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1、圆 易错点 1：弧、弦、圆周角等概念理解不透彻，如弦所对的圆周角有两种情况，平行弦 间的距离也有两种情况. 易错题 1：已知A、B、C三点都在O上，若O的半径为4cm ，BC4 3cm，则A的 度数为 _. 错解 ：60 正解 ：60或 120 赏析 ：本题错解的主要原因是没有考虑到弦BC所对的圆周角A有两种情况 . 如图 1， 当点A在优弧上时，连接OA，OB， 过点O作ODBC于点D. 由垂径定理得BDCD 1 2 BC， BC43cm ，BD 1 2 3 43cm23cm.又OB4cm ，在 RtOBD中， cosOBD 2 33 42 BD OB ，OBD 30，BODCOD90 30
2、 60，BOC 120，A 1 2 BOC 1 2 3 120 60； 当点A在劣弧上时，如图 2， 在优弧上 任取一点E（不与点B、C重合），连接EB，EC，由前面的解法可得E60，又四边形 ABEC为O的内接四边形，AE180，A180 60 120 . 综上， A 的度数为60或 120. 在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角有两种，它们是互补关系. O BC D A 图1 O E BC D A 图2 易错点 2：运用垂径定理的有关计算与证明，不善于添加辅助线构造直角三角形解决相 关问题 . 易错题 2：已知梯形ABCD的各个顶点均在O上，ABCD，O的半径为8，AB12， CD4，则梯
3、形ABCD的面积S_. 错解 ：1671615 正解 ：1671615或 1615167 BC BC BC 赏析 ：本题由于没有对圆中的平行弦的位置分类讨论而造成错解. 圆中的平行弦在题目 中没有明确位置时，应分在圆心同侧和圆心两侧两种情况求解. 如图 1，当AB、CD位于圆心 O的两侧时，过点O作ONCD于点N，延长NO交AB于点M，连接OB、OC. ONCD，AB CD，OMAB，CN 1 2 CD2，BM 1 2 AB6，又OBOC8，OM 2 BM 2 OB 2， ON 2 CN 2 OC 2， OM 22 862 7，ON 22 822 15，MNOMON27 215. S 1 2
4、(ABCD)MN 1 2 3 (12 4) 3 (2 7215) 1671615；如图 2，当AB、 CD位于圆心O的同侧时，过点O作ONCD于点N，交AB于点M，连接OB、OC. ONCD， ABCD，OMAB，CN 1 2 CD2，BM 1 2 AB 6，又OBOC8，OM 2 BM 2 OB 2， ON 2 CN 2 OC 2， OM 22 862 7，ON 22 822 15， MNONOM 21527. S 1 2 (ABCD)MN 1 2 3 (12 4) 3 (21527) 1615167. 故答案为167 1615或 1615167. M N O B C D A 图1 M N
5、O B C D A 图2 易错点 3：切线的定义以及性质与判定的综合应用. 易错题3：已知OC平分AOB，D是OC上任意一点，D与OA相切于点E，求证：OB 与D相切 . O E B C D A 错解 ：如图 1，连接DE、DF，OA切D于点E，DEOA. OC平分AOB，DOE DOF. 在ODE和ODF中， ODOD DOEDOF DEDF ，ODEODF（SAS ），DEO DFO，DFOB，OB与D相切 . O F E B C D A 图 1 O F E B C D A 图2 正解一 ：如图 2，连接DE，过点D作DFOB于点F. OA切D于点E，DEOA， OC平分AOB，DEDF，
6、OB与D相切 . 正解二 ：如图 2，连接DE，过点D作DFOB于点F，则DFO90. OA切D于点E， DEOA，DEO90, DFODEO. OC平分AOB，DOEDOF. 在ODE和 ODF中， DEODFO DOEDOF ODOD ，ODEODF（AAS ），DEDF，OB与D相切 . 赏析 ：本题由于没有理解切线的两种判定方法而出错. 当直线经过圆上的某一点时，采 用“连半径，判垂直”的方法；当不知道直线经过圆上哪一点时，采用“作垂直，判半径” 的方法， 此方法中千万要注意，不能从图形判断直线经过圆上哪一点，应从题目的条件中判 断直线是否经过圆上哪一点. 易错点 4：圆周角定理及其推
