最新苏教版六年级上册数学单元期末复习-七整理与复习.pdf

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1、一长方体和正方体 一、长方体的认识 1. 认识长方体的面、棱、顶点。 (1)从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最多只 能同时观察到长方体的三个面。 (2)长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相 交的点叫作长方体的顶点。 2. 长方体的特征。 长方体是由6 个长方形 (也可能有2 个相对的面是 正方形 )围成的立体图形,它有 6 个面、 12 条棱和 8 个顶 点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度 相等。 3. 长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度 , 分别叫作 它的长、宽、高。 4. 长方体的

2、长、 宽、高不是固定不变的,它与长方体 的摆放方式有关。长方体相交于同一顶点的三条棱中, 通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直 方向的一条棱叫作它的高。 二、正方体的认识 1. 正方体也叫立方体。它是由 6个完全相同的正方 形围成的立体图形。 它的 6 个面是完全相同的正方形,12 条棱的长度都相等,有 8 个顶点。 2. 正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长。 3. 长方体和正方体的特征的异同。 相同点 :都有 6 个面、 12 条棱、 8 个顶点 ,相对的 面完全相同 ,相对的棱长度相等。 不同点 :长方体的6 个面都是长方形(也可能有 2 个相对的面是正方形);一般情况下

3、 ,棱有 3 组,每组 4 条棱 长度相等。正方体的6 个面是完全相同的正方形;每条棱 的长度都相等。 三、正方体、长方体的展开图 1. 把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。 正方体的展开图是由6 个完全相同的正方形组成 的,可以通过观察、折叠找到3 组相对的面。 2. 沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有3 组相 对的面 ,相对的面完全相同 , 相对的面完全隔开。 易错点 :误认为一个长方体中 最多有 4条相等的棱。 这是错误的 , 一定要注意长方体的6 个面不一 定都是长方形,也可能有2 个相对 的面是正方形。 当长方体有2 个相 对的面是正方形时,就有 8 条棱长 度相等。 直观图中的

4、实线表示从某个 角度能够看到的棱,虚线表示看不 到的棱。 长方体 12 条棱的长度和叫作 长方体的棱长总和。长方体的棱长 总和 =(长+宽+高 )4 。 易错点 :误认为有6 个面、 12 条棱、 8 个顶点的立体图形不是长 方体就是正方体。这是不正确的, 一定要注意有6 个面、 12 条棱、 8 个顶点并不代表它就是长方体或 正方体 ,要看它是否具备长方体或 正方体的所有特征,如下图 ,这个立 体图形既不是长方体,也不是正方 体。 正方体的棱长总和:棱长 12。 正方体具有长方体的一切特 征,正方体是特殊的长方体。 同一个立体图形,沿不同的棱 剪开 ,得到的展开图不同。 技巧 : 3. 沿着

5、正方体 (或长方体 )的棱将它剪开,可以把正 方体 (或长方体 )展开成一个平面图形,这个平面图形就 是正方体 (或长方体 )的展开图。在展开图中,正方体的6 个面完全相同 (长方体相对的面完全相同),相对的面完 全隔开。 四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法 1. 表面积的意义:长方体 ( 或正方体 ) 6 个面的总面积 , 叫作它的表面积。 2. 长方体和正方体表面积的计算方法。 (1)长方体的表面积 = 长 宽 2+ 长 高 2+ 宽 高 2= ( 长 宽 + 长 高 + 宽 高 ) 2 。 如果用S表示长方体的表面积,用a、b、h分别表示 长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算

6、公式是 S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh)2。 (2)正方体的表面积 = 棱长 棱长 6 。 如果用S表示正方体的表面积,用a表示棱长 ,那么 正方体表面积的计算公式是S=6a 2。 五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实 际问题 1. 求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是 要根据实际情况确定好求几个面的面积和。 2. 在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都 有 6 个面 ,如长方体的鱼缸只有5 个面 ,通风管只有4 个 面。因此 ,在计算时要根据实际情况解题。 六、体积和容积的意义 1. 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2. 能盛装其他物体的都可以称为容

