21北京四中---高中数学高考综合复习专题二十一椭圆与双曲线.pdf

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1、高中数学高考综合复习专题二十一椭圆与双曲线 一、知识网络 二、高考考点 1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质； 2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求； 3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等； 4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题； 5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题； 6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。 三、知识要点 (一)椭圆 定义与推论 1、定义 1 的的认知 设 M 为椭圆上任意一点，分别为椭圆两焦点，分别为椭圆长轴端点，则有 （ 1）明朗的等量关系：（解决双焦点半径问题的首选公式） （ 2）隐蔽的不等关

2、系：， （寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据） 2、定义 2 的推论 根据椭圆第二定义，设为椭圆上任意一点，分别为椭圆左、右焦点， 则有： （d1为点 M 到左准线 l1的距离） （d2为点 M 到右准线l2的距离） 由此导出椭圆的焦点半径公式： 标准方程与几何性质 1、椭圆的标准方程 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆标准方程 中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆标准方程 （ 1）标准方程、中的a、b、 c 具有相同的意义与相同的联系： （ 2）标准方程、统一形式： 2、椭圆的几何性质 （ 1）范围：（有界曲线） （ 2）对称性：关于x 轴、 y 轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）

3、（3）顶点与轴长：顶点，长轴 2a，短轴 2b（由此赋予a、b 名称与几何意义） （ 4）离心率：刻画椭圆的扁平程度 （ 5） 准线：左焦点对应的左准线 右焦点对应的右准线 椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为； 中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为. 挖掘与引申 1、具特殊联系的椭圆的方程 （ 1）共焦距的椭圆的方程 且 （ 2）同离心率的椭圆的方程 且 2、弦长公式： 设斜率为k 的直线 l 与椭圆交于不同两点， 则； 或。 （二）双曲线 、定义与推论 1定义 1 的认知 设 M 为双曲线上任意一点，分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端点，则有： （ 1）明朗的等量关系：

4、（解决双焦点半径问题的首选公式） （ 2）隐蔽的不等关系：， （寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据） 2定义 2 的推论 设为双曲线上任意上点，分别为双曲线左、右焦点，则有 ，其中，为焦点到相应准线li的距离 推论：焦点半径公式 当点 M 在双曲线右支上时，； 当点 M 在双曲线左支上时，。 、标准方程与几何性质 3双曲线的标准方程 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线标准方程为 中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 （ 1）标准方程、中的a、b、 c 具有相同的意义与相同的联系： （ 2）标准方程、的统一形式： 或： （ 3）椭圆与双曲线标准方程的统一形式： 4双曲线的几何性质

5、 （ 1）范围： （ 2）对称性：关于x 轴、 y 轴及原点对称（两轴一中心） （ 3）顶点与轴长：顶点 （由此赋予a,b 名称与几何意义） （ 4）离心率： （ 5） 准线：左焦点对应的左准线；右焦点对应的右准线 双曲线共性：准线垂直于实轴；两准线间距离为； 中心到准线的距离为； 焦点到相应准线的距离为 （ 6）渐近线：双曲线的渐近线方程： 、挖掘与延伸 1具有特殊联系的双曲线的方程 对于双曲线（） （ 1）当 + 为定值时，（）为共焦点的双曲线（系）方程：c2= +; （ 2）当为定值时，（）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程：； （ 3）以直线为渐近线的双曲线（系）方程为： 特别：

6、与双曲线共渐近线的双曲线的方程为：（左边相同，区别仅在 于右边的常数） 2弦长公式 设斜率为k 的直线 l 与双曲线交于不同两点 则 经典例题 1、 （ 1）若椭圆的一个焦点是（-2，0），则 a 等于。 （ 2）已知椭圆的焦点为F1、F2，点 P 是其上的动点，当为钝角时，点P 的横坐标的取值范 围为。 分析： （ 1）从此椭圆的标准方程切入。 由题设知已知得： 这里 由此解得 （ 2）这里 a=3, b=2, c= 以线段F1F2为直径的圆的方程为 设，则由点P 在椭圆上得： 又由为钝角得： 由、联立，解得： 所求点 P 横坐标的取值范围为 点评：注意到点P 对的大小的影响可用点P 与圆相

7、对位置关系来反映，故选择这一解法。当 然，本题亦可由推出的范围，请同学们尝试和比较。 2、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于P、Q 两点， 且，求椭圆的离心率。 分析：不防设椭圆方程为，为等腰直角三角形，注意到这一三角形含有点P、 Q 处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。 解：设椭圆方程为 设，则由为等腰得： 又由椭圆第一定义得 的周长为4a 即 注意到为， 即 因此，代入 得 由此解得 点评：这里对条件运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出，第二项用于导出；两次运用条 件：第一次利用为等腰表示出， 第二次利用为导出 。 充分利用题设条件， 也是解题成功的保障之一

