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1、北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期统一考试 高三年级数学试卷（理工类）20171 （考试时间120 分钟满分 150 分） 本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题 ：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1已知全集 UR ，集合12 x xA，20Bx x，则( ) UA Be A|2 x xB02xx C|02xxD|2 x x 2在复平面内，复数 2 1i 对应的点位于 A第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3下列函数中，既是偶函数，又在区间
2、0,1上单调递增的是 A cosyx B 2 yxC 1 ( ) 2 x yD |sin|yx 4若0a，且1a，则“函数 x ya在R上是减函数”是“函数 3 (2)ya x 在R上 是增函数”的 A 充分而不必要条件B必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 5从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是 A6B8C10D12 6某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为 A 2 2 3 B 4 3 C2D4 1 2 俯视图 正视图 侧视图 1 7 在Rt ABC中 ，90A， 点D是 边BC上 的 动 点 ， 且
3、3AB， 4AC,ADABAC(0,0)，则当取得最大值时 ,AD的值为 A 7 2 B3C 5 2 D 12 5 8某校高三（1）班 32 名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试跳远和掷实心球两 项测试成绩合格的人数分别为26 人和 23 人，这两项成绩都不合格的有3 人，则这两项成绩 都合格的人数是 A23B20C21D19 第二部分（非选择题共 110分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9已知双曲线 22 2 1(0) 4 xy b b 的一条渐近线方程为320xy，则b等于 10已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS 若 1 2a，
4、32aS ， 则 2 a= ， 10 S 11执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为 12在ABC中，已知 45 ,2BACBC，则 C 13设 D 为不等式组 0, 0, +33 xy xy xy 表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点 ( , )A x y ， 则2xy的最大值是 _； 22 xy xy 的取值范围是 14若集合M满足：,x yM，都有,xyM xyM，则称集合M是封闭的 显然， 整数集 Z，有理数集Q都是封闭的对于封闭的集合M （MR） ，f：MM是从 集合M到集合M的一个函数， 如果,x yM都有()( )( )f xyf xfy，就称f是保加法的； 开始 0
5、,1Si 是 否 6?i 输出S 结束 2ii 2SSi 如果,x yM都有()( )( )f xyf xfy，就称f是保乘法的； 如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的 在上述定义下， 集合 3,mn m nQ封闭的 （填“是”或“否” ） ；若函数( )f x 在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数( )=f x 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题满分13 分） 已知函数 2 ( )2 3 sincos2cos1f xxxx （）求( )f x的最小正周期； （）求( )f x在区间, 6
6、4 上的最大值和最小值 16 （本小题满分13 分） 甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的若干 次测试成绩中随机抽取8 次，记录如下： 甲： 82 81 79 78 95 88 93 84 乙： 92 95 80 75 83 80 90 85 （）用茎叶图表示这两组数据； （）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同 学参加较为合适？并说明理由； （）若对甲同学在今后的3 次测试成绩进行预测，记这3 次成绩中高于80 分的次数 为（将甲 8 次成绩中高于80 分的频率视为概率） ， 求的分布列及数学期望E 17 （本小题满分14 分）