7、器,不能盛装其 他物体的都不是容器。 3. 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 4. 有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一 定有容积。 七、体积单位 正方体有6 个相同的面 ,可以 通过观察、折叠找到3 组相对的 面。 长方体有3 组相对的面 ,可以 通过看是否完全隔开,完全隔开的 一组面就是相对的两个面。 当所求的长方体的表面积是6 个面的面积时,先分别求出每组相 对的面中一个面的面积,相加后再 乘 2 较简便。 举例 :大厅里有 8 根高为 5 米 的方柱需要涂油漆,方柱的横截面 是边长为0.5 米的正方形 ,若 1 千 克油漆可以涂5 平方米 ,则涂这 8 根方柱需要多少千克油

8、漆? 错 解:(0.5 0.5 2+0.5 54)8 51=16.8 (千克 ) 答:涂这 8 根方柱需要16.8 千 克油漆。 正 解:0.5 5 4 8 5 1=16(千克 ) 答:涂这 8 根方柱需要16 千克 油漆。 一个容器容积的大小与它所 能盛装物体的多少有关。因为容器 都有一定的厚度,所以一个容器的 体积一般大于它的容积。 1. 棱长是 1 厘米的正方体,体积是 1 立方厘米。 2. 棱长是 1 分米的正方体,体积是 1 立方分米。 3. 棱长是 1 米的正方体 ,体积是 1 立方米。 4. 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米 , 用字母表示分别是 cm 3 、 dm 3

9、 和 m 3 。 八、容积单位 1. 容积单位的使用方法。 计量容积 ,一般就用体积单位。计量液体的体积,如 水、油等 ,通常用升或毫升作单位。升和毫升,用字母表 示分别为L 和 mL,其中 1 L=1000 mL 。 2. 容积单位的换算。 1 dm 3 =1 L 1 cm 3 =1 mL 高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向 高级单位转换用除法计算。 3. “容积”与“体积”的区别。 (1)意义不同。 体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所 能容纳物体的体积。一个物体有体积,但它不一定有容 积。 (2)测量方法不同。 求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高 进行计算 ,

10、而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、 宽、高 ,然后计算。因此,对于同一个物体,一般来说 ,它的 容积要比体积小。 (3)单位名称不完全相同。 体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固 体、 气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位 一般用升、毫升。 九、长方体体积公式的推导 1. 以取 12 个 1 立方厘米的小正方体,摆出不同形状 的长方体为例 ,如下图 : 每个小正方体的体积是1 立方厘米 ,每个长方体是 由 12 个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是12 立方厘米。 并不是只有棱长是1 cm 、 1 dm 、 1 m 的正方体的体积才是1 cm 3、1 dm 3 和

11、 1 m 3。 易错点 :误认为容积就是体积, 这是不对的 ,一定要注意“容积” 与“体积”的不同。如一本书有体 积,却没有容积。 较大容器盛装液体时用“升” 作单位 ,较小容器盛装液体时用 “毫升”作单位。 巧记 : 体积单位常用到,相邻进率是 1000。 高级单位化低级,要把此数乘 1000。 低级单位化高级,除以 1000 把 数算。 转换过程要细心,掌握进率是 关键。 明确摆成不同形状长方体的 长、宽、高分别是多少。 1 立方厘米的小正方体的边长 是 1 厘米。长方体的长、宽、高由 几个小正方体摆成,它的长、宽、 高就分别是几厘米,它的体积正好 等于摆成长方体所需小正方体的 个数。 2

12、. 填写表格。 长 /cm 宽 /cm 高 /cm 小正方体 的个数 体积 /cm 3 长方 体 12111212 长方 体 6211212 长方 体 4311212 长方 体 3221212 3. (1)在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当 于长方体的长 ;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方 体的高。 (2)长方体所含小正方体(体积单位 )的个数正好等 于长方体长、宽、高的乘积。 4. 长方体体积公式的字母表达式。 如果用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示长 方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成 V=abh。 长方体的体积 = 长 宽 高, 字母公式为 V=abh 。

