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1、第一章解三角形 一、选择题 1已知 A，B 两地的距离为10 km，B，C 两地的距离为20 km，现测得 ABC120 ， 则 A， C 两地的距离为 () A 10 km B103 km C105 km D107 km 2在 ABC 中，若 2 cos A a 2 cos B b 2 cos C c ，则 ABC 是() A等腰三角形B等边三角形 C直角三角形D等腰直角三角形 3三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(ab c)( abc) 3ab，则 c 边的对角 等于 () A 15B45C60D120 4在 ABC 中，三个内角A， B， C 所对的边分别为a，b，c，且 a bc1
2、 32，则 sin Asin Bsin C( ) A3 21 B23 1 C123D13 2 5如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值，则 () A A1B1C1和 A2B2C2都是锐角三角形 B A1B1C1和 A2B2C2都是钝角三角形 C A1B1C1是钝角三角形， A2B2C2是锐角三角形 D A1B1C1是锐角三角形， A2B2C2是钝角三角形 6在 ABC 中， a23 ， b22 ， B45 ，则 A 为() A 30 或 150B60C60 或 120D30 7在 ABC 中，关于 x的方程 ( 1x 2)sin A2xsin B ( 1x
3、2) sin C0 有两个不等的实 根，则 A 为() A锐角B直角C钝角D不存在 8在 ABC 中， AB3， BC13 ， AC4，则边 AC 上的高为 () A 2 23 B 2 33 C 2 3 D33 9在 ABC 中， cba cba 333 c2，sin Asin B 4 3 ，则 ABC 一定是 () A等边三角形B等腰三角形 C直角三角形D等腰三角形或直角三角形 10根据下列条件解三角形： B30 ，a 14，b7； B60 ，a10，b9那 么，下面判断正确的是() A只有一解，也只有一解B有两解，也有两解 C有两解，只有一解D只有一解，有两解 二、填空题 11在 ABC
4、中， a， b 分别是 A 和 B 所对的边，若a3 ，b1， B30 ，则 A 的值是 12在 ABC 中，已知sin Bsin Ccos 2 2 A ，则此三角形是_三角形 13已知 a，b，c 是 ABC 中 A， B， C 的对边， S是 ABC 的面积若a4， b5，S53 ，求 c 的长度 14ABC 中， ab10，而 cos C 是方程 2x 23x20 的一个根，求 ABC 周长的 最小值 15在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为a，b，c，且满足sin A sin Bsin C 256若 ABC 的面积为 4 393 ，则 ABC 的周长为 _ 16在 ABC 中
5、， A 最大， C 最小，且 A2C，a c2b，求此三角形三边之 比为 三、解答题 17在 ABC 中，已知 A30 ，a，b 分别为 A， B 的对边，且a4 3 3 b，解 此三角形 18如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的 斜度为 15 ，向山顶前进100 米后到达点B，又从点B 测得斜度为45 ，建筑物的高CD 为 50 米求此山对于地平面的倾斜角 ( 第 18 题) 19在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为a，b，c，若 bcos C( 2ac) cos B， ( ) 求 B 的大小； ( ) 若 b7，ac4，求 ABC 的面积 2
6、0在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，求证： 2 22 c ba C BA sin sin)( 参考答案 一、选择题 1D 解析： AC2AB2BC22ABBCcosABC 10220221020cos 120 700 AC107 2B 解析：由 2 cos A a 2 cos B b 2 cos C c 及正弦定理，得 2 cos sin A A 2 cos sin B B 2 cos sin C C ，由2 倍角 的正弦公式得 2 sin A 2 sin B 2 sin C ， A B C 3C 解析：由 ( a bc)( a bc) 3ab， 得a 2b2c2ab c
7、os C ab cba 2 222 2 1 故 C60 4D 解析：由正弦定理可得abcsin Asin Bsin C13 2 5D 解析： A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则 A1B1C1是锐角三角形 若 A2B2C2不是钝角三角形，由 )( )( )( 112 112 112 2 sincossin 2 sincossin 2 sincossin CCC BBB AAA ，得 12 12 12 2 2 2 CC BB AA ， 那么， A2B2C2 2 3 ( A1B1C1) 2 ，与 A 2B2C2矛盾 所以 A2B2C2是钝角三角形 6C 解析：由 A a sin B b si
8、n ，得 sin A b Basin 22 2 2 32 2 3 ， 而 ba， 有两解，即 A60 或 A120 7A 解析：由方程可得( sin Asin C) x22xsin Bsin Asin C0 方程有两个不等的实根， 4sin2B4( sin2Asin 2 C) 0 由正弦定理 A a sin B b sin C c sin ，代入不等式中得b2a2c20， 再由余弦定理，有2ac cos A b2c2a20 0 A90 8B 解析：由余弦定理得cos A 2 1 ，从而 sin A 2 3 ，则 AC 边上的高BD 2 33 9A 解析：由 cba cba 333 c2 a 3
