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1、第 20 页 共 13 页 立体几何、 空间向量与立体几何练习题 一、填空题 1所成的角的大小为 6 2 【江苏扬州】4长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,1ABBCAA，则 1 BD与平面 1111 AB C D 所成的角的大小为 6 3 【江苏苏北四市】10.给出下列关于互不相同的直线m、l、n 和平面 、 的四个命题： 若,mlAAmlm点则 与 不共面； 若 m、l 是异面直线，nmnlnml则且,/,/； 若mlml/,/,/,/则； 若, /,/,/.lmlmA lm点则 其中为真命题的是. 4 【江苏苏北四市】14若 Rt ABC中两直角边为a、b,斜边 c 上的高
2、 为 h，则 222 111 bah ，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC ， PO 为棱锥的高， 记 M= 2 1 PO ,N= 222 111 PCPBPA ,那么 M、N 的大小 关系是 M=N 5 【江苏苏州】已知 nm, 是两条不同的直线，,为两个不同的平面， 有下列四个命题： 若nm,，mn，则； 若nmnm,/,/，则/； 若nmnm,/,，则/； 若/,/,nm，则nm 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_ _ 6 【江苏 泰州实验】 13.已知正四棱锥PABCD 的高为 4，侧棱长与底面所成的角为 0 60， 则该正四棱锥的侧面积是 32 7 3 A B CD
3、 A1 B1 C1 D1 第 21 页 共 13 页 A B C D D C1 B1 A1 7 【江苏 泰州】 3、已知,、是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命 题： 若l ,，则/l；若/,ll，则； 若l上有两个点到的距离相等，则/l；若/,，则。 其中正确命题的序号是 8 【江苏 泰州】 11、正三棱锥ABCP高为 2，侧棱与底面成 0 45角，则点 A 到侧面PBC 的距离是 6 5 5 9 【江苏盐城】13.如图 ,在三棱锥PABC中, PA、PB、PC两两垂 直 ,且3,2,1PAPBPC.设M是底面ABC内一点 ,定义 ()(, ,)f Mm n p,其中m、n、p
4、分别是三棱锥MPAB、 三棱锥 MPBC、三棱锥MPCA的体积 .若 1 ()(, , ) 2 f Mx y,且 1 8 a xy 恒成立 ,则正实数a的最小值为 _1_. 二、计算题 1 【江苏无锡】16 （本小题满分14 分） 直棱柱 1111 ABCDA BC D 中，底面ABCD 是直角梯形， BAD ADC90 ，222ABADCD （）求证：AC平面 BB1C1C； （）在 A1B1上是否存一点P，使得 DP 与平面 BCB1与 平面 ACB1都平行？证明你的结论 证明： （）直棱柱 1111 ABCDA BC D 中， BB1平面 ABCD，BB1AC 2分 又BAD ADC 9
5、0 ，222ABADCD， 2AC， CAB45 ，2BC，BCAC5 分 又 1 BBBC B ， 1, BB BC平面 BB1C1C，AC平面 BB1C1C7 分 （）存在点P， P 为 A1B1的中点8 分 证明：由 P 为 A1B1的中点，有PB1 AB ，且 PB1 1 2 AB9 分 又 DC AB，DC 1 2 AB，DC PB1，且 DC PB1， DC PB1为平行四边形，从而CB1DP11 分 又 CB1 面 ACB1， DP面 ACB1， DP 面 ACB1 13 分 第 13 题 M C B A P 第 22 页 共 13 页 同理， DP 面 BCB114 分 评讲建
6、议： 本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直 角梯形 ABCD 中 BC AC，第二小题， 要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两 相交平面相交， 则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答 题的规范性， 这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证 明之，这事实上证明了结论是充分且必要的 2 【江苏淮、徐、宿、连】16.(本小题满分14 分) 如图，四边形ABCD 为矩形， BC 上平面 ABE ，F 为 CE 上的点，且BF平面 ACE. (1)求证： AEBE； (2)设点 M 为线段 AB 的中点，点N