13、5. 拓展提高。 当长方体的长、 宽、高都扩大到原来的n倍时 ,它的 体积就扩大到原来的n 3(n n n=n3)倍;当长方体的长、 宽、高都缩小到原来的时,它的体积就缩小到原来的 。 十、正方体体积公式的推导 1. 长方体的体积 =长 宽 高 正方体的体积 = 棱长 棱长 棱长 2. 正方体体积的字母公式。 如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱 长,那么正方体体积的字母公式可以写成V=a a a=a 3 。 3. 拓展提高。 举例 :如果一个长方体的长、 宽、高都扩大到原来的2 倍 ,那么 它的体积就扩大到原来的2 3 倍,即 8 倍;反之 ,如果一个长方体的长、 宽、高都缩小到原来

14、的,那么它的 体积就缩小到原来的,即 。 aaa也可以写成“a 3”,即 aaa=a 3,读作“ a的立方” ,表示 3 个a相乘。因此 ,正方体的体积公 式一般写成V=a 3。写 a 3 时 ,“3”要 写在a的右上角 ,且要略小一些。 举例 :如果一个正方体的棱长 扩大到原来的2 倍,那么它的体积 就扩大到原来的8 倍;反之 ,如果一 个正方体的棱长缩小到原来的,那 么它的体积就缩小到原来的。 在有些实际问题中,也可以用 “横截面的面积长”来计算体 积。 当正方体的棱长扩大到原来的n倍时 ,它的体积就 扩大到原来的n 3 倍 ;当正方体的棱长缩小到原来的时, 它的体积就缩小到原来的。 十一

15、、运用体积公式解决实际问题 如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具 备,那么可直接利用公式计算体积。 十二、长方体和正方体体积的通用公式 1. 长方体和正方体底面积的意义。 长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面 接触 ,通常把这个面叫作底面。长方体和正方体底面的面 积 , 叫作它们的底面积。 2. 长方体和正方体底面积的计算方法。 (1)长方体的底面积=长宽。 (2)正方体的底面积=棱长 棱长。 3. 长方体和正方体体积公式的推导。 长方体的体积长宽高 底面积高 正方体的体积棱长棱长棱长 底面积可看作高 长方体 (或正 方体 )的体积 =底面积 高 长方体 ( 或正方体 ) 的体积

16、 = 底面积 高。 如果用 V 表示体积 ,S表示底面积 ,h表示高 ,那么长方体 (或正方体 ) 的体积公式可以写成V=Sh。 十三、容积的计算方法 1. 长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的 计算方法相同 ,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公 式求出物体的容积。 2. 体积和容积的区别与联系。 (1)不同点。 意义不同。 . 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 . 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 测量方法不同。 . 求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、 高或棱长。 运用通用公式进行计算时,一 定要注意单位的统一。如一个长方 体的底面积是8 平方厘米 ,高是 3 分米 ,求

17、体积。 错解 :8 3=24 (立方厘米 ) 正解 :3 分米 =30 厘 米,8 30=240 (立方厘米 ) 计算体积从外面测量长、宽、 高;计算容积从里面测量长、宽、 高。有的物体既有体积,也有容积 , 如箱子、油桶、瓶子等。有的物体 有体积 ,却没有容积 ,如石头、木头 这类实心的物体。 既有体积又有容 积的物体 ,它的体积一定大于它的 容积。只有在容器厚度忽略不计的 情况下 ,容积才可以看作与体积相 等。 巧记 : 容积、体积孪兄弟,只是度量 不统一。 容积心中装物体,体积只想占 空间。 容积尺寸从里测,体积尺寸从 外量。 记住二者不同处,计算才能少 失误。 . 求物体的容积是从容器

18、的内部来测量长、宽、 高或棱长。 单位名称不完全相同。 . 体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。 . 容积一般用体积单位,但在计量液体(如药水、 汽 油等 )的体积时 ,常用升或毫升作单位。 (2)相同点。 计算公式相同。长方体(或正方体 )的体积 (或容积 )= 底面积 高。 二分 数 乘 法 一、分数与整数相乘的意义和计算方法 1. 整数乘法的意义。 求几个相同加数的和的简便运算。 2. (1)分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求 几个相同加数的和的简便运算。 (2)分数与整数相乘的计算方法:用分数的分子和整数相 乘的积作分子 , 分母不变。能约分的要先约分 , 再计算。 二