7、 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形， 且/,AFBE ABBE平面ABCD平面 ,ABEFAB 22ABBEAF . （）求证：/AC平面DEF； （）若二面角DABE为直二面角， （i）求直线AC与平面CDE所成角的大小； （ii）棱DE上是否存在点P，使得BP平面DEF? F A D C B E 若存在，求出 DP DE 的值；若不存在，请说明理由 18 （本小题满分13 分） 已知椭圆 22 :1 32 xy C上的动点P与其顶点(3,0)A,( 3,0)B不重合 （）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值； （）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当
8、/OMPA,/ON PB时，求OMN的 面积 19（本小题满分14 分） 设函数 2 ( )ln(1)1f xxaxx， 2 ( )(1)e x g xxax ，Ra （）当1a时，求函数( )f x在点(2,(2)f处的切线方程； （）若函数( )g x有两个零点，试求a的取值范围； （）证明( )( )f xg x 20 （本小题满分13 分） 设(3)m,nmn是 正 整 数 ， 数 列: m A 12m a ,a ,aL， 其 中(1) i aim是 集 合 1 2 3, , ,nL中 互 不 相 同 的 元 素 若 数 列 m A满 足 ： 只 要 存 在1i, jijm（）使 ij
9、 aan，总存在1kkm（）有 ijk aaa，则称数列 m A是“好数列” （）当6100m,n时， （）若数列 6:11 78 97 90A,x, y,是一个“好数列” ，试写出x,y的值，并判断数 列：11 78 9097,x,y是否是一个“好数列”？ （）若数列 6 :11 78A,a,b,c,d是“好数列” ，且abcd，求a,b,c,d共有 多少种不同的取值？ （）若数列 m A是“好数列” ，且m是偶数，证明： 12 1 2 m aaan m L 北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期高三年级统一考试 数学答案（理工类）20171 一、选择题： （满分 40 分） 题号
10、1 2 3 4 5 6 7 8 答案B D D A C BC B 二、填空题： （满分 30 分） 题号9 10 11 12 13 14 答案3 4, 110 30105 9 4 ，2,0是， ( ),f xx xQ （注：两空的填空，第一空3 分，第二空2 分） 三、解答题： （满分 80 分） 15 （本小题满分13 分） 解： （）因为 2 ( )2 3sincos2cos1f xxxx xx2cos2sin3 2sin(2) 6 x 所以)(xf的最小正周期为7 分 （）因为 2 ,2. 64663 xx所以 - 当2, 626 xx即时，)(xf取得最大值2； 当2,( ) 666
11、xxf x即时取得最小值113 分 16 （本小题满分13 分） 解： （）作出茎叶图如下： 4 分 （）派甲参赛比较合适理由如下： 1 x7028049028912483585 8 甲 ， 1 x7018049035003502585 8 乙 ， 甲乙 98 8421 53 5 0035 025 7 8 9 22222 21 s78857985818582858485 8 甲 222 88859385958535.5， 22222 21 s7 58 58 08 58 08 58 38 58 58 5 8 乙 222 90859285958541. 因为x甲x乙， 22 ss乙 甲 ， 所以，
12、甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适8 分 注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他 合理回答，同样给分如 派乙参赛比较合适理由如下： 从统计的角度看，甲获得85 分以上（含85 分）的频率为 1 3 8 f， 乙获得 85 分以上（含85 分）的频率为 2 41 82 f 因为 21 ff ，所以派乙参赛比较合适 （）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80 分”为事件A， 63 A 84 P9 分 随机变量的可能取值为0，1，2，3，且 3 (3,) 4 B 3 3 31 C 44 kk k Pk， k0 ,1, 2, 3 所以变量的分布列为： 0 1 2 3 P
