2017年中考复习《综合性探究问题》练习及答案.pdf

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1、2017年中考复习综合性探究问题练习 1、 （2016?临沂）如图1， 在正方形ABCD 中， 点E，F分别是边 BC，AB 上的点，且CE=BF 连 接 DE，过点 E 作 EGDE，使 EG=DE ，连接 FG，FC (1)请判断： FG 与 CE 的数量关系是 _，位置关系是_； (2)如图 2，若点 E，F 分别是边CB，BA 延长线上的点，其它条件不变，（ 1）中结论是否 仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图 3，若点 E，F 分别是边BC，AB 延长线上的点，其它条件不变，（ 1）中结论是否 仍然成立？请直接写出你的判断 2、（ 2016?内江）问题引入： (1)如图 ，在

2、 ABC 中，点 O 是ABC 和ACB 平分线的交点，若A= ，则 BOC=_ （用 表示）；如图 ，CBO= ABC ，BCO= ACB ，A= ， 则 BOC=_ （用 表示）拓展研究： (2)如图 ，CBO= DBC ，BCO= ECB ，A= ，请猜想 BOC=_ （用 表示），并说明理由 类比研究： (3)BO、CO 分别是 ABC 的外角 DBC、 ECB 的 n 等分线，它们交于点O，CBO= DBC，BCO= ECB，A=，请猜想 BOC=_ 3、（ 2016?南宁）已知四边形ABCD 是菱形， AB=4 ，ABC=60，EAF 的两边分别与射 线 CB，DC 相交于点E，F

3、，且 EAF=60 (1)如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段AE，EF，AF 之间的数量关系； (2)如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点E 不与 B、C 重合），求证： BE=CF ； (3)如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且EAB=15时，求点 F 到 BC 的距离 4、（2016?眉山）如图，ABC 和BEC均为等腰直角三角形，且 ACB= BEC=90， AC=4 ，点 P为线段BE延长线上一点， 连接CP以CP为直角边向下作等腰直角CPD， 线段 BE 与 CD 相交于点F (1)求证： ； (2)连接 BD ，请你判断AC 与 BD

4、 有什么位置关系？并说明理由； (3)设 PE=x，PBD 的面积为S，求 S与 x 之间的函数关系式 12、 （2016?东营） 如图 1， ABC 是等腰直角三角形， BAC=90，AB=AC ，四边形 ADEF 是正方形，点B、C 分别在边AD 、AF 上，此时BD =CF，BDCF 成立 ( 1)当ABC 绕点 A 逆时针旋转 （0 90 ）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请 证明，若不成立，请说明理由； (2)当ABC 绕点 A 逆时针旋转45 时，如图3，延长 BD 交 CF 于点 H 求证： BD CF； 当 AB=2 ，AD=3 时，求线段DH 的长 5、（ 2016?

5、包头）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中 ACB=90，AC=4 ，BC=3， E、F 分别是 AC、AB 边上点，连接EF (1)图，若将纸片ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处，且使S 四 边形ECBF=3SEDF ， 求 AE 的长； (2)如图，若将纸片ACB 的一角沿 EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使 MFCA 试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； 求 EF 的长； (3)如图 ，若 FE 的延长线与BC 的延长线交于点N，CN=1 ，CE= ，求的值 6、（ 2016?贵港）如图1，在正方形ABCD 内作 EAF=

6、45 ，AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F，连接 EF，过点 A 作 AH EF，垂足为 H (1)如图 2，将 ADF 绕点 A 顺时针旋转90 得到 ABG 求证： AGE AFE； 若 BE=2，DF=3，求 AH 的长 (2)如图 3，连接 BD 交 AE 于点 M，交 AF 于点 N请探究并猜想：线段BM ，MN， ND 之 间有什么数量关系？并说明理由 7、（2016?天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A（4，0），点 B（0，3），把 ABO 绕点 B 逆时针旋转，得ABO ，点 A，O 旋转后的对应点为A ，O ，记旋转角为 (1)如图 ，若 =90 ，求