19、、求一个数的几分之几是多少 1. 求一个数的几分之几是多少 , 用乘法计算。 2. 求一个数的几倍与求一个数的几分之几实质上是相 同的 ,它们都表示两个数的倍比关系。只是在用整数或小数表 示这种倍比关系时,要说成一个数是另一个数的几倍,而在用 分数表示时 ,要说成一个数是另一个数的几分之几。如一个数 的 1.5 倍,也可以表示为一个数的。因此 ,求一个数的几倍是 多少与求一个数的几分之几是多少都可以用乘法计算。 三、分数乘分数的意义和计算方法 1. 分数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 2. 分数和分数相乘 , 用分子相乘的积作分子 , 分母相乘的 积作分母。能约分的要先约分 , 再

20、计算。 3. 整数可以看成分母是1 的分数 ,所以分数与整数相乘, 也可以看成是分数与分数相乘,即分数与分数相乘的计算方 法适用于分数与整数相乘。 巧记 : 分数乘整数 ,计算很简单 ; 分子乘整数 ,分母不用变 ; 计算想简便 ,约分要在先 ; 结果要想准 ,分数化最 简。 在解决求一个数的几分 之几是多少的实际问题时,关 键是要弄清哪个量是单位 “1”。 当相乘的两个分数的分 子和分母能够约分时,可以先 约分 ,再计算。 找准每步计算的单位 “ 1” 是解答连续求一个数的几分 之几是多少的实际问题的关 键。 四、连续求一个数的几分之几是多少的解题方法及分数 连乘的计算方法 1. 连续求一个

21、数的几分之几是多少的解题方法:先求出 中间的间接量 ,再求出最后要求的量。 2. 分数连乘的计算方法:分子和分子相乘的积作分子,分 母和分母相乘的积作分母。能约分的要先约分,再计算。 五、积与因数的大小关系 积与因数的大小关系: ab=c(a不为 0),当b1 时,ca;当b1 时 ,ca;当b=1 时,c=a。 六、倒数的意义 1. 意义。 乘积是 1 的两个数互为倒数。 2. 理解“互为倒数”。 “互为倒数”是对两个数来说的,它们是相互依存的,不 能单独说某个数是倒数。 七、求倒数的方法 1. 观察互为倒数的两个数的分子、分母的特点 ,发现互为 倒数的两个数 ,它们分子、分母的位置是互换的

22、。 2. 求一个数的倒数的方法。 (1)求真分数、假分数的倒数 ,可以直接调换这个分数的分 子、分母的位置。 (2)求一个整数 (0 除外 )的倒数 ,先把整数看作分母是1 的 假分数 ,再调换这个分数分子、分母的位置。 (3)求小数的倒数,先把小数化成最简分数,再调换分子、 分母的位置 ,也可以根据倒数的意义来找。 例如 :0.8,所以 0.8 的倒数是,或 0.8 1.25=1 ,所以 0.8 的倒数是1.25 。 (4)求带分数的倒数,先把带分数化成假分数,再调换分 子、分母的位置。 例如 :5,所以 5 的 倒数是。 易错点 :比较积与第一个 因数的大小只考虑按第二个 因数的大小进行判

23、断,这是不 对的 ,一定要注意前提条件是 “第一个因数”不能为0。 单独一个数不能称为倒 数。 因为互为倒数的两个数是 相互依存的。 注意 :互为倒数的两个数 不能用等号连接,即把一个数 和它的倒数不能表示成相等 关系。例如 :求 的倒数。可写 成 或 的倒数是,而不能 写成 = 。 巧记 : 3. 特殊数的倒数。 (1)1 的倒数是 1 。 因为 1 1=1 ,所以 1 的倒数是1。 (2)0 没有倒数。 因为 0 与任何数相乘都得0,没有一个数与0 相乘的积是1,所 以 0 没有倒数。 学习倒数需牢记 , 相互关系不可弃。 两数相乘积为“ 1 ” , 子母颠倒即完毕。 三分 数 除 法 一

