《八年级数学上册55三角形内角和定理三角形的内(外)角平分线夹角的探究与延拓素材(新版)青岛版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学上册55三角形内角和定理三角形的内(外)角平分线夹角的探究与延拓素材(新版)青岛版.pdf（3页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、三角形的内（外）角平分线夹角的探究与延拓 我们探究了三角形的内角与外角的问题，也研究了角的平分线的特性，现在我们来探究 一下，三角形的内（外）角平分线的夹角有什么性质 探索一：由两条内角平分线所组成的角 如图 1，ABC中， ABC 、ACB的平分线交于点O ，那么 BOC与A有什么关系呢？ 证明你的猜想 探索与分析：因为BO 、CO分别是 ABC 、ACB 的平分线， 所以 1= 1 2 ABC ，2= 1 2 ACB ，在 OBC中， BOC=180 0- （1+2） =1802-1 2 （ABC+ ACB ） = 180 0-1 2 （180 0- A） =900+1 2 A，由此得到结
2、论 点评：解决本题的关键在于两条角平分线架起了与之间的桥梁，完成了从已知向未知的 过渡，细心审题，发现已知与所求之间的联系常是解题的关键 结论 1：由三角形的两条内角平分线所组成的角等于90 0 与第三角一半的和 延拓一： 如图所示， ABC中， A=42 ， （1）如图 2，若 ABC和ACB的平分线交于 点 D，求 BDC 的度数 . （2）如图3，若 ABC 和ACB 的三等分线分别交于点, 21 DD求 CBD2的度数 . （ 3）如图3，若 ABC 和ACB 的四等分线分别交于点, 321 DDD求 CBD3的度数 . （4）如图 4，若 ABC 和 ACB的n等分线分别交于点 13
3、21 , n DDDD， 求 CBDn 1的度数 . 分析： 在图 2 中，观察到BDC在BDC中，而DBC和DCB分别是原三角形中 ABC和ACB的二分之一，所以只要求出ACBABC 2 1 即可；同样道理，在图3 2 A B C O 1 图 1 图 2 图 4 图 3 中，只要求出ACBABC 3 2 第 4 个图形中，只要求出ACBABC n n1 . 解： （1） 111 2 1 180ACBABCBDC； （2） 2 2 180152 3 BD CABCACB （3） 3 3 180148.5 4 BD CABCACB （4） 1 1 180 n n BDCABCACB n 探索二：
4、由三角形一个角的内角平分线和另一个角的外角平分线所组成的角 如图 5， ，ABC中， ABC的平分线与 ACB 的外角平分线交于点P，试问P与 A 有什么关系？证明你的结论 探索与分析：因为BP平分 ABC ， CP平分 ACD ，所以 1= 1 2 ACD ，2= 1 2 ABC ，又因为1是PBC 的外角，所以 1=P+2，所以 P=1- 2= 1 2 （ACD - ABC ） ，因为 ACD= A+ABC ， 所以 A=ACD- ABC ，所以 P= 1 2 A，由此得到结论 结论 2： 由三角形一个角的内角平分线和另一个角的外角平分线所组成的角等于第三角 的一半 延拓二： 如图 6 所
5、示，已知ABC中， A=96 ，延长BC到 D，ABC与ACD的平分 线相交于点 1 A，CDABCA 11 ,的平分线交于点, 2 A依次类推，CDABCA 55 ,的平分 线交于点, 6 A求 6 A的大小 . 分析：利用外角的性质和角平分线的定义解答本题. 解：在AABCACDBCACDAA，BCA 2 1 2 1 2 1 1111 中； 图 5 A 1 2 B C P D 图 6 同样道理， 在AABCACDABCACDAA，BCA 2 1112222 2 1 2 1 2 1 2 1 中； 依此类推， 2 3 96 64 1 2 1 6 6 AA 归纳总结： 探究规律题的魅力体现在观察
6、和发现变化中隐含着不变的规律，常见的观察 活动主要有三条途径： （1）数与式的特征的观察； （2）从几何图形的结构观察；（ 3）通过简 单、特殊情况的观察，再推广到一般情况. 同学们在学习中要善于从现有的条件、结论，通 过观察、联想，进而猜想到我们未知的知识. 探索三：由两条外角平分线所组成的角 如图 7，ABC中，ABC 、ACB的外角平分线交于点P ，试问P 与A有什么关系？ 证明你的结论 探索与分析：因为BP 、CP分别平分 DBC ，ECB ，所以 1= 1 2 DBC ，2= 1 2 ECB ，在 PBC 中， P= 180 0- （1+2） =1802-1 2 （DBC+ ECB ） =180 2-1 2 （180 2- ABC+1800- ACB ） =1802 - 1 2 360 0- （ABC+ ACB ） = 1 2 （ABC+ ACB ） = 1 2 （180 0- A） =900-1 2 A，由此得到结论 结论 3：由三角形两条外角平分线所组成的角等于90 0 与第三角一半的差 1 2 B A E C D P 图 7