中考数学易错题专题复习四边形.pdf

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1、四边形 易错点 1：平行四边形的性质与判定. 易错题 1：如图，在平行四边形ABCD中，AD2AB，F是AD的中点，作CEAB，垂足E 在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_（把所有正确结论的 序号都填在横线上）. DCF 1 2 BCD；EFCF；SBEC2SCEF；DFE 3AEF. F E BC D A 错解 ： 正解 ： 赏析 ：本题由于不能灵活运用平行四边形与三角形的有关内容而造成错解，添加适当的 辅助线是解决本题的关键. 正确的解法是：如图1，分别延长EF、CD相交于点G. 四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD，ABCD，又AD2AB，F是AD的中点，

2、DFDC，DCFDFC，又 DFCFCB，DCFDFCFCB，DCF 1 2 BCD，正确；ABCD， BECFCD，又CEAB，FCD90，又AFDG，AFDF，AFEDFG， AFEDFG（ASA ），EFGF，EFCF，正确； SBEC 1 2 BECE，SECG 1 2 CG CE，又E在线段AB上，BEABCDCG，S BECSECG，又EFGF，SEFCSFCG （等底同高的三角形面积相等），SECG2SEFC，SBEC2SEFC，错误；FGFC， GFCG，AEFFCG，BCD2AEF，又BCDA，A2AEF，又 DFEAAEF，DFE3AEF，正确 . 故答案填. G F E

3、BC D A 图1 易错点 2： 平行四边形与三角形面积求法的区别；平行四边形与特殊平行四边形的关系. 易错题 2：如图，点P为平行四边形ABCD的边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点， PEF、PDC、PAB的面积分别为S、S1、S2. 若S 2，则S1S2_. P F E B CD A 错解 ：6 正解 ：8 赏析 ：本题若没有掌握平行四边形面积的特殊性，容易造成错解. 如图 2，过点P作PH CB，交CB的延长线于点H，过点A作AGCB，交CB的延长线于点G. 则SPBC 1 2 CBPH， SABC 1 2 CBAG，SABCDCBAG，四边形ABCD为平行四边形，四边形AGHP

4、为矩形， PHAG，SABCSPBC 1 2 S ABCD，又SPDCSPABSPBCSABCD，SPDCS1，SPABS2，S1 S2 1 2 SABCD，E、F分别为PB、PC的中点，EFCB， 1 2 EF CB ，PEFPBC， 22 11 ()() 24 PEF PBC SEF SBC ，PEF的面积为2，SPBC8，SABCD 16，S1S2 1 2 168. H P G F E B CD A 图2 易错点 3：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，过对称中心的任意一条直线 把它的面积平分；对角线将平行四边形面积四等分. 易错题 3：如图，已知：在ABC中，ABAC，若将ABC

5、绕点C顺时针旋转180得到 FEC. （1）试猜想AE与BF有何关系，并说明理由； （2）若ABC的面积为4cm 2，求四边形 ABFE的面积； （3）当ABC为多少度时，四边形ABFE是矩形？请说明理由. 180 F EB C A 错解 ：（ 1）AEBF. 理由如下：由旋转可得ACFC，BCEC，且AC与FC，BC与EC分 别在一条直线上，ACEFCB，ACEFCB（ SAS ），AEBF. （2）SABC 4，S四边形ABFE2 SABC，S四边形ABFE42 8（cm2 ）. （3）当ABC45时，四边形ABFE是矩形 . 理由如下：ABC45，ABAC， BAE 90，四边形ABFE

6、是矩形 . 正解 ：（ 1）AEBF ，AEBF. 理由如下：将ABC绕点C顺时针旋转180得到 FEC，由旋转可得ACFC，BCEC，且AC与FC，BC与EC分别在一条直线上，四边形 ABFE是平行四边形，AEBF ，AEBF. （2）由旋转可得ABCFEC，SABCSFEC，又ACFC，BCEC，SABCSACE SFECSBFC，SABFE4 SABC4416（cm 2） . （3）当ABC60时，四边形ABFE是矩形 . 理由如下：ABAC，ABC60， ABC是等边三角形，BCAC，又ACFC，BCEC，AFBE，又四边形ABFE是平 行四边形，四边形ABFE是矩形 . 赏析 ：第（