24、、分数除以整数和一个数除以分数的计算方法 1. 分数除以整数的计算方法。 (1)整数除法的意义:已知两个因数的积和其中一个因数, 求另一个因数的运算。 (2)分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两 个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。 (3)分数除以整数 ( 0 除外 ), 等于分数乘这个整数的倒数。 2. 整数除以分数的计算方法。 整数除以分数 , 等于整数乘这个分数的倒数。 3. 分数除以分数的计算方法。 分数除以分数,可以用被除数乘除数的倒数来计算。 4. 推导分数除法的计算方法。 (1)利用商不变的规律进行推导。 被除数和除数同时乘除数的倒数,让除数变为1。 (2)利

25、用等式的基本性质进行推导。 5. 分数除法的计算方法。 甲数除以乙数 ( 0 除外 ), 等于甲数乘乙数的倒数。 6. 商与被除数的大小关系。 一个数 (0 除外 )除以 小于的数商大于被除数 商等于被除数 大于的数商小于被除数 二、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题 方法 1. 已知一个数的几分之几是多少,求这个数 ,是把这个数 看作单位“ 1”,单位“ 1”的量是未知的,可以设单位“ 1”的 量为x,根据乘法的意义列方程解答。 2. 可以用算术法解答“已知一个数的几分之几是多少, 求这个数”的应用题。算术解法和方程解法都要根据数量之 间的相等关系来列式。 3. 比较分数乘法应用

26、题与分数除法应用题的异同: 应用题类 型 结构特征 计算方法单位 “1” 比 较 量 比较量 对应 的几分 把除法转化为乘法,是由 一种形式变换成另一种形式, 而其本身的大小不变。 易错点 :在进行计算时,把 除号变为乘号后忘记变为除 数的倒数。如 = = , 应为 = =2。 举例 : = = 1= 被除数 (0 除外 )与商的大 小关系取决于除数与1 的大 小关系。 技巧 : (1)找出单位“ 1”的量。 (2)看谁和单位“ 1”的量 相比 ,找出比较量和比较量对 应的几分之几。 注意 :有时一道题中的单 位“ 1”不止一个 ,有两个或多 个。 一个数量在某一个条件中 是单位“ 1”,在另

27、一个条件中 有可能就不是单位“1”,解题 时要认真比较,找准几分之几 对应的单位“ 1”,才能正确解 之几 求一个 数的几 分之几 是多少 已知 未 知 已知 乘法 :单位 “1” 的量 几分之几 = 比较量 求一个 数是另 一个数 的几分 之几 已知 已 知 未知 除法 :比较 量单位 “1”的量 = 几分之几 已知一 个数的 几分之 几是多 少,求这 个数 未知 已 知 已知 除法 :比较 量几分之 几=单位“1” 的量 方程 :单位 “1” 的量 几分之几 = 比较量 三、分数连除和乘除混合运算 1. 乘除混合运算的计算方法。 计算分数乘除混合运算时,先把其中的除法转化为乘法, 再按照分

28、数连乘的方法进行计算。 2. 连除运算的计算方法。 计算分数连除时 , 先把其中的除法转化为乘法 , 再按照分 数连乘的方法进行计算。 四、比的意义 1. 比的意义及各部分名称。 (1)比的意义 :两个数相除又叫作两个数的比。 (2)比的读、写方法。 “比”可以用比号 “ ”来代替 ,也可以写成分数的形式, 两种形式的比都读“几比几” 。如 3 比 2,写作 32或 ,读作 3 比 2。 (3)比的各部分名称。 (4)比是有序的。 求一个量和另一个量的比,则前一个量是比的前项,后一 答。 巧记 : 解决问题并不难,读懂题 意最关键。 重点找准单位“ 1”,画出 线段破难关。 根据等量列方程,解

29、答完 毕要检验。 注意 :计算分数连除时,一 定要连续地乘除数的倒数,不 要只把第一个除数变成它的 倒数 ,其他除数只变符号不变 数。 (1)两个数的比可以表示 两个数之间的倍数关系。如果 汁有 2 杯,牛奶有 3 杯,果汁与 牛奶杯数的比是2比 3,可以 理解为果汁有2 份,牛奶有 3 份;也可以理解为果汁的杯数 相当于牛奶的,牛奶的杯数 相当于果汁的。 (2)两个数的比可以表示 两个数相除。 举例 :鱼缸里有3 条红金 鱼,5 条黑金鱼 ,黑金鱼和红金 鱼的数量比是( )。 错解 :35 正解 :53 个量是比的后项。 2. 比值的意义和求法。 (1)比值的意义 :比的前项除以后项所得的商