8、。 3、已知双曲线的左、右两个焦点为，P 为双曲线上的点，又，成 等比数列且，求双曲线方程。 分析：这里要求b 的值。注意到，为了求 b，首先需要从题设条件入手寻找关于b 的方程或不等式。由题设 得，为便于将其设为关于b 的方程，考虑推导并利用双曲线的焦点半径公式。因此，解题便以判定点 P 位置拉开序幕。 解：这里（4 的特殊性） ，即， 点 P在双曲线右支上 设点，则由双曲线第二定义以及点P 在双曲线右支上得 又由题设得 代入得 再注意到由得 ， 即 于是、得 而，所以由得b=1 因此，所求双曲线方程为： 点评：这里对已知条件的两次运用：第一次“ 粗” 用，利用4=2a 的特殊性判定点P 在

9、双曲线右支上；第二 次“ 细” 用，利用（将 4 作为一般正数）导出点P横坐标存在的范围：。粗细结合，将已知条件运用得 酣畅淋漓。 4、设椭圆的焦点为，P 为椭圆上一点，的最大值为。 （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）设直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且直线l 与圆心在原点，半径等于b 的圆相切，已知线段MN 长度的最小值 为 4，求椭圆方程和直线l 的方程。 分析：中的最大值为的最小值为，循着特殊与一般相互依存的辩证 关系，想到从在中运用余弦定理推导的最小值切入。 解： （ 1）设=， 则在中由余弦定理得 即 的最小值为 又由题设知的最大值，即的最小值为 即a=2b （ 2）由已知椭圆方程

10、为 由题设知直线l 不垂直于x 轴 设直线 l 的方程为 设 则由直线l 与圆相切得： 将代入得： 代入得 直线 l 与椭圆相交于不同两点 又由韦达定理得：， （ 当且仅当，即时等号成立） 的最小值为2b（当时取得） 由题设得（此时） a=2b=4 进而由得，即 因此，由、得所求椭圆方程为， 直线 l 的方程为或 点评：这里导出的式为此类问题的共同基础：设 P 为椭圆上任意一点， 则最小值为 据此若的最大值为，则（即）； 若的最大值为，则（即）； 若的最大值为，则（即）。 5、已知斜率为1 的直线 l 与离心率为的双曲线交于 P、Q 两点，又直线l 与 y 轴 交于点 R，且，求直线和双曲线方

11、程。 分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认知已知条件，进而根据问题的具体情况进行推理或转化。 解：由得， 双曲线方程为 设，直线 l 的方程为 将代入得 对于方程，恒成立 由韦达定理得 即 由此得 又由题设得，故得 由、联立解得 将代入得 再注意到得 将、代入得 解得， 因此，由，得所求双曲线方程为， 所求直线方程为 点评： （）关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。于是，围 绕着对交点坐标的“ 解” 与“ 设” 的应用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“ 既设又解 ” 与“ 不设不解 ” 。在这里， 我们对交点P、Q 的坐标运

12、用的是“ 既设又解 ” ，请同学们注意品悟这里“ 解” 的分寸的把握。 （）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论： 已知式（） 转化 代入 结论； 已知式（）转化 代入 结论。 同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。 6、已知， （ 1）求点 P（x，y）的轨迹C 的轨迹方程； （ 2）若直线与曲线 C 交于 A、B 两点， D（0，-1），且有，试求 m 的取值范 围。 分析： 对于（ 1），从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理； 对于（ 2），此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。 解： （ 1）由已知得， 由得 ， 得 所求点

13、 P 的轨迹 C 的方程为： （ 2）设，弦 AB 的中点， 则将 l 的方程代入得 由题意得 且 即圆点 M 的坐标为 注意到 点 D 在弦 AB 的垂直平分线上 （， 且） ， 且） 于是将代入得或 此时再注意到由得 （关于 k 的二次函数隐含范围的发掘） 于是由、所求m 的取值范围 点评： （ 1）认知已知条件，这时将其向基本的弦长或弦中点问题转化，这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的 基本策略之一； （ 2）注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的值域的发掘与运用：在这里， 为 k 的二次函数，又由这里，故。因此可解关于k 的二次函数m 的取值范围： 。这是本题导出