7、 1）小题错在只得出了数量关系，没有判断位置关系；第（2）小题可能是根 据一条对角线把平行四边形的面积平分而造成错解，这里ABC的面积不是四边形ABFE面 积的一半，且没有证明四边形ABFE是平行四边形；第（3）小题错在由条件只能得到BAC 90，而不是BAE90，且没有证明四边形ABFE是平行四边形 . 易错点 4：平行四边形中全等三角形与相似三角形的运用. 易错题 4：如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，P为对角线BD上一点，过点P 作EFAC，交AB于点E，交BC于点F，AC3，BD8，设BPx，EFy，则y与x之间的 函数关系图象是（） P O F E B C D A A O

8、3 4 y x 8 B O 3 4 y x C O 3 4 y x8 D O 3 4 y x 错解 ：A 正解 ：B 赏析 ：本题错解的主要原因是只考虑了点P在BO上时的情况 . 虽然图中点P在BO上， 但题目中说的是P为对角线BD上一点，所以应分两种情况讨论求解：当P在BO上时，即 0 x4，四边形ABCD是平行四边形，BD8，BODO4，EFAC，BEFBAC， BPFBOC， BFEF BCAC ， BFBP BCBO ， EFBP ACBO ，又AC3，BPx，EFy， 34 yx ，y 3 4 x；当P在DO上时， 即 4x8，如图 3，四边形ABCD是平行四边形， BD 8，BOD

9、O 4，EFAC，DEFDAC，DPFDOC， DFEF DCAC ， DFDP DCDO ， EFDP ACDO ，又AC3，DPDBBP8x，EFy， 8 34 yx ，y 3 4 x6. y与x的函数是分段函数，其关系图象的两部分都是直线，故选B. P O F E B C D A 图3 易错点 5：矩形、菱形与正方形的概念、性质与判定以及相互间的关系. 易错题 5： 如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O， 折叠正方形纸片ABCD， 使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合， 展开后， 折痕DE分别交AB、AC于点E、G， 连接FG. 下列结论：AGD112.5 ；

10、tan AED2；SAGDSOGD；四边形AEFG是 菱形；BE2OG. 其中正确结论的序号是_. O G F E B C DA 错解 ： 正解 ： 赏析 ：本题的综合性较强，不能很好地利用正方形的特殊性质是造成错解的主要原因. 对于：四边形ABCD是正方形，ADBDACABD45，由折叠可得ADE FDE，ADEFDE 1 2 ADB 1 2 45 22.5 ，AGD180DACADE 180 45 22.5 112.5 ，故正确；对于：由折叠可得EFB 90，又ABD 45，BEF是等腰直角三角形，BE2EF，又EFAE，BE2AE，ADAB (21)AE. 在 RtADE中，tan AE

11、D (21)ADAE AEAE 21，故错误；对于 ：由折叠可得AGFG，又在 RtOGF中，GFOG，AGOG，又SAGD 1 2 AGDO，S OGD 1 2 GODO，SAGDSOGD，故错误；对于：AGD112.5 ，AGE180 AGD180 112.5 67.5 ，又在RtAED中，ADE22.5 ，AED90 ADE90 22.5 67.5 ，AEAG，又由折叠可得，AEFE，AGFG，AEEF GFAG，四边形AEFG是菱形，故正确；对于：四边形AEFG是菱形，EFGF，AB GF，GFOABO45，GFO、EBF均为等腰直角三角形，GF2GO，EF 2GO，又BE2EF，BE