7、为线段 CE 的中点 求证： MN 平面 DAE 【解】 （1）证明：因为ABEBC平面，ABEAE平面， 所以 BCAE ，2分 又ACEBF平面，ACEAE平面， 所以BFAE，4分 又BF BCB，所以BCEAE平面6分 又BCEBE平面，所以BEAE8分 （2）取DE的中点P，连接PNPA,，因为点 N 为线段 CE 的中点 所以PN|DC，且DCPN 2 1 ，10 分 又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM|DC，且DCAM 2 1 ， 所 以PN| AM ， 且AMPN， 故 四 边 形A M N P是 平 行 四 边 形 ， 所 以 MN|AP 12分 而AP平
8、面DAE，MN平面DAE，所以 MN 平面 DAE 14 分 3 【江苏 淮、徐、宿、连】22.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，F 是 BC 的中点， 点 E 在 D1C1 上，且 D1E= 1 4 D1C1,试求直线 EF 与平面 D1AC 所成角的正弦值. 【解】 设正方体棱长为1，以 1,DDDCDA为单位正交基底， 建立如图所示坐标系xyzD， 则各点的坐标分别为1 , 1 , 1 1 B,1 , 4 1 , 0E, 0, 1 , 2 1 F，2 分 A B C D E F M 第 16 题 N D C A F M E B N M 第 16 题图 A B C D F A1 B1
9、 C1 E D1 第 23 页 共 13 页 z y x F E D1C1 B1 A1 D C BA 所以)1 , 1, 1( 1 DB，) 1, 4 3 , 2 1 (EF，4分 1 DB为平面ACD1 的法向量， 87 87 1 16 9 4 1 3 11 4 3 1 2 1 1 | ,cos 1 1 1 EFDB EFDB FEDB.8分 所以直线EF与平面ACD1所成角的正弦值为 87 87 .10 分 4 【江苏南通】15 （本小题14 分） 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点 D 在边 BC 上， ADC1D （1）求证： AD平面 BC C1 B1； （2）设 E 是 B1
10、C1上的一点，当 1 1 B E EC 的值为多少时， A1E平面 ADC1？请给出证明 解: （1）在正三棱柱中，C C1平面 ABC，AD平面 ABC， ADC C12 分 又 ADC1D，C C1交 C1D 于 C1，且 C C1和 C1D 都在面 BC C1 B1内， AD 面 BC C1 B1 5 分 （2）由（ 1） ，得 ADBC在正三角形ABC 中， D 是 BC 的中点7 分 当 1 1 1 B E EC ，即 E 为 B1C1的中点时， A1E平面 ADC1 8 分 事实上，正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BC C1 B1是矩形，且D、E 分别是 BC、B1C1的中点，
11、所以 B1BDE，B1B= DE 10 分 又 B1BAA1，且 B1B=AA1， DEAA1，且 DE=AA112 分 所以四边形ADE A1为平行四边形，所以E A1AD 而 E A1 面 AD C1内，故 A1E平面 AD C1 14 分 5 【江苏启东中学模拟】16 （本小题满分14 分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面 ABC为等腰直角三角形， ACB=90 0，AC=1 ，C 点到 AB 1的距离为 CE= 2 3 ，D 为 AB 的中点 . （1）求证： AB 1平面 CED； （2）求异面直线AB 1与 CD 之间的距离； 【解】 （1）D 是 AB 中点， ABC 为
12、等腰直角三角形，ABC=90 0，CDAB 又 AA 1 平面 ABC ， CDAA 1. CD平面 A1B1BA CDAB1，又 CEAB1， AB1平面 CDE； （2）由 CD平面 A1B1BA CDDE B1 A1 A B C C1 D AB C D A1 E B1 C1 第 24 页 共 13 页 AB1平面 CDE DEAB1 DE 是异面直线AB1与 CD 的公垂线段 CE= 2 3 ，AC=1 , CD=. 2 2 2 1 )()( 22 CDCEDE； 6 【江苏启东中学】16 （本题满分14 分，第 1 问 4 分，第 2 问 5 分，第 3 问 5 分） 如下的三个图中，
13、 分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和 左视图（单位：cm） （1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （3）在所给直观图中连结BC，证明：BC 面EFG 【解】 （1）如图 -4 分 （2）所求多面体体积 VVV 长方体正三棱锥 11 446222 32 2284 (cm ) 3 -9 分 （3）证明：在ABCDA B C D中， 连结AD，则ADBC 因为EG，分别为AA，A D中点，所以ADEG-11 分 从而EGBC又BC平面EFG，所以BC 面EFG -14分 7 【江苏苏北四市】16. (本题满分14 分) 如