30、。 (2)求比值的方法:用比的前项除以后项。 3. 比和比值的联系与区别。 (1)比和比值的联系:都可以用分数形式表示。 (2)比和比值的区别:比表示两个数的倍比关系,比值是 一个数值 ;比只能写成ab或 的形式 ,而比值可以是分数、 小数或整数。 4. 比与分数、除法的关系。 联系 :比的前项相当于分子、被除数;比号相当于分数线、 除号 ;比的后项相当于分母、除数;比值相当于分数值、商。 区别 :比是一种关系;分数是一类数 ;除法是一种运算。 5. 比与除法、分数之间的区别。 (1)意义不同 :比是表示两个量(或数 )的一种关系 ;除法是 一种运算 ;分数则是一类数。 (2)表示方法不同:作

31、为一种运算 ,除法算式不能用分数表 示;比可以用分数表示;分数不一定表示两个量的比。 (3)结果表达不同:除法一般要求出商;比只有要求计算时 才求出比值 ;分数本身就是一个数值,无需计算。 6. 反比 :把一个比的前项作为后项,后项作为前项,所得的 比和原来的比互成反比。如35 是 53 的反比 ,53 也是 35 的反比。互成反比的两个比的比值互为倒数。 7. 复比 :把两个 (或两个以上 )比的前项相乘的积作为前 项,后项相乘的积作为后项,所成的比叫作这些比的复比。如 甲、乙两人的速度比是34,时间比是 56,那么他们所行的 路程比就是 (35)(46)=5 8 ,路程比就是速度比和时间

32、比的复比。复比的比值等于组成它的各个单比比值的乘积。 8. 连比 :三个 (或三个以上 )量组成的比叫作连比。如果甲 与乙的比是ab,乙与丙的比是bc,那么甲、乙、丙三个量 的比可以写作a bc,a bc就叫作甲、乙、丙三个量的 连比。 可以把几个比组成连比,也可以把连比分成几个比。比 可以看作比的前项除以后项,但是连比不能看作组成连比的 几个数连除。连比与连除的含义是不同的。 五、比的基本性质 1. 比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数 ( 0 除外 ), 比值不 变。这是比的基本性质。 2. 化简比。 比值是一个数 ,它可以是 分数、小数或整数。 注意 :求两个不同单位的 同

33、类量的比 ,要先把单位统 一。 如小明看一本漫画书用了 1 小时 ,小东看同一本漫画书 用了 43分钟 ,小明和小东所用 的时间比是 ( )。 错解 :1 43 正解 :60 43 因为除数和分母都不能为 0 , 所以比的后项也不能为 0 。 知识巧记 : 比的意义很重要,记忆方 法有诀窍。 两数相除即为比,除号变 点挺奇妙。 前项后项和比值,位置顺 序不能调。 分数比 比的前项和后项 同时乘两分数分 母的最小公倍数 小数比 比的前项和后项 的小数点向右移 动相同的位数 整数比 比的前项和后项 同时除以它们的 最大公因数 最 简单的 整数比 化简比的结果是一个比 , 不是一个数。 3. 化简比

34、与求比值的区别: 计算 (化简 ) 依据 方法结果 化 简 比 比的基本 性质 把比的前 项和后项 同时乘或 除以相同 的数 (0 除 外) 是一个最 简单的整 数比 求 比 值 比的意义 用比的前 项除以比 的后项 是一个数 , 可以是分 数、小数或 整数 六、按比分配问题的意义及解题方法 1. 在工农业生产和日常生活中 , 常常需要把一个数量按 照一定的比来进行分配 , 这种分配方法通常叫作按比分配。 2. 按比分配问题的解题方法。 (1)用整数乘、除法解决问题:求出总份数 ;求出每份 是多少 ;求出各部分的数量。 (2)用分数乘法解决问题:先根据比求出总份数;再求 出各部分量占总量的几分