12、22GO2GO，故正确 . 本题答案为. 易错点 6：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等操作型问题. 易错题 6：已知矩形ABCD的一条边AD8，将矩形ABCD折叠， 使得顶点B落在CD边上 的P点处 . （1）如图 1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA. 求证：OCPPDA； 若OCP与PDA的面积之比为14，求边AB的长； （2）若图 1 中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数； （3）如图 2，在（ 1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP. 动点M在线段AP上 （点M与点P、A不重合） ，动点N在线段AB的延长线上， 且BNPM，连接MN交PB于点F， 作MEB

13、P于点E. 试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说 明理由；若不变，求出线段EF的长度 . P O B CD A 图1 M N P F E B C D A 图2 错解 ：（ 1）如图1，四边形ABCD是矩形，ADBC，DCAB，DABBC D90. 由折叠可得ABOAPO，APAB，POBO，PAOBAO，APOB， APO90，APDPOC，又DC，OCPPDA. OCP与PDA的面积之比为14， 11 42 OCOPCP PDPADA . PD2OC，DA 2CP, AD8，CP 4，BC8. 设OPx，则OBx，CO8x. 在 RtPCO中，C 90， CP4

14、，OPx，CO8x，由勾股定理得x 2 (8 x) 242. 解得 x6，ABAP2OP2 612.21教育网 （2）如图 3，P是CD边的中点，DP 1 2 DC. DCAB，ABAP，DP 1 2 AP. D90，在 RtDAP中，sin DAP 1 1 2 2 AP DP APAP ， DAP45，DAB 90， PAB90 45 45，又PAOBAO，OAB22.5 . （3）当点M、N在移动过程中，线段EF的长度发生变化，因为当点M、N在移动时，点 E、F也随之移动，所以线段EF的长度发生变化. P O B C D A 图3 Q M N P F E B C D A 图4 正解 ：（

15、1）如图1，四边形ABCD是矩形，ADBC，DCAB，DABBC D90. 由折叠可得ABOAPO，APAB，POBO，PAOBAO，APOB， APO90，APD180APOCPO 180 90CPO90CPO，又 在 RtPCO中，POC90CPO，APDPOC，又DC，OCPPDA. OCP与 PDA的 面 积 之 比 为1 4 ， 且 OCP PDA， 11 42 OCOPCP PDPADA . PD2OC，DA 2CP, AD8，CP4，BC8. 设OPx， 则OBx，CO8x. 在 RtPCO中，C 90，CP4，OPx，CO8x，由勾股定 理得x 2 (8 x)242. 解得 x

16、5，ABAP 2OP 2510. （2）如图 3，P是CD边的中点，DP 1 2 DC. DCAB，ABAP，DP 1 2 AP. D90，在 RtDAP中，sin DAP 1 1 2 2 AP DP APAP ， DAP30，DAB 90， PAB90 30 60，又PAOBAO，OAB30. （3）如图 4，过点M作MQAN，交PB于点Q. APAB，MQAN， APBABP， ABPMQP，APBMQP，MPMQ，又MEPQ，PEEQ 1 2 PQ. BNPM，MP MQ， BNMQ.又由MQAN得QMFBNF.在MFQ和NFB中， QMFBNF QFMBFN QMBN ， MFQNFB

17、(AAS)，QFBF，QF 1 2 QB. EFEQQF 1 2 PQ 1 2 QB 1 2 PB.由（1） 可 得 ，PC 4 ，BC 8 ， C 90 ， 在Rt PBC中 ， 由 勾 股 定 理 得 ，PB 2222 844 5BCPC，EF 1 2 PB 1 2 4 525. 在（ 1）的条件下， 当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为25. 赏析 ：本题（ 1）中证明过程不完整，因为对条件APDPOC没有写出证明过程， 中在最后解方程时出现了错误；（2）中特殊角的三角函数值弄错了，正弦值为 1 2 的锐角 应是 30，而不是45；（ 3）中错在仅由点E、F在移动就得出线段