7、论，特别是运用推论时易出错. 易错题 4：如图，ABC内接于O，C45，AB2，求O的半径 . O B C A 错解 ： 如图 1， 连接OA，OB， 由圆周角定理得AOBC， C45，AOB 45， O的半径为 121 2 sin222 2 AB AOB . O B C A 图1 O B C D A 图2 正解一 ：如图 1，连接OA，OB，由圆周角定理得AOB2C，C45，AOB 453 290，设OAOBx， 在 RtAOB中，由勾股定理得x 2 x 2 2 2， 解得 x2， x0，x2， O的半径为2.（或：如图1，连接OA，OB，由圆周角定理得 AOB2C，C45，AOB453 2
8、90，又OAOB，OABOBA 45， 在 Rt AOB中， sin OAB OB AB ，OBABsin45 23 2 2 ，即的半径为2. ） 正解二 ：如图2，作直径AD，连接DB，则DBA 90，CD，C45， D45，DAB180DBAD180 90 45 45，DDAB， DBAB，AB2，DB2，在 RtDAB中，由勾股定理得AB 2 DB 2AD2， AD 2 22 22， 解得AD2 2，O的半径为 2 222. （或：如图 2，作直径AD，连接DB，则 DBA90，CD，C45，D45，在 RtDAB中， sin D AB AD ，AB 2，AD sin AD D 2 2
9、2 22，O的半径为2222. ） 赏析 ： 本题错解的原因是圆周角定理运用错误，且求半径时的过程不完整，省去的过 程过多 . 利用圆周角定理时通常都需要作辅助线连接半径，利用圆周角定理的推论时通常都 需要连接某条弦或作直径，以得到90角或实现角的等量转换. 易错点 5：点与圆、直线与圆的位置关系及判断方法. 易错题 5：在 RtABC中， C 90，AC3，BC4，若以C为圆心、R为半径所作的 圆C与斜边只有一个公共点，则R的取值范围是 ,（） A.R2.4 B.3R4 C.R2.4 或 3R4 D.R 2.4 或 3R4 错解 ：A 正解 ：C 赏析 ：本题仅从“只有一个公共点”得出直线与
10、圆相切的关系来求解而出错，没有审清 题意，因为斜边是线段， 所以题中圆与斜边的关系应分类讨论求解. 当C与斜边AB相切时， 如图 1，此时，C与斜边AB只有一个公共点. 设C与斜边AB相切于点D，则CDAB，又 ACB90，AC3，BC4，由勾股定理得AB 2222 34ACBC5，由三 角形的面积公式可得SABC 1 2 AC3BC 1 2 AB3CD，CD 34 5 ACBC AB 2.4 ，即R 2.4 ；当RAC时，如图2，此时，C与斜边AB恰有两个公共点；当AC R BC时，如图 3，C与斜边AB只有一个公共点；当RBC时，如图4，此时，C与斜边AB无公共点 . 综上，R的取值范围是
11、R2.4 或 3R4. 另外，当R2.4 时，C与斜边AB无公共点； 当 2.4 RAC时，C与斜边AB有两个公共点 . B C D A 图1 B C A 图2 B C A 图3 B C A 图4 易错点 6：正多边形与圆的有关计算；弧长与扇形面积的计算. 易错题6：如图，矩形ABCD中，AB5，AD12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直 线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路经长是,（） A. 25 2 B.13 C.25 D.252 l B C DA 错解 ：B 正解 ：A 赏析 ：本题可能以为两次旋转中点B经过的路经是以点D为圆心，以DB长为半径的半 圆弧长而造成错解. 本
12、题中点B经过的路经长应分两部分求解：如图 1，第一次旋转时， 点 B 经过的路经长是以点D为圆心，以DB长为半径的 1 4 圆弧长，即BB1的长，四边形ABCD是 矩形，旋转角BDB190，在 RtABD中，A 90，AB5，ADCB 12，由勾股 定理得BD 2222 51213ADAB，BB 1的长度为 1 4 3 23 13 13 2 ；第二 次旋转时，点B经过的路经长是以点C1为圆心，以C1B1长为半径的 1 4 圆弧长，即B1B2的长， 旋转角B1C1B2 90，C1B1CB12，B1B2的长度为 1 4 3 23 126. 两次旋转过 程中点B经过的路经长为 13 2 6 25 2