35、之几; 最后求出各部分的数量。 3. 解决按比分配问题时,无论总数分成几部分,解题方法 都是相同的。 分数除法比相联,相互关 系要记牢。 化简比的方法 :可以用求 比值的方法化简比。 判断一个比是不是最简 单的整数比的方法:看这个比 的前项和后项是不是只有公 因数 1。 举例 :化简比 。 错解 : = =3 正解 : = =31 易错点 :误认为化简同类 量的比时只要化为最简整数 比就是正确的。 一定要注意先 统一单位 ,再化简 ,但化简后的 比不能有单位。如化简0.8 L1.4 mL。 错解 :4 L7 mL 正解 :4000 7 解答按比分配的问题时, 一定要找准分配的总量和分 配的份数

36、。 如一个长方形的周 长是 84 厘米 ,长与宽的比是 43,这个长方形的长和宽各 是多少厘米 ? 因为周长是两个长与两 个宽的和 ,所以应该先用周长 84 除以 2 后,再按比分配。 四解决问题的策略 用假设的策略解决实际问题 在解决两个或两个以上的未知数量的问题时,按照一般的 解题思路不易找到正确的解答方法,此时可以采用“假设” 的策略来解决问题。先假设全部为一种量,并从假设后数量 关系的变化情况出发,结合示意图先推算出其中一种量,再 求另一种量。 在保证满足总量的前提下, 也可以假设两种量分别是多少 进行推理。 五分数四则混合运算 一、分数四则混合运算 1. 分数四则混合运算的运算顺序。

37、 (1)分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的 运算顺序相同。 (2)在一个算式里,如果只含有同级运算,要按照从左往右的 顺序进行计算。 (3)在一个算式里,如果含有两级运算,要先算二级运算(乘法 或除法 ),后算一级运算(加法或减法 )。 (4)在一个算式里,如果有括号 ,要先算小括号里面的,再算中 括号里面的 ,最后算中括号外面的。 2. 分数四则混合运算的简便运算。 (1)整数的运算律或运算性质对于分数同样适用。 加法交换律 :a+b=b+a 加法结合律 :(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 :ab=ba 乘法结合律 :(ab)c=a(bc) 乘法分配律 :(a+b)c=

38、ac+bc (2)恰当地运用运算律或运算性质可以使计算简便。 在加减混合运算中,加括号或去括号时要注意括号前面的 符号 ,如果是加号 ,括号里面不变号;如果是减号 ,括号里面加变 减、减变加。 二、用乘法和加、减法解决稍复杂的实际问题 1.已知总量及一个部分量占总量的几分之几,求另一个部 分量时 ,可以列形如a-a或a-的算式解题 (b0)。 2.已知一个量及另一个量比它多(或少 )几分之几 ,求另一个 量时 ,可以列形如a a或a的算式解题 (b0)。 当算式中含有多个二 级运算时 ,二级运算可以同 时运算。如 4+ = + = 举例 :计算 - + 。 错解 :- + =- = 正解 :

39、- + = - - = 找准单位“1” 是关键。 分析问题时 ,先抓住关 键词语 ,如是、 比、多、少、 增加、减少、提高、降低、 扩大、缩小等 ,再根据题意 进行正确解答。 六百分数 一、百分数的意义和读写方法 1. 意义 :一个数是另一个数的百分之几的数 , 叫作百分 数。百分数又叫作百分比或百分率。 2. 百分数通常不写成分数形式,而是在原来的分子后面 加上“ % ”来表示。 3. 百分数的读法:先读百分号 (分母 ),读成“百分之” ;再读 百分号前面的数(分子 ),是几就读几。 4. 分数与百分数的区别: 分数百分数 意 义 分数是把单位 “1”平均分成 若干份 ,表示这 样的一份或

40、几 份的数 ,它既可 以表示两个数 量间的倍比关 系,又可以表示 具体数值 表示一个数是另一 个数的百分之几的 数,叫作百分数。 百 分数又叫作百分比 或百分率。它只表 示两个数量间的倍 比关系 表 现 形 式 分数的表现形 式有真分数、假 分数和带分数 , 计算结果一般 要化成最简分 数 百分数的分母固定 是 100,并且用百分 号表示 ;分子可以 是整数或小数 ;分 子可以大于分母, 也可以小于或等于 分母 ;百分数不能 约分 ,也不能写成 带分数的形式 单 位 名 称 如果表示具体 的数量 ,就要带 单位名称 ;如果 表示两个数量 间的倍比关系 , 就不带单位名 称 百分数只表示两个 数