14、正确结果的最后的屏障，不认知这一些，便会导出的错误结果。 五、高考真题： （一）选择题 1. （2004 全国卷） 椭圆的两个焦点为，过作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P， 则=（） A. B. C. D. 4 分析：由已知 不防设点P 在 x 轴正方，则以代入椭圆方程得，故得点， 从而，故选 C。 2.（2005 江苏卷） 点 P（-3，1）在椭圆（ ab0）的左准线上，过点P 且方向为的光线 经过直线y=-2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 分析：运用入射光线与反射光线的物理性质，刻意运用入射光线与反射光线的性质与联系。 点 P（-3，

15、1）关于直线y=-2 的对称点为 左焦点 又方向为的直线的斜率为， 设入射光线与直线y=-2 的交点为 M ，则由入射光线与反射光线倾斜角之间的关系得 ， 解得： c=1. 再由点 P（-3，1）在左准线上得， ，应选 A。 3.（2005 重庆卷） 若动点（ x，y）在曲线（b0）上变化，则的最大值为（） A. B. C. D. 2b 分析：注意到曲线方程二次方程，故考虑向二次函数的最值问题转化。 由得 设，则 又由中得，且的对称轴为 （ 1）当，即时，； （ 2）当，即时， 于是由（ 1）、（ 2）知应选A。 4.（2005 山东卷） 设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，

16、P 为椭圆上的动点，则使的面积为的点 P 的个数为（） A. 1B. 2C. 3D. 4 分析：的方程为，且易知的下方有两个满足题设条 件的点。 以下考察直线上方是否存在满足题设的点P 设在上方且与椭圆相切于点P 的直线的方程为， 将它与椭圆方程联立，消去y 得 由 =0 得：， 取 与之间的距离 ， 直线上方不存在满足题设的点P 于是由，知应选B。 点评：运用数形结合的方法，解题过程变得简捷。 5. （2005 湖南卷） 已知双曲线的右焦点为F， 右准线与一条渐近线交于点A，的 面积为（O 为原点），则两条渐近线的夹角为（） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 分析：首先着眼于寻

17、找a，b 的联系，由题设知F（c，0），右准线方程为，并且取点， 则， a=b， 双曲线为等轴双曲线，两渐近线夹角为90 ， 应选 D。 6.（2005 全国卷II ）已知双曲线的焦点为，点 M 在双曲线上，且轴，则到 直线的距离为（） A. B. C. D. 分析：立足于计算与推理，由已知得： 轴，代入椭圆方程得 ， 即 当点到直线的距离为h，则由 得， 应选 C。 点评：这里线段为半正焦弦，故，利用它更为方便。 7.（2005 全国卷III ）已知双曲线的焦点为，点 M 在双曲线上且，则点 M 到 x 轴的距离为（） A. B.C.D. 分析：由已知得， ， 由，得 设所求距离为h， 于是

18、由得，故选 C。 8. （2005 福建卷）已知是双曲线的两个焦点， 以线段为边作正， 若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（） A. B. C. D. 分析：从认知的特性切入，寻找关于a，c 的等式（或方程） 为正三角形，点 M 在 y 轴上 设边的中点为P，连结，得， ， ， 又由题设知点P 在双曲线左支上， 代入得 ，应选 D。 （二）填空题 1.（2005 上海卷） 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线方程为 。 分析：由题设得：， 由得， 所求双曲线方程为 2.（2005 山东卷） 设双曲线的右焦点为F，右准线 l 与两条渐近线交于P、Q 两点， 如果为，则双曲线的离

19、心率为。 分析：设右准线l 与 x 轴交于点R，则， 又 由此解得a=b，故得 3.（2005 浙江卷） 过双曲线的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，以 MN 为直径的圆恰好经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于。 分析：设左焦点为，右顶点为A， 则由题意得（） 注意到 MN 为双曲线的正焦弦，故 由（）得 由此解得e=2。 4.（2005 江西卷） 以下四个关于圆锥曲线的命题中 设 A、B 是两个定点，k 为非零常数，若，则动点P 的轨道为双曲线； 过定圆C 上的一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若，则动点 P 的轨迹为椭圆； 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线

20、的离心率； 双曲线与椭圆有相同的焦点。 其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）。 分析：对各命题依次辩析，由双曲线定义知，中点P 轨迹是双曲线一支；对于，点P 轨迹是椭圆上除去点A 的 曲线； 对于， 方程两根分别为和 2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；对于， 可知是真命题，综上可知应填、 。 （三）解答题 1.（2005 上海卷） 如图，点 A、B 分别是椭圆长轴的左、 右端点， 点 F 为椭圆右焦点，点 P 在椭圆上， 且位于 x 轴上方， （ 1）求点 P 坐标； （ 2）设 M 是椭圆长轴AB 上一点， M 到直线 AP 的距离等于，求椭圆上的点到点M 的距离 d 的最小值。 分

