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1、折叠问题的处理技巧 考点动向 折叠问题在教材中有所体现，也是立体几何传统的典型问题，符合高考试题源于课本高 于课本的基本命题理念，同时， 折叠问题既可以考查空间想象能力，也考查学生的动手能力 及比较等思维方式，因此，一直是备考与命题的重点 方法范例 例（2005湖南）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2 和 6，高为 3 的等腰梯形，将它沿对称轴 1 OO折成直二面角 （）证明： 1 ACBO； （）求二面角 1 OACO的大小 A B C D O O1 A B O C O1 D 图 解析本题是立体几何中有证有求的典型问题，可以不借助向量解答，借助三垂线定理 证明直线异面垂直，然后作二面角
2、的平面角，并解之也可以借助空间向量，转化为直线的 方向向量及平面法向量的关系问题解答 解法（I） 证明： 由题设知 1 OAOO， 1 OBOO所以AOB是所折成的直二面 角的平面角， 即OAOB故可以O为原点， 1 ,OA OB OO所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则相关 各点的坐标是(3,0,0)A，(0,3,0)B， (0,1, 3)C ， 1(0,0, 3)O从而( 3,1 ,3)AC， A B O C O1 D x y z 图 1 (0, 3, 3)BO， 1 3330AC BO所以 1 ACBO （II）解：因为 1 3330BO OC，所以 1 OCB
3、O，由（ I） 1 ACBO， 所以 1 BO平面OAC， 1 BO是平面OAC的一个法向量设),(zyxn是平面 1 O AC的 一个法向量，由 1 0 330, 0.0 n AC xyz yn O C 取3z，得)3, 0, 1 (n 设二面角 1 OACO的大小为，由n、 1 BO的方向可知n， 1 BO， 所 以 1 1 1 3 coscos, 4| n BO n BO nBO 即 二 面 角 1 OACO的 大 小 是 3 arccos 4 解 法 （ I ） 证 明 ：由 题 设 知 1 OAOO， 1 OBOO，所以AOB是所折成的直二面角的平面 角，即OAOB 从而AO平面 1
4、 OBCO，OC是 AC 在面 1 OBCO内的射影因为 1 1 tan3 OB OO B OO ， 1 1 1 3 tan 3 OC OOC OO ，所以 1 3 OO B， 1 6 O OC， 从而 1 OCBO，由三垂线定理得 1 ACBO （II）解由（ I） 1 OCBO， 1 ACBO，知 1 BO平面OAC设 1 OCO BE， 过点E作EFAC于F，连结 1 O F（如图），则EF是 1 O F在平面AOC内的射 影，由三垂线定理得 1 O FAC所以 1 O FE是二面角 1 OACO的平面角由题设知 11 3,3,1OAOOOC，所以 22 11 2 3O AOAOO， 2
5、2 11 13ACO AO C，从而 13 32 11 1 AC COAO FO， 又 11 3 sin 62 O EOO，所以 1 1 1 13 sin 4 O E O FE O F ， 即二面角 1 OACO的大 A B O C O1 D 图 小是 3 arcsin 4 规律小结 折叠问题往往描述的也是一个运动变化的过程，因此，首先需要能够想象出折叠的过程， 并对折叠前后相应的数量关系和位置关系的变化有十分清楚的认识，特别是那些没有变化的 量及位置关系，往往对解题起到关键性的作用 考点误区分析 解答折叠类问题，最忌没有认识到折叠前后的变化就盲目解答，要加强对比， 认识变化 产生的解题影响及
6、作用需要培养读图能力以及动手能力，在平时训练时， 需要对折叠问题 涉及的图形进行动手演示观察的，就要亲自动手做一下，直到考试时不用动手也可以想到具 体情形 同步训练 （ 2005浙江）设,M N是直角梯形 ABCD两腰的中点，DEAB于E（如图 ）现将ADE沿DE折起，使二面角 ADEB为45， 此时点A在平面BCDE内 的射影恰为点B， 则,M N的连线与AE所成角 的大小等于 _ （2006 山东）如图， 在等腰梯形ABCD 中，22ABCD，60DAB，E为AB的中 点，将ADE与BEC分别沿,ED EC向上折起， 使,A B重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的 体积为（） ()A 2
7、7 34 ()B 2 6 ()C 8 6 ()D 24 6 （ 2006江苏）在正三角形ABC 中， E、F、 P 分别是 AB 、AC 、BC 边上的点， 满足 AE:EB CF:FA CP:PB1:2（如图） 将 AEF 沿 EF 折起到 1 A EF的位置， 使二面角 A1 EFB 成直二面角，连结A1B、A1P AB C D E M N 图 图 （）求证： A1E平面 BEP； （）求直线A1E 与平面 A1BP 所成角的大小； （）求二面角BA1PF 的大小（用反三角函数表示） 参考答案 解析如图，可知BEA为二面角 ADEB的平面角，于是45BEA，又可知 ABBE，则取AE中点P，有MPNB，等腰直 角三角形ABE中，有AEBP，则AEMN 答案90 解析所求实际为棱长为的正四面体的 外接球的体积， 可将正四面体嵌入正方体中，使正四面体顶点恰好是正方体的顶点，则正方 体的棱长为 2 2 ，则球半径为 6 4 答案()C 答案（） 3 ；（） 8 7 arccos A B CD E M N P 图 A P F E CB A1 E F C P B 图