41、量间的倍比关 系,后面不带单位 名称 应 用 范 围 分数主要是在 测量和计算得 不到整数结果 时使用 百分数主要用于日 常生活中特定的百 分率及调查、 统计、 分析和比较 二、百分数和小数的互化 写“% ”时,两个圈要写得 小些 ,以免与数字“ 0”混淆。 百分数读作 “百分之几” , 不读作“一百分之几”。 注意 :百分数只表示两个 数量间的倍比关系,不能用来 表示具体的数量,后面不带单 位名称。如把千克写成20% 千克是错误的,因为具体的数 量不能用百分数表示。 当小数点向右移动两位 1. 小数改写成百分数 , 把小数点向右移动两位 , 如果位数 不够 , 用“ 0 ”补位 , 同时在后

42、面添上百分号。 2. 百分数改写成小数 , 把百分号去掉 , 同时把小数点向左 移动两位 , 如果位数不够 , 用“ 0 ”补位。 3. 百分数和小数可以互化,这只是从数值上看,在具体运 用时 ,这两者的意义不完全一样,不能互相代替。如一个数的 75% 是 75 不能写成一个数的0.75 是 75。又如“求比68 多 25% 的数”和“求比68 多 0.25 的数”的意义完全不同。这 是因为百分数是表示两个数的倍比关系,而小数表示的是数 值。如比68 多 25% 的数表示为68 (1+25% ),而比 68 多 0.25 的数表示为68+0.25 。 三、百分数和分数的互化 1. 分数改写成百

43、分数 , 一般先把分数改写成小数 ( 除不尽 时 , 一般保留三位小数 ), 再把小数改写成百分数。 2. 把百分数改写成分数时,可以先把百分数改写成分母 是 100 的分数 ,再进行化简 ;分子是小数时,先利用分数的基本 性质把分子、分母同时扩大到原来的若干倍,把分子化成整 数,再进行约分。 3. 能化成有限小数的分数,分母中只含有质因数2 和 5, 否则就不能化成有限小数。判断一个分数能不能改写成有限 小数 ,先要看这个分数是不是最简分数,不是最简分数的,要把 它化成最简分数后再运用这一规律来判断。 四、求一个数是另一个数的百分之几的实际问题 1. 求一个数是另一个数的百分之几的解题方法。

44、 (1)百分数表示一个数是另一个数的百分之几,也就是“一 个数是另一个数的几分之几”的特殊的表示方法,因此 ,求一 个数是另一个数的百分之几的解题方法与求一个数是另一 个数的几分之几的解题方法相同,都用除法计算。 (2)解“求一个数是另一个数的百分之几”的实际问题, 用除法计算 ,用一个数 另一个数 。 (3)求一个数是另一个数的百分之几,必须找准单位 “1” 。 2. 求简单的百分率。 (1)求出勤率等百分率的问题,实际上就是求一个数是另 一个数的百分之几。 (2)常见的百分率。 出勤率 = 实际出勤人数 应出勤人数 100% 成活率 = 成活棵数 种植总棵数 100% 发芽率 = 发芽种子

45、数 试验种子总数 100% 时,得到的数就扩大到原来的 100 倍,再添上百分号,又缩小 到得到的数的,所以当添上 百分号时 ,百分号前的数要扩 大到原来的100 倍。 不是所有的分数都能改 写成分母是100 的分数 ,只有 能改写成有限小数的分数,才 可以改写成分母是100 的分 数。 一个百分数去掉百分号 后,所得到的数就扩大到原来 的 100 倍。 百分数化成分数要 约分成最简分数。百分数、 小 数、分数之间相互转化,只是 数的表示方式发生变化,数的 大小不变。 举例 : 判断 :10 克糖溶解在100 克水中 ,糖占糖水的10% 。 ( ) 错解 : 此题错在单位 “1”(标准 量)找错了。此题中的单位 “ 1” 应该是糖水的总质量,而不是 水的质量。 正解 :? 出勤率是百分率的一种, 公式本身应该用百分数的形 式表示。如果不乘100% ,公式 只是分数形式,乘