一动点
2、P，讨论PB 的最值 min PBBNBCr max PBBMBCr 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 min PAANrAC max PAAMrAC 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 3. 圆的一般方程：0 22 FEyDxyx . (1) 当04 22 FED时，方程表示一个圆，其中圆心 2 , 2 ED C，半径 2 4 22 FED r. (2) 当04 22 FED时，方程表示一个点 2 , 2 ED . (3) 当04 22 FED时，方程不表示任何图形. 注 ： 方 程0 22 FEyDxCyBxyAx表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ：0B且0CA且 04
3、22 AFED. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax 圆心到直线的距离 22 BA CBbAa d 1）无交点直线与圆相离rd； 2）只有一个交点直线与圆相切rd； 3）有两个交点直线与圆相交rd；弦长 |AB|=2 22 dr d r d=r r d 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 0 0 22 FEyDxyx CByAx 求解，通过解 的个数来判断： （1）当 0时，直线与圆有 2 个交点，直线与圆相交； （2）当 0时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切； （3）当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 5. 两圆的位置关系 （1）设
4、两圆 2 1 2 1 2 11 )()(:rbyaxC与圆 2 2 2 2 2 22 )()(:rbyaxC， 圆心距 2 21 2 21 )()(bbaad 条公切线外离4 21 rrd； 条公切线外切3 21 rrd； 条公切线相交2 2121 rrdrr ； 条公切线内切1 21 rrd ； 无公切线内含 21 0rrd ； 外离外切相交内切 （2）两圆公共弦所在直线方程 圆 1 C： 22 111 0xyD xE yF， 圆 2 C： 22 222 0xyD xE yF， 则 121212 0DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程. 补充说明： 若 1 C与2C相切，则表示其中一条公切线
5、方程； 若 1 C与 2 C相离，则表示连心线的中垂线方程. （3）圆系问题 过两圆 1 C： 22 111 0xyD xE yF和 2 C： 22 222 0xyD xE yF交点的圆系 方程为 2222 111222 0xyD xE yFxyD xE yF（1） 补充： 上述圆系不包括 2 C； 2）当 1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） 过 直 线0A xB yC与 圆 22 0xyDxEyF交 点 的 圆 系 方 程 为 22 0xyDxEyFAxByC 6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： k 不存在，验证是否成立 k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距
6、离=半径，即 1 )( )( 2 11 0101 R xakyb R xxkyy 求解 k，得到切线方程【一定两解】 例 1. 经过点 P(1， 2) 点作圆 (x+1) 2+( y2) 2=4 的切线，则切线方程为 。 (2) 过圆上一点的切线方程：圆 (xa) 2+( yb) 2=r2，圆上一点为 (x0，y0) ， 则过此点的切线方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r 2 特别地，过圆 222 ryx 上一点),(00yxP的切线方程为 2 00 ryyxx . 例 2. 经过点 P(4，8) 点作圆 (x+7) 2+( y+8) 2=9 的切线， 则切线方程为 。 7切点弦
7、 (1) 过C： 222 )()(rbyax外一点),( 00 yxP作C的两条切线， 切点分别为BA、， 则切点弦 AB所在直线方程为： 2 00 )()(rbybyaxax 8. 切线长： 若 圆 的 方 程 为 (xa) 2 (yb) 2=r2 ， 则 过 圆 外 一 点P(x0,y0) 的 切 线 长 为 d= 22 0 2 0b)(+)(ryax 9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例. 已知圆 C1：x 2 + y 2 2
8、x =0 和圆 C2：x 2 + y 2 +4 y=0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。 一、求圆的方程 例 1 (06重庆卷文 ) 以点)1,2(为圆心且与直线0543yx相切的圆的方程为( ) (A)3) 1()2( 22 yx(B)3)1()2( 22 yx (C)9)1()2( 22 yx(D)9)1()2( 22 yx 二、位置关系问题 例 2 (06 安徽卷文 ) 直线 1yx 与圆 02 22 ayyx)0(a 没有公共点，则a的取值范 围是 ( ) (A) )12,0( (B)12, 12( (C) 12, 12(D)
9、12,0( 三、切线问题 例 3 (06重庆卷理 ) 过坐标原点且与圆 0 2 5 24 22 yxyx相切的直线方程为( ) (A)xy3或xy 3 1 (B)xy3或xy 3 1 (C)xy3或xy 3 1 (D)xy3或xy 3 1 四、弦长问题 例 4 (06 天津卷理 ) 设直线03yax与圆4)2()1( 22 yx相交于BA、两点，且 弦AB的长为32，则a. 五、夹角问题 例 5 (06 全国卷一文 ) 从圆0122 22 yyxx外一点)2, 3(P向这个圆作两条切线，则两 切线夹角的余弦值为( ) (A) 2 1 (B) 5 3 (C) 2 3 (D) 0 六、圆心角问题
10、例 6 (06 全国卷二 )过点)2, 1(的直线 l 将圆4)2( 22 yx分成两段弧，当劣弧所对的圆心 角最小时，直线 l的斜率k . 七、最值问题 例 7 (06 湖南卷文 ) 圆01044 22 yxyx上的点到直线14yx0的最大距离与 最小距离的差是 ( ) (A) 30 (B) 18 (C)26(D)25 八、综合问题 例 8 (06 湖南卷理 ) 若圆01044 22 yxyx上至少有三个不同的点到直线 0:byaxl的距离为22，则直线l的斜率 k 取值范围 _ 圆的方程 1.方程 x 2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圆方程，则 t 的
11、取值范围是 A.1t 7 1 B.1t 2 1 C. 7 1 t1 D.1t2 2. 一圆与 y轴相切，圆心在直线x3y=0 上，且直线y=x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程 . 3.方程 x 2 y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲线关于 x+y=0 成轴对称图形，则（） A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 4.（2004 年全国， 8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点 B（3，1）距离为 2 的直线 共有（） A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条 5.（2005 年黄冈市调研题）圆x2+y2+x6y+3=0 上两点P、Q 关于
12、直线kxy+4=0 对称，则 k=_. 6.（2004 年全国卷， 16）设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点，则点P 到直线 3x4y10=0 的 距离的最小 值为 _. 7.已知实数 x、y满足方程 x 2+y24x+1=0.求（ 1） x y 的最大值和最小值； （2）yx的最小值； （3）x2+y2的最大值和最小值. 经过两已知圆的交点的圆系 例1求经过两已知圆：064 22 xyx和064 22 yyx的交点且圆心的横坐标为3 的圆的方程。 例 2设圆方程为： 016448)4012()42()4()4( 22 yxyx其中4 求证：不论为何值，所给圆必经过两个定点。 直线与圆的位
13、置关系 例1：求由下列条件所决定圆4 22 yx的圆的切线方程； (1) 经过点) 1, 3(P，(2) 经过点)0 ,3(Q，(3) 斜率为 1 直线和圆 1自 点 （ 3 ， 3） 发 出 的 光 线L射 到x轴 上 ， 被x轴 反 射 ， 其 反 射 线 所 在 直 线 与 圆 0744 22 yxyx相切，求光线L 所在直线方程 2.求圆心在直线0xy上，且过两圆 22 210240xyxy， 22 xy2280xy交点的圆的方程 3.（2002 北京文，16） 圆 x 2y22x2y10 上的动点 Q 到直线 3x4y80 距离的最小值为 弦长 【例题】已知直线 lx+2y-2=0 与圆 Cx 2+y2=2 相交于 A、B 两点，求弦长 AB.