7、 AA 的长； (2)如图 ，若 =120 ，求点 O 的坐标； (3)在（）的条件下，边OA 上 的一点 P 旋转后的对应点为 P ，当 O P+BP取得最小值时， 求点 P 的坐标（直接写出结果即可） 8、（2016?来宾）如图，在 ABC 中， C=90 ，BAC 的平分线交BC 于点 D，DEAD ， 交 AB 于点 E，AE 为O 的直径 (1)判断 BC 与O 的位置关系，并证明你的结论； (2)求证： ABD DBE ； (3)若 cosB= ，AE=4，求 CD 9、（ 2016?来宾）如图，在矩形ABCD 中， AB=10 ，AD=6 ，点 M 为 AB 上的一动点，将矩 形

8、 ABCD 沿某一直线对折，使点C 与点 M 重合，该直线与AB（或 BC）、 CD（或 DA ） 分别交于点P、Q (1)用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹） (2)如果 PQ 与 AB 、CD 都相交，试判断MPQ 的形状并证明你的结论； (3)设 AM=x ，d 为点 M 到直线PQ 的距离， y=d 2 ， 求 y 关于 x 的函数解析式，并指出x 的取值范围； 当直线 PQ 恰好通过点D 时，求点 M 到直线 PQ 的距离 10、（ 2016?日照）如图1，抛物线y= （ x2） 2+n与 x 轴交于点 A（m2，0）和 B （2m+3，0）（点

9、A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点C，连结 BC (1)求 m、n 的值； (2)如图 2，点 N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN、BN求 NBC 面 积的最大值； (3)如图 3，点 M、P分别为线段BC 和线段 OB 上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的 点 P，使PCM 为等腰三角形， PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 参考答案 1 解：（ 1）如图 ， ABC 与ACB 的平分线相交于点O， OBC= ABC ， OCB= ACB ， OBC+ OCB= （ABC+ ACB ）， 在 OBC 中， BOC=18

10、0 （ OBC+OCB ） =180 （ABC+ ACB ）=180 （ 180 A）=90 + A=90 + ； 如图 ，在 OBC 中， BOC=180 （ OBC+OCB） =180 （ABC+ ACB ）=180 （180 A）=120 + A=120 + ；（ 2） 如图 ，在 OBC 中， BOC=1 80 （ OBC+ OCB ）=180 （ DBC+ ECB） =180 （A+ ACB+ A+ABC ）=180 （A+180 ） =120 ； （ 3）在OBC 中， BOC=180 （ OBC+ OCB ）=180 （DBC+ ECB）=180 （ A+ACB+ A+ABC ）

11、=180 （A+180 ）= 故答案为90 + ，120 + ；120 ； 2.【答案】 （1）证明： BCE 和 CDP 均为等腰直角三角形， ECB=PCD=45 ，CEB= CPD=90 ， BCE DCP， （2）解： AC BD ， 理由： PCE+ECD=BCD+ ECD=45 ， PCE= BCD， 又 ， PCE DCB， CBD= CEP=90 ， ACB=90 ， ACB= CBD， AC BD ； （3）解：如图所示： 作 PM BD 于 M， AC=4 ， ABC 和 BEC 均为等腰直角三角形， BE=CE=4 ， PCE DCB， ，即= ， BD= x， PBM=

12、 CBDCBP=45 ，BP=BE+PE=4+x ， PM= ， PBD 的面积 S= BD?PM= x= x 2+2x （1）解： BD=CF 理由如下：由题意得， CAF= BAD= ， 在 CAF 和BA D 中， ， CAF BAD ， BD=CF ； （2）解： 由（ 1）得 CAF BAD ， CFA= BDA ， FNH= DNA ，DNA+ NAD=90 ， CFA+ FNH=90 ， FHN=90 ，即BDCF； 连接 DF，延长 AB 交 DF 于 M， 四边形 ADEF 是正方形， AD=3 ，AB=2 ， AM=DM=3 ，BM=AM AB=1 ， DB= = ， MA

13、D= MDA=45 ， AMD=90 ，又 DHF=90 ，MDB= HDF， DMB DHF， ，即= ， 解得， DH= 3.（1）解：结论AE=EF=AF 理由：如图1 中 ， 连接 AC， 四边形 ABCD 是菱形， B=60 ， AB=BC=CD=AD，B= D=60 ， ABC ， ADC 是等边三角形， BAC= DAC=60 BE=EC ， BAE= CAE=30 ，AEBC， EAF=60 ， CAF= DAF=30 ， AFCD， AE=AF （菱形的高相等）， AEF 是等边三角形， AE=EF=AF （2）解：证明：如图2 中 ， BAC= EAF=60 ， BAE=