13、1 64 9 64 27 64 27 64 11 分 1927279 0123 646464644 （或 39 3. 44 nP）13 分 17 （本小题满分14 分） 证明： （）连结BD，设ACBDO， 因为四边形 ABCD为正方形， 所以O为BD中点 设G为DE的中点，连结,OG FG， 则/OGBE，且 1 2 OGBE 由已知/AF BE，且 1 2 AFBE， 所以/,AFOG OGAF 所以四边形AOGF为平行四边形 所以/AOFG，即/ACFG 因为AC平面 DEF ，FG平面DEF， 所以AC/平面DEF5 分 （）由已知，/,AFBE ABBE， 所以AFAB 因为二面角D
14、ABE为直二面角， 所以平面ABCD平面ABEF 所以AF平面ABCD， 所以,AFAD AFAB 四边形ABCD为正方形，所以ABAD 所以,AD AB AF两两垂直 以A为原点，,AD AB AF分别为, ,x y z轴建立空间直 角坐标系（如图） 因为22ABBEAF， 所以(0 0 0),(0, 2,0),(2, 2,0),(2 0 0),(0, 2,2),(0,0,1)ABCDEF， 所以(2, 2,0),(0,2,0),( 2,0, 2)ACCDCE （i）设平面CDE的一个法向量为( , , )x y zn， F A D C B E O G x y z P F A D C B E
15、 由 0, 0 CD CE n n 得 20, 220. y xz 即 0, 0. y xz 取1x，得(1,0,1)n 设直线AC与平面CDE所成角为， 则 21 sincos, 22 22 AC n， 因为090，所以30 即直线AC与平面CDE所成角的大小为309 分 （ii ）假设棱DE上存在点P，使得BP平面DEF 设(01) DP DE ，则DPDE 设( , , )P x y z，则(2, )DPxy z， 因为( 2,2,2)DE，所以(2, , )( 2,2,2)xy z 所以22 ,2 ,2xyz，所以P点坐标为(22 ,2,2) 因为(0,2,0)B，所以(22 ,22,
16、2 )BP 又( 2,0,1),(0,2, 1)DFEF，所以 2(22 )20, 2(22)20. BP DF BP EF 解得 2 3 因为 2 0,1 3 ，所以DE上存在点P，使得BP平面DEF，且 2 3 DP DE （另解）假设棱DE上存在点P，使得BP平面DEF 设(01) DP DE ，则DPDE 设( , , )P x y z，则(2, )DPxy z， 因为( 2,2,2)DE，所以(2, , )( 2,2,2)xy z 所以22 ,2 ,2xyz，所以P点坐标为(22 ,2,2) 因为(0,2,0)B，所以(22 ,22,2 )BP 设平面DEF的一个法向量为 000 (
17、,)xyzm， 则 0, 0 m DF m EF 由( 2,0,1),(0,2, 1)DFEF， 得 00 00 20, 20. xz yz 取 01x，得(1, 1,2)m 由mBP，即(22 ,22,2)(1, 1,2)， 可得 22, 22, 22 . 解得 2 3 因为 2 0,1 3 ，所以DE上存在点P，使得BP平面DEF，且 2 3 DP DE 14 分 18 （本小题满分13 分） 解： （）设 00 (,)P xy，则 22 00 1 32 xy 所以直线PA与PB的斜率乘积为 22 0000 22 0000 622 33(3)3 33 yyyx xx xx 4 分 （）依题
18、直线,OM ON的斜率乘积为 2 3 当直线MN的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为 6 3 ，设直线OM的方程 是 6 3 yx，由 22 236, 6 , 3 xy yx 得 6 2 x，1y 取 6 (,1) 2 M，则 6 (, 1) 2 N所以OMN的面积为 6 2 当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程是ykxm, 由 22 , 2360 ykxm xy 得 222 (32)6360kxkmxm 因为M，N在椭圆C上， 所以 2222 364(32)(36)0k mkm，解得 22 320km 设 11 (,)Mx y, 22 (,)N xy,则 12 2 6 32 km x
19、x k ， 2 122 36 32 m x x k 2 2222 1212 22 636 (1)()4(1)()4 3232 kmm MNkxxx xk kk 222 22 6(1)(32) 2 (32) kkm k 设点O到直线MN的距离为d，则 2 1 m d k 所以OMN的面积为 222 22 16(32) 2(32) OMN mkm SdMN k 因为/OMPA,/ON PB，直线OM,ON的斜率乘积为 2 3 ，所以 12 12 2 3 y y x x 所以 22 12121212 121212 ()()()y ykxm kxmk x xkm xxm x xx xx x 22 2