21、析：从设点P 坐标切入，解题运用向量垂直的充要条件 列方程，以解出点P 坐标。 解： （ 1）这里， ， 设点， 则， 由得 又点 P 在椭圆上 将、联立，消去y 得 或 注意到y0，故，从而 点 P坐标为 （ 2）由（ 1）知，直线AP 的方程为 设，则点 M 到直线 AP 的距离为， 由已知得 又，解得m=2，即 又设椭圆上的到点 M 的距离为d，则 ，当时， d 取得最小值 点评：将转化为，从而使解题辟出另一途径。 2. （2005 浙江卷） 如图，已知椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上， 长轴的长为 4，左准线l 与 x 轴的交点为M ，。 （ 1）求椭圆方程； （ 2）若直线，P 为上

22、的动点，使最大 的点 P 记为 Q，求点 Q 的坐标（用m 表示） 分析： （ 1）以设椭圆标准方程切入； （ 2）从设点P 坐标切入，易知为锐角或零角，故从求的最大值突破。 解： （ 1）设椭圆方程为： ， 则， 由题意得， 解得 a=2， c=1 所求椭圆方程为 （ 2）设； （）当时，； （）当时， 为锐角 只需求出的最大值 由题意，直线的斜率， 直线的斜率 当且仅当即时等号成立。 的最大值为（当且仅当时取得） 注意到正切函数在内为增函数 当且仅当时，取得最大值 此时点 Q 坐标为 点评： 欲求的最大值，当为锐角时， 可转化为求的最大值。 因此， 欲求的 最大值，在进入实质性计算之前，要

23、首先考察的范围，以决定这一转化是否适当。 3. （2005 湖南卷）已知椭圆的左、右焦点分别为， 离心率为e， 直线 与 x 轴、 y 轴分别交于A、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P是点关于直线 l 的对称点，设。 （ 1）证明：； （ 2）确定的值，使得是等腰三角形。 分析： （ 1）从得出点A、B、M 的坐标切入，利用两向量相等的充要条件求解； （ 2）由题设知， l 为线段的垂直平分线，利用这一特性来判定的特殊性或必然性，为钝角 （可从图形受到启发），故只有一种情况。由这一等式入手并将其演变为关于e 的方程，则解题便胜利在 望了。 解： （ 1）证：由题设易得， 由解得

24、点 M 坐标为 ， 由得 故得 由此解得 （ 2）解：由题设知，直线l 为线段的垂直平分线。 由知为钝角 为等腰三角形必有 即 注意表示点到 l 的距离，所以 设点到 l 的距离为 d，则 即 由此解得 由（ 1）的结果得 即当时，为等腰三角形。 点评：充分利用本题特殊性，导出为等腰三角形，必有且只得，从而使解题避免了解点P （或点 M ）坐标的运算，简捷明快。 4.（2005 辽宁卷） 已知椭圆的左、右焦点分别为，Q 是椭圆外的动 点，满足， 点 P是线段与该椭圆的交点， 点 T 在线段上，并且满足，。 （ 1）设 x 为点 P 的横坐标，证明：； （ 2）求点 T 的轨迹 C 的方程； （

25、 3）试问：在点T 的轨迹 C 上，是否存在点M，使的面积若存在，求的正切值；若 不存在，请说明理由。 分析： （ 1）要证，即证 由此想到利用椭圆第二定义。 （ 2）设，又， 故想到由入手认知点Q 运动规律。 （ 3）从设存在点切入，导出的充要条件后再借助向量的运算考察边角关系。 解： （ 1）设点，又椭圆左准线方程为， 由椭圆第二定义得 ， 由，得。 （ 2）设点 T 坐标为（ x，y）， 当时，点（ a， 0）和点（ -a，0）在轨迹上。 当且时，由得 又， 由、知T 为线段的中点。 在中， 于是由， 综上，点T 的轨迹 C 的方程为. （ 3）解：注意到轨迹C 上存在点使的充要条件为 当时，存在点M 使； 当时，不存在满足条件的点M 又当时， 又 于是由，得： 点评： （）对于（2），在一般情况下，利用题设条件与椭圆定义知图形特征是解题的关键： T 为线段中点； 由 OT 为的中位线 （）对于（ 3），在认知的充要条件后，充分运用关于的表达式凸显解题特色：由 的两种表达式导出，运用三角形面积公式导出，由与两式相除解得