14、CAE ， 在 BAE 和CAF 中， ， BAE CAF ， BE=CF （3）解： 过点 A 作 AG BC 于点 G，过点 F 作 FHEC 于点 H， EAB=15 ，ABC=60 ， AEB=45 ， 在 RTAGB 中， ABC=60 AB=4 ， BG=2 ，AG=2 ， 在 RTAEG 中， AEG= EAG=45 ， AG=GE=2 ， EB=EG BG=2 2， AEB AFC ， AE=AF ，EB=CF=2 2，AEB= AFC=45 ， EAF=60 ，AE=AF ， AEF 是等边三角形， AEF= AFE=60 AEB=45 ，AEF=60 ， CEF= AEF

15、AEB=15 ， 在 RTEFH 中， CEF=15 ， EFH=75 ， AFE=60 ， AFH= EFHAFE=15 ， AFC=45 ，CFH= AFC AFH=30 ， 在 RTCHF 中， CFH=30 ，CF=2 2， FH=CF?cos30 = （2 2）? =3 点 F 到 BC 的距离为3 4（1）解：如图 ， ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在 AB 边上的点 D 处， EFAB， AEF DEF， S AEFSDEF ， S四边形ECBF=3SEDF ， S ABC=4SAEF ， 在 RtABC 中， ACB=90 ，AC=4 ，BC=3 ， AB= =5，

16、 EAF= BAC ， RtAEFRtABC ， =（） 2 ， 即（） 2 = ， AE= ； （2）解： 四边形 AEMF 为菱形理由如下： 如图 ， ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在 AB 边上的点 D 处， AE=EM ，AF=MF ， AFE=MFE ， MF AC ， AEF= MFE， AEF= AFE， AE=AF ， AE=EM=MF=AF， 四边形 AEMF 为菱形； 连结AM 交 EF于点O，如图， 设 AE=x ，则 EM=x ，CE=4x， 四边形 AEMF 为菱形， EM AB ， CME CBA ， ，即= = ，解得 x= ，CM= ， 在 RtAC

17、M 中， AM= = = ， S菱形AEMF= EF?AM=AE?CM ， EF=2 = ； （3）解：如图 ， 作 FHBC 于 H， ECFH， NCE NFH ， CN：NH=CE ：FH，即 1：NH= ：FH， FH：NH=4：7， 设 FH=4x ，NH=7x ，则 CH=7x 1，BH=3 （ 7x1） =47x， FHAC ， BFH BAC ， BH ：BC=FH ：AC ，即（ 47x）： 3=4x：4，解得 x= ， FH=4x= ，BH=4 7x= ， 在RtBFH中，BF= =2， AF=AB BF=52=3， = 5.（1）解： 由旋转的性质可知：AF=AG ，DA

18、F= BAG 四边形 ABCD 为正方形， BAD=90 又 EAF=45 ， BAE+ DAF=45 BAG+ BAE=45 GAE= FAE 在 GAE 和 FAE 中， GAE FAE GAE FAE，ABGE，AH EF， AB=AH ， GE=EF=5 设正方形的边长为x，则 EC=x2，FC=x3 在 RtEFC 中，由勾股定理得：EF2=FC 2+EC2 ， 即（ x2） 2+（x3）2=25 解得： x=6 AB=6 AH=6 （2）解：如图所示：将 ABM 逆时针旋转90 得ADM 四边形 ABCD 为正方形， ABD= ADB=45 由旋转的性质可知：ABM= ADM =4

19、5 ， BE=DM NDM =90 NM 2=ND2+DM 2 EAM =90，EAF=45 ， EAF= FAM =45 在 AMN 和ANM 中， AMN ANM MN=NM 又 BM=DM ， MN 2=ND2+BM2 6.（1）解：如图 ， 点 A（4， 0），点 B（0， 3）， OA=4 ，OB=3， AB= =5， ABO 绕点 B 逆时针旋转90 ，得 ABO ， BA=BA ， ABA =90 ， ABA 为等腰直角三角形， AA = BA=5 （2）解：作O Hy 轴于 H，如图 ， ABO 绕点 B 逆时针旋转120 ，得 ABO ， BO=BO=3 ，OBO =120