20、26 36 mk m 由 22 2 262 363 mk m ，得 22 322km 由，得 222222 224 6(32)6(2)6 (32)42 OMN mkmmmm S km 综上所述， 6 2 OMN S 13 分 19 （本小题满分14 分） 解： （）函数( )f x的定义域是(1,)， (221) ( ) 1 xaxa fx x 当1a时，(2)426fa，(2)437fa 所以函数( )f x在点(2,(2)f处的切线方程为76(2)yx 即65yx4 分 （）函数( )g x的定义域为R，由已知得( )(e2 ) x g xxa 当0a时，函数( )(1)e x g xx只
21、有一个零点； 当0a，因为e20 x a， 当(,0)x时，( )0g x；当(0,)x时，( )0gx 所以函数( )g x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增 又(0)1g，(1)ga， 因为0x，所以10,1 x xe，所以(1)1 x exx，所以 2 ( )1g xaxx 取 0 114 2 a x a ，显然 0 0x且 0 ()0g x 所以(0)(1)0gg， 0 () (0)0g xg 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点 当0a时，由( )(e2 )0 x g xxa ，得0x，或 ln( 2 )xa )当 1 2 a，则ln( 2 )0a 当x变化时，(
22、 ),( )g x g x变化情况如下表： x(,0) 0 (0,ln(2 )aln( 2 )a(ln(2 ),)a ( )g x+ 00+ ( )g x 1 注意到(0)1g，所以函数( )g x至多有一个零点，不符合题意 )当 1 2 a，则ln( 2 )0a，( )g x在(,)单调递增， 函数( )g x至多有一个零点， 不符合题意 若 1 2 a，则ln( 2 )0a 当x变化时，( ),( )g x g x变化情况如下表： x(,ln(2 )aln( 2 )a(ln(2 ),0)a 0 (0,) ( )g x + 00+ ( )g x 1 注意到当0,0xa时， 2 ( )(1)e
23、0 x g xxax，(0)1g，所以函数( )g x至多 有一个零点，不符合题意 综上，a的取值范围是(0,).9 分 （）证明：( )( )(1)eln(1)1 x g xf xxxx 设( )(1)eln(1)1 x h xxxx，其定义域为(1,)，则证明( )0h x即可 因为 1 ( )e(e) 11 xx x h xxx xx ，取 3 1 1ex，则 1 3 11 ()(ee )0 x h xx，且 (2)0h 又因为 2 1 ( )(1)e0 (1) x hxx x ，所以函数( )h x在(1,)上单增 所以( )0h x有唯一的实根 0 (1,2)x，且 0 0 1 e
24、1 x x 当 0 1xx时，( )0h x；当 0 xx时，( )0h x 所以函数( )h x的最小值为 0 ()h x 所以 0 0000( )()(1)eln(1)1 x h xh xxxx 00 110xx 所以( )( ).f xg x14 分 20 （本小题13 分） 解： （）（）89100x,y，或10089x,y； 数列：11 78 9097,x,y也是一个“好数列” 3 分 （）由（）可知，数列必含89100,两项， 若剩下两项从90 9199,L中任取，则都符合条件，有 2 10 45C种； 若剩下两项从79 8088,L中任取一个，则另一项必对应90 9199,L中的
25、一个， 有10种； 若取6877a，则79 1188a，902299a， “好数列”必超过6项，不 符合； 若取 67a ，则 6 1178aA，另一项可从90 9199,L中任取一个，有10种； 若取5667a，则67 1178a，782289a， “好数列”必超过6项，不 符合； 若取56a，则67b，符合条件， 若取56a，则易知“好数列”必超过6项，不符合； 综上，a,b,c,d共有 66 种不同的取值7 分 （）证明：由（）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列” 又“好数列” 12m a ,a ,aL各项互不相同，所以，不妨设 12m aaaL 把数列配对： 121 1 22 mmmm aa ,aa,aaL， 只要证明每一对和数都不小于1n即可 用反证法，假设存在1 2 m j，使 1jmj aan， 因为数列单调递增，所以 111211mjmjmjjmj aaaaaaanL， 又因为“好数列” ，故存在1km，使得 1 (1) imjk aaaij， 显然 1 kmj aa，故1kmj， 所以 k a只有1j个不同取值， 而 1imj aa有j 个不同取值，矛盾 所以， 121 1 22 mmmm aa ,aa,aaL每一对和数都不小于1n， 故 12 (1) 2 m m aaanL，即 12 1 2 m aaan m L 13 分