14、图，已知空间四边形ABCD中，,BCAC ADBD，E是AB 的中点 4 6 4 2 2 2 4 6 2 2 （俯视图） （正视图） （侧视图） 4 6 4 2 2 E D A B C F G B C D 2 A B C D E F G A B C D A E D B C 第 25 页 共 13 页 求证： （1）AB平面 CDE； （2）平面CDE平面ABC （3）若 G 为ADC的重心 ,试在线段 AE 上确定一点F,使得 GF平面 CDE 【解】 证明： （1） BCAC CEAB AEBE 同理， ADBD DEAB AEBE 又CEDEEAB平面CDE5分 （2）由（ 1）有AB平面
15、CDE 又AB平面ABC，平面CDE平面ABC9分 （3）连接 AG 并延长交CD 于 H，连接 EH，则 2 1 AG GH ， 在 AE 上取点 F 使得 2 1 AF FE ，则GFEH，易知 GF平面 CDE 14 分 8 【江苏苏北四市】4. 已知斜三棱柱 111 ABCABC， 90BCA，2ACBC， 1 A在底面ABC上 的射影恰为AC的中点D，又知 11 BAAC。 （I）求证： 1 AC平面 1 ABC； （II）求 1 CC到平面 1 A AB的距离； （III ）求二面角 1 AA BC余弦值的大小。 【解】（ I）如图，取AB的中点E，则/DEBC，因为 BCAC，
16、所以DEAC，又 1 AD平面ABC， 以 1 ,DE DC DA为, ,x y z轴建立空间坐标系， 则0, 1,0A，0,1 ,0C，2,1 ,0B， 1 0,0,At， 1 0,2,Ct， 1 0,3,ACt， 1 2, 1,BAt， 2,0,0CB，由 1 0AC CB，知 1 ACCB， 又 11 BAAC，从而 1 AC平面 1 ABC； （II）由 1 AC 2 1 30BAt，得3t。 设平面 1 A AB的法向量为, ,nx y z， 1 0,1, 3AA，2,2,0AB，所以 1 30 220 n AAyz n ABxy ，设1z，则 3,3,1n 第 26 页 共 13
17、页 所以点 1 C到平面 1 A AB的距离 1 ACn d n 2 21 7 。 （III ）再设平面 1 ABC的法向量为, ,mx y z， 1 0, 1,3CA，2,0,0CB， 所以 1 30 20 m CAyz m CBx ，设1z，则 0,3,1m， 故cos, m n m n mn 7 7 ，根据法向量的方向， 可知二面角 1 AABC的余弦值大小为 7 7 917 【江苏苏州】 （本小题满分15 分） 在四棱锥 PABCD 中， ABC ACD90 ， BAC CAD60 ， PA平面 ABCD， E 为 PD 的中点， PA 2AB2 （）求四棱锥PABCD 的体积 V；
18、（）若 F 为 PC 的中点，求证PC平面 AEF； （）求证CE平面 P AB 【解】 （）在RtABC 中， AB 1， BAC60 ， BC3，AC2 在 RtACD 中， AC2， CAD60 ， CD23 ，AD 4 SABCD 11 22 AB BCAC CD 115 1322 33 222 3 分 则 V 155 323 323 5分 （） P ACA，F 为 PC 的中点， AFPC7 分 P A平面 ABCD ， PACD ACCD，PAACA， CD平面 PAC CDPC E 为 PD 中点， F 为 PC 中点， EFCD则 EFPC9 分 AFEFF， PC平面 AEF
19、10 分 （）证法一： 取 AD 中点 M，连 EM，CM则 EMP A M F E D C B A P P A B C D E F 第 27 页 共 13 页 EM 平面 PAB，PA平面 PAB， EM平面 PAB12 分 在 RtACD 中， CAD 60 ，ACAM2， ACM60 而 BAC60 ， MCAB MC 平面 PAB，AB平面 P AB， MC平面 PAB14 分 EMMCM， 平面 EMC 平面 PAB EC平面 EMC， EC平面 PAB15 分 证法二： 延长 DC、AB，设它们交于点N，连 PN NAC DAC60 ， ACCD， C 为 ND 的中点 12 分
20、E 为 PD 中点， ECPN 14 分 EC 平面 PAB，PN 平面 PAB， EC平面 PAB15 分 10 【江苏 泰州实验】 16. (本题满分14 分)四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形， 侧面ABC底面BCDE，,2,2 CDBCABAC （）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明：|FG面ABC； （）证明：ADCE 【 解 】(1) 取BE的 中 点 为,P连, PGPF可 以 证 明 BCFPABGP|,| 面|ABC面FGP，|FG面ABC6分 （2）取BC中点F，连接DF交CE于点O， ABAC， AFBC， 又面ABC面BCDE， AF面BCDE， AFCE.10 分 2 tantan 2 CEDFDC， 90OEDODE， N F E D C B A P C D E A B