20、， HBO =60 ， 在RtBHO 中， BO H=90 HBO =30， BH= BO = ， O H= BH= ， OH=OB+BH=3+ = ， O 点的坐标为（，） （3）解： ABO 绕点 B 逆时针旋转120 ，得 ABO ，点 P 的对应点为 P ， BP=BP ， O P+BP =O P+BP， 作 B 点关于 x 轴的对称点C，连结 O C交 x 轴于 P 点，如图 ， 则 O P+BP=O P+PC=OC，此时 O P+BP的值最小， 点 C 与点 B 关于 x 轴对称， C（0，3）， 设直线 O C的解析式为y=kx+b ， 把 O （，）， C（0， 3）代入得，解

21、得， 直线 O C的解析式为y= x3， 当 y=0 时，x3=0，解得 x= ，则 P（，0）， OP= ， O P=OP= ， 作 PD O H于 D， BO A=BOA=90 ，BO H=30 ， DP O =30， O D= O P= ，PD= O D= ， DH=O H O D= = ， 7.（1）解：结论： BC 与O 相切 证明：如图连接OD OA=OD ， OAD= ODA ， AD 平分 CAB ， CAD= DAB ， CAD= ADO ， AC OD， AC BC， ODBC BC 是 O 的切线 （2）解： BC 是 O 切线， ODB=90 ， BDE+ ODE=90

22、 ， AE 是直径， ADE=90 ， DAE+ AED=90 ， OD=OE， ODE=OED， BDE= DAB ， B=B， ABD DBE （3）解：在RtODB 中， cosB= = ，设 BD=2 k，OB=3k ， OD 2+BD2=OB2 ， 4+8k 2=9k2 ， k=2， BO=6 ，BD=4 ， DOAC ， = ， = ， CD= 8.（1）解：如图1 所示： （2）解： MPQ 是等腰三角形；理由如下： 四边形 ABCD 是矩形， AB CD，CD=AB=10 ， QCO=PMO， 由折叠的性质得：PQ 是 CM 的垂直平分线， CQ=MQ ，OC=OM ， 在 O

23、CQ 和 OMP 中， OCQ OMP（ASA）， CQ=MP ， MP=MQ ， 即 MPQ 是等腰 三角形 （3）解： 作 MN CD 于 N，如图 2 所示： 则 MN=AD=6 ，DN=AM=x ，CN=10x， 在 RtMCN 中，由勾股定理得：CM 2=MN2+CN2 ， 即（ 2d） 2=62+（10x）2 ， 整理得： d2= x 25x+34， 即 y= x25x+34（0x10 ）； 当直线 PQ 恰好通过点D 时，如图 3 所示： 则 Q 与 D 重合， DM=DC=10 ， 在 RtADM 中， AM= =8， BM=10 8=2， CM= = =2 ， d= CM=

24、， 即点 M 到直线 PQ 的距离为 10.抛物线解析式为y= （x 2） 29= x 2+ x+3， 当 x=0 时， y=3，则 C（0，3）， 设直线 BC 的解析式为y=kx+b ， 把 B（5，0）， C（0，3）代入得，解得， 直线BC的解析式为y=x+3， 设 N（x，x 2+ x+3），则 D（ x，x+3）， ND= x 2+ x+3（x+3 ）= x 2+3x， S NBC=SNDC+S NDB= ?5?ND=x 2+ x=（ x） 2+ ， 当 x= 时， NBC 面积最大，最大值为 （3 ）解：存在 B（5，0）， C（0， 3）， BC= = ， 当 PMB=90 ，则 PMC=90 ， PMC 为等腰直角三角形，MP=MC ， 设 PM=t，则 CM=t ，MB= t， MBP= OBC， BMP BOC， = = ，即= = ，解得 t= ，BP= ， OP=OBBP=5= ， 此时 P 点坐标为（，0）； 当 MPB=90 ，则 MP=MC ， 设 PM=t，则 CM=t ，MB= t， MBP= CBO， BMP BCO， = = ，即= = ，解得 t= ，BP= ， OP=OBBP=5 = ， 此时 P 点坐标为（，0）； 综上所述， P 点坐标为（，0）或（， 0）