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1、 专题七不 等 式 【要点回顾】 1一元二次不等式及其解法 1 定义：形如为关于x的一元二 次不等式 2 一元二次不等式 2 0(0)axbxc或与二次函数 2 (0)yaxbxca及一元 二次方程 2 0axbxc的关系 ( 简称：三个二次) （）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如 下： (1)将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象 如果图象与x轴有两个交点 12 (,0),(,0)xx，此时对应的一元二次方程有两个不相等 的实数根 12,xx( 也可由根的判别式0来判断 ) 则 如果图象与x轴只有一个交点(,0) 2 b a ，此时对应
2、的一元二次方程有两个相等的实 数根 2 2 x b xx a ( 也可由根的判别式0来判断 ) 则： 如果图象与x轴没有交点， 此时对应的一元二次方程没有实数根 ( 也可由根的判别式 0来判断 ) 则： （）解一元二次不等式的步骤是： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根 12 ,x x那么“0”型的 解为 12 xxxx或( 俗称两根之外) ；“0”型的解为 12 xxx( 俗称两根之间 ) ； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成 2 22 4 () 24 bacb axbxca x aa ，结合 完全平方式为非负数的性质求解 2简单分式
3、不等式的解法 解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应 当注意分母不为零. 3含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为axb的形式 1 当0a时，不等式的解为： b x a ； 2 当0a时，不等式的解为： b x a ； 3 当 0a 时，不等式化为： 0 xb； 若0b，则不等式的解是全体实数； 若0b，则不等式无解 【例题选讲】 例 1 解下列不等式：(1) 2 60xx(2) (1)(2)(2)(21)xxxx 解 法 一 ： 原 不 等 式 可 以 化 为 ：(3)(2)0xx， 于 是 ： 30 20 x x 或 30 20 x
4、x 33 22 xx xx 或32xx或所以， 原不等式的解是32xx或 解法二： 解相应的方程 2 60xx得： 12 3,2xx，所以原不等式的解是 32xx或 (2) 解法一 ：原不等式可化为： 2 40xx，即 2 40(4)0xxx x于是： 00 04 4040 xx xx xx 或或，所以原不等式的解是04xx或 解法二： 原不等式可化为： 2 40xx， 即 2 40xx， 解相应方程 2 40xx， 得 12 0 ,4xx，所以原不等式的解是04xx或 说明： 解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的 图象判断出不等式的解 例 2 解下列不等式：
5、(1) 2 280xx(2) 2 440xx(3) 2 20xx 例 3 已知对于任意实数x， 2 2kxxk恒为正数，求实数k的取值范围 例 4 解下列不等式：(1) 23 0 1 x x (2) 1 3 2x 例 5 求关于x的不等式 2 22m xmxm的解 解： 原不等式可化为：(2)2m mxm (1) 当202mm即时，1mx，不等式的解为 1 x m ； (2) 当202mm即时，1mx 02m时，不等式的解为 1 x m ； 0m时，不等式的解为 1 x m ； 0m时，不等式的解为全体实数 (3) 当202mm即时，不等式无解 综上所述：当0m或2m时，不等式的解为 1 x
6、m ；当02m时，不等式的解为 1 x m ；当0m时，不等式的解为全体实数；当2m时，不等式无解 【巩固练习】 1解下列不等式： (1) 2 20xx(2) 2 3180xx (3) 2 31xxx(4) (9)3(3)x xx 2解下列不等式： (1) 1 0 1 x x (2) 31 2 21 x x (3) 2 1 x (4) 2 21 0 21 xx x 3解下列不等式： (1) 22 222xxx(2) 2 111 0 235 xx 4解关于x的不等式(2)1mxm 5已知关于x的不等式 2 0mxxm的解是一切实数，求m的取值范围 6若不等式 2 23 1 xx kk 的解是3x，求k的值 7a取何值时，代数式 2 (1)2(2)2aa的值不小于0？