9、b3c3(abc) c2 a 3 b3 c2( ab) 0 ( a b)( a2b2abc2) 0 ab0， a 2b2c2ab0 ( 1) 由余弦定理 ( 1)式可化为 a 2b2( a2 b2 2abcos C) ab0， 得 cos C 2 1 ， C60 由正弦定理 A a sin B b sin 60sin c ，得 sin A c a60sin ，sin B c b60sin ， sin Asin B 2 2 60sin c ab)( 4 3 ， 2 c ab 1，abc2将 abc2代入 ( 1) 式得， a2 b22ab 0，即 ( ab) 20，ab ABC 是等边三角形 1
10、0D 解析：由正弦定理得sin A b Basin ，中 sin A1，中 sin A 9 35 分析后可知 有一解， A90 ；有两解，A 可为锐角或钝角 二、填空题 1160 或 120 解析：由正弦定理 A a sin B b sin 计算可得sin A 2 3 ， A60 或 120 12等腰 解析：由已知得2sin Bsin C1cos A1cos( BC) ， 即 2sin Bsin C1( cos Bcos Csin Bsin C) ， cos(BC) 1，得 B C， 此三角形是等腰三角形 1321 或61 解： S 2 1 absin C， sin C 2 3 ，于是 C60
11、 或 C120 又 c 2a2b22abcos C， 当 C60 时， c 2a2b2ab，c 21 ； 当 C120 时， c2a2b2 ab，c61 c 的长度为21 或61 14105 3 解析：由余弦定理可得c2a2b2 2abcos C，然后运用函数思想加以处理 2x23x20， x12，x2 2 1 又 cos C 是方程 2x23x20 的一个根， cos C 2 1 由余弦定理可得c 2a2b22ab( 2 1 ) ( ab) 2ab， 则 c 2100a( 10a) ( a5)2 75， 当 a5 时， c 最小，且c75 53 ， 此时 ab c5553 1053 ， AB
12、C 周长的最小值为1053 1513 解析：由正弦定理及sin Asin Bsin C256，可得 abc25 6，于是可 设 a2k，b5k，c6k(k0) ，由余弦定理可得 cos B ab cba 2 222 )(kk kkk 622 25364 222 8 5 ， sin BB 2 cos1 8 39 由面积公式SABC 2 1 ac sin B，得 2 1 ( 2k) ( 6k) 8 39 4 393 ， k1， ABC 的周长为2k5k 6k13k13 本题也可由三角形面积( 海伦公式 ) 得 )6 2 13 )(5 2 13 )(2 2 13 ( 2 13 k k k k k k
13、k 4 393 ， 即 4 393 k 2 4 393 ，k 1 abc13k13 166 54 解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用 由正弦定理得 c a C A sin sin C C sin 2sin 2cos C，即 cos C c a 2 ， 由余弦定理cos C ab cba 2 222 ab bcaca 2 2 )( ac2b， cos C ab ca bcab 2 2 2)( a ca ca 2 2 2)( ， c a 2 a ca ca 2 2 2)( 整理得 2a 25ac3c20 解得 ac 或 a 2 3 c A2C， a c 不成立， a 2 3 c b 2 ca
14、 2 2 3 cc c 4 5 ， abc 2 3 cc 4 5 c654 故此三角形三边之比为654 三、解答题 17b 43 ，c8， C 90 ， B60 或 b43 ，c4， C30 ， B120 解：由正弦定理知 A a sin B b sin30sin 4 Bsin 34 sin B 2 3 ，b43 B 60 或 B120C90 或 C30c 8 或 c 4 18分析：设山对于地平面的倾斜角EAD ，这样可在 ABC 中利用正弦定理求出 BC；再在 BCD 中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出角 解：在 ABC 中， BAC15 ，AB 100 米， ACB45 15
15、 30 根据正弦定理有 30sin 100 15sin BC ， BC 30sin 15sin100 又在 BCD 中，CD50， BC 30sin 15sin100 ， CBD45 ， CDB90 ， 根据正弦定理有 45sin 50 )(90sin 30sin 15sin100 解得 cos3 1，42.94 山对于地平面的倾斜角约为42.94 19解： ( ) 由已知及正弦定理可得sin Bcos C2sin Acos Bcos Bsin C， 2sin Acos Bsin Bcos Ccos Bsin Csin( BC) 又在三角形ABC 中， sin( BC) sin A0， ( 第
16、 18 题) 2sin Acos Bsin A，即 cos B 2 1 ，B 3 ( ) b27a2 c2 2accos B，7a2c2ac， 又 ( a c) 216a2c22ac， ac3，SABC 2 1 acsin B， 即 SABC 2 1 3 2 3 4 33 20分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理 解：由余弦定理a2b2c22bccos A；b2 a2c22accos B 得 a 2b2b2a22bccos A2accos B， 2(a2b2) 2bccos A2accos B， 2 22 c ba c BaAbcoscos 由正弦定理得a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C， 2 22 c ba c BaAbcoscos C ABBA sin cossincossin C BA sin sin)( 故命题成立