13、 . B2 B1 C1 l B C DA 图1 易错练 1. 已知O的直径CD10cm，AB是O的弦，ABCD于点M，且AB8cm，则AC的长 为,（） A.25cm B. 25cm或 45cm C.45cm D. 23cm或 45cm 2.如图，已知O是以坐标原点为圆心，以1 为半径的圆，AOB45，点P在x轴上运 动，若过点P且与AO平行的直线与O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是 _. 45 x y P OB A 第 2题图 3.周长为 12 的正三角形、正方形、正六边形的外接圆的面积分别是S3，S4，S6，则它们的大 小关系是 ,（） A. S6S4S3 B. S3S4S6 C
14、. S6S3S4 D. S4S6S3 4.如图， 已知O中EF过圆心O，且垂直于弦AD，B、C两点在直线DE上，且AD平分BAC. 求证：DE 2 BE2CE. O F E B C D A 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O交x轴于A、B两点，直线FAx轴于点A，点D 在FA上，且DO平行于O的弦MB，连接DM并延长交x轴于点C. （1）判断直线DC与O的位置关系，并说明理由； （2）设点D的坐标为（2，4），试求MC的长及直线DC的表达式 . x y M O F BC D A 参考答案 易错练 1.B 解析：解析：如图 1， 当弦AB在圆心O的左侧时， 连接OA， 直径CDAB， AM
15、 1 2 AB 4，OA5，在 RtAMO中，由勾股定理得OM3，CMOCOM532，在 Rt ACM中，由勾股定理得AC 22 422 5；如图 2，当弦AB在圆心O的右侧时，连接 OA，直径CDAB，AM 1 2 AB4，OA5，在 RtAMO中，由勾股定理得OM3， CMOCOM538，在 RtACM中，由勾股定理得AC 22 484 5. 选 B. 2.2x2且x0 解析：解析：当点P向右运动到如图1 的位置时，过点P的直 线与O只有一个公共点，则此直线与O相切，设切点为C，则OCPC，又OAPC， AOB45，OPC为等腰直角三角形，OC1，由勾股定理得OP2，此时点P 的坐标为（2
16、，0）；当点P向左运动到如图2 的位置时，过点P的直线与O只有一个公 共点，则此直线与O相切，设切点为C，则OCPC，又OAPC，AOB45，OPC 为等腰直角三角形，OC1， 由勾股定理得OP2， 此时点P的坐标为（2， 0） ； 当x0 时，点P与圆心O重合，此直线与OA重合，不合题意，舍去. 综上，x的取值范 围是2x2且x 0. 3.B 解析：如图1，AB4，AD2. 又OAD 30，OA 24 3 cos3033 2 AD . S32OA 2 3 ( 4 3 3 ) 216 3 . 如图2，DC3，ODC45，OD 3 2 2 . S4 2OD 2 3 ( 3 2 2 ) 29 2
17、. 如图 3，DC2，OC2. S 6 2OC 2 3 2 2 4. 又 16 3 9 2 4，S 3S4S6 ，故答案选 B. 4.如图，连接AE. EFAD，且EF过圆心O， EF垂直平分AD， AEDE， EADEDA. AD平分BAC，BADDAC. EABEADBAD，ECAEDADAC， EABECA. 又AEBCEA，AEBCEA， AEBE CEAE ，AE 2 BE2CE. AE DE，DE 2BE 2CE. 5.解：（ 1）直线DC与O相切，理由如下：如图，连接OM，ODMB，OBMAOD， OMBDOM，OBOM，OBMOMB，AODMOD. 在DAO和DMO中， OAO
18、M AODMOD DODO ，DAODMO（SAS ），OMDOAD，直线FAx轴于点A， OAD90，OMD90，OM是半径，直线DC切O于点M. （2）由D（ 2，4）可得OAOM 2，AD4. 又由（ 1）可知，DMAD4，OMCDAC 90，OCMDCA，OMCDAC， 1 2 MCOM ACDA ，AC2MC. 在 RtACD中， 由勾股定理得AC 2AD2 CD 2， (2 MC) 242( MC 4) 2，解得 MC 8 3 ，MC0（不合题意， 舍去） . MC 8 3 ，AC 16 3 ，OCACOA 16 3 2 10 3 ，C点坐标为（ 10 3 ，0）. 设直 线DC的 表 达 式 为ykxb， 把C、D两 点 坐 标 代 入 ， 得 10 0 3 24 kb kb ，