18、EF的长度发生变化， 虽然点E、F在移动，但线段EF的长度仍有可能不变，应通过计算来说明线段EF的长度是 否发生变化，通过作辅助线构造全等是解决本小题的关键. 易错练 1.如图，在ABCD中，ABC60，E、F分别在CD和BC的延长线上，AEBD，EFBC， EF3，则AB_. 2.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为 3，点E、F分别在AD、BC上，连接BE，DF，EF，BD， 若四边形BEDF是菱形，且EFAEFC，则边BC的长为 _. 3.如图，在ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DECA，DFBA，下列判断： 四边形AEDF是平行四边形； 若BAC90，则四边形AED

19、F是矩形； 若AD平分 BAC，则四边形AEDF是菱形；若ADBC且ABAC，则四边形AEDF是正方形 . 其中正确的 有（） A. B. C. D. F E B C D A 第1题图 O F E BC DA 第 2题图 F E BC D A 第3题图 4.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点 . （1）求证：MBANDC； （2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由. Q MN P B C D A 5.在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB 上移动 . （1）如图，当点E自D向C，点F自C向

20、B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出 AE和DF的关系，并说明理由； （2）如图，当E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时，连接AE和DF，（ 1）中的结论 还成立吗？（直接写出答案，不需证明） （3）如图，当点E、F分别在边CD、BC的延长线上移动时，连接AE、DF，（ 1）中的结 论还成立吗？请说明理由； （4）如图，当点E、F分别在边DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E、F 的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图. 若AD2，试求出线段CP的 最小值 . P F E BC DA 图 F E B C DA 图 F E BC D A 图 P F E B

21、C DA 图 参考答案 2.3 3 解析：四边形BEDF是菱形，BEBFED，EOFO,EFBD，EBOFBO， 又四边形ABCD是矩形，AABC90，ADBC，ADEDBCBF，AEFC， 又EFAEFC，AEEOFOFC， Rt ABE RtOBE（HL ），ABEOBE， ABEOBEOBF，ABE 1 3 90 30. 在 RtABE中， cosABE AB AE ，AB3， AE 3 cos30 3 3 2 23，AE 1 2 BE 1 2 233，BCBFFCBEAE 23333. 3.C 解析：DECA，DFBA，四边形AEDF是平行四边形，正确；BAC 90， 且四边形AEDF

22、是平行四边形，正确；AD平分BAC，EADFAD，又DECA， FADEDA，EADEDA，EAED，又四边形AEDF是平行四边形，四边形 AEDF是菱形，正确；ABAC且ADBC，AD平分BAC，由得，四边形AEDF 是菱形，错误. 选 C. （2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：如图，连接MN.四边形ABCD是矩形且M、N分别 是AD、BC的中点，四边形AMNB、DMNC均为矩形，四边形MDNB为平行四边形，MNDC， MNB90，MBDN，P是BM的中点，PN 1 2 BMMP，又由（ 1）得BMDN，MP 1 2 DN，又Q为DN的中点，NQ 1 2 DN，MPNQ，MPNQ， 四边形

23、MPNQ是平行四边形， 又MPNP，四边形MPNQ是菱形 . 5.解：（ 1）AEDF，AEDF. 理由如下：四边形ABCD是正方形，ADDC，ADCC 90，又由题意得DECF，ADEDCF（SAS ）. AEDF，DAECDF，CDF ADF90，DAEADF90，APD90，AEDF；（ 2）还成立；（ 3） 还成立，理由如下：由（1）同理可证AEDF，DAECDF，延长FD交AE于点G，如图 ，GDAADCCDF180，ADC90，则CDFADG90，ADG DAE90，AGD90， AEDF； （4）如图， 由于点P在运动中保持APD 90， 点P的路经是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的 长度最小，在RtODC中，由勾股定理得OC 2222 215CDOD，CPOC OP5 1.