函数的跟与方程的零点.pdf

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1、31函数与方程 31.1方程的根与函数的零点 学习目标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函 数的零点与方程的根的联系 教学重难点： 1 重点：函数零点的概念和函数零点的求法 2 难点：零点的确定 知识链接 考察下列一元二次方程与对应的二次函数： (1)方程 x 22x30 与函数 yx22x 3； (2)方程 x 22x10 与函数 yx22x 1； (3)方程 x 22x30 与函数 yx22x 3. 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？ 答案 方程x22x30x2 2x10x22x30 函数yx 22x3 yx 22x 1

2、 yx 22x3 函数的图象 方程的实数根x1 1，x23x1x21无实数根 函数的图象与 x 轴的交点 (1,0)、(3,0)(1,0)无交点 预习导引 1函数的零点 对于函数yf(x)，我们把使f(x)0 的实数 x 叫做函数yf(x)的零点 2方程、函数、图象之间的关系； 方程 f(x) 0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与x 轴有交点 ? 函数 y f(x)有零点 3函数零点存在的判定方法 如果函数yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0.那么，函 数 yf(x)在区间 (a，b)内有零点，即存在c(a， b)，使得 f(c)0，这个 c

3、也就是方程f(x) 0 的根 温馨提示判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y f(x)在区间 (a，b)内有零点，则f(a) f(b)0 不一定成立 要点一求函数的零点 例 1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出 (1)f(x)x 27x 6； (2)f(x)1log2(x3)； (3)f(x)2 x13； (4)f(x) x 24x 12 x 2 . 解(1)解方程 f(x)x27x 60， 得 x 1 或 x 6， 所以函数的零点是1， 6. (2)解方程 f(x)1log2(x 3) 0，得 x 1， 所以函数的零点是1. (3)解方程 f(x)2 x

4、130，得 x log 26， 所以函数的零点是log26. (4)解方程 f(x)x 24x12 x2 0，得 x 6， 所以函数的零点为6. 规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0 的实数根； (2)几何法：对于 不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f(x)的图象联系起来， 并利用函数的性质找出零 点 跟踪演练 1判断下列说法是否正确： (1)函数 f(x)x 22x的零点为 (0,0)，(2,0)； (2)函数 f(x)x1(2x5)的零点为x1. 解(1)函数的零点是使函数值为0 的自变量的值，所以函数f(x)x22x 的零点为0 和 2， 故(1)错 (2)

5、虽然 f(1)0，但 1?2,5 ，即 1 不在函数f(x)x1 的定义域内，所以函数在定义域2,5 内无零点，故 (2)错 要点二判断函数零点所在区间 例 2在下列区间中，函数f(x)ex4x3 的零点所在的区间为() A. 1 4 ， 0B. 0， 1 4 C. 1 4， 1 2 D. 1 2， 3 4 答案C 解析f 1 4 4 e20， f(1 2) e 10，f 1 4 f 1 2 0， 零点在 1 4， 1 2 上 规律方法1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象 2要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若 f(x)图象在 a

6、，b上连续，且f(a) f(b)0，则 f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a) f(b) 0，则 f(x)在 (a，b) 上不一定没有零点 跟踪演练 2函数 f(x)exx2 所在的一个区间是() A( 2， 1) B(1,0) C(0,1) D (1,2) 答案C 解析f(0)e002 10， f(1)e 112 e10，f(0) f(1)0， f(x)在(0,1)内有零点 要点三判断函数零点的个数 例 3判断函数f(x)ln xx23 的零点的个数 解方法一函数对应的方程为ln xx230， 所以原函数零点的个数即为函数y ln x 与 y3x 2 的图象交点个数 在同一坐标系下，作出

7、两函数的图象(如图 ) 由图象知，函数y3x2与 yln x 的图象只有一个交点从而ln xx230 有一个根， 即函数 yln xx 23 有一个零点 方法二由于 f(1)ln 1123 20， f(2)ln 22 23ln 2 10， f(1) f(2)0， 又 f(x)ln xx 23 的图象在 (1,2)上是不间断的，所以 f(x)在(1,2)上必有零点， 又 f(x)在(0， )上是递增的，所以零点只有一个 规律方法判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可 以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由 f(x)g(x)h(x)0，

8、得 g(x)h(x)， 在同一坐标系下作出y1g(x)和 y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数； (3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数 跟踪演练 3函数 f(x)2x|log 0.5x| 1 的零点个数为() A1 B2 C3 D4 答案B 解析令 f(x)2x|log 0.5x| 10， 可得 |log 0.5x| 1 2 x. 设 g(x)|log 0.5x| ，h(x) 1 2 x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象，可以发现两 个函数图象一定有2 个交点，因此函数f(x)有 2 个零点 1函数 y4x2 的零点是 () A2 B (2,0) C.

9、1 2，0 D.1 2 答案D 解析令 y4x20，得 x 1 2. 函数 y4x2 的零点为 1 2. 2对于函数f(x)，若 f(1) f(3)0，则 () A方程 f(x)0 一定有实数解 B方程 f(x)0 一定无实数解 C方程 f(x)0 一定有两实根 D方程 f(x)0 可能无实数解 答案D 解析函数 f(x)的图象在 (1,3)上未必连续， 故尽管 f(1)f(3)0， 但未必函数yf(x)在( 1,3)上有实数解 3函数 ylg x 9 x 的零点所在的大致区间是() A(6,7) B(7,8) C(8,9) D(9,10) 答案D 解析因为 f(9)lg 910， f(10)

10、lg 10 9 10 1 9 10 0，所以 f(9) f(10)0，所以 ylg x9 x在区间 (9,10)上有零点，故 选 D. 4方程 2 x x20 的解的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 答案C 解析在同一坐标系画出函数y2x，及 y x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x x 20 的解的个数为 3. 5函数 f(x)x 22x a 有两个不同零点，则实数 a 的范围是 _ 答案(， 1) 解析由题意可知，方程x22xa0 有两个不同解， 故 44a0，即 a1. 1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一 个零点 2方

11、程 f(x)g(x)的根是函数f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象 与 x 轴交点的横坐标 3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题 有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础 一、基础达标 1下列图象表示的函数中没有零点的是() 答案A 解析B，C，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函 数没有零点 2函数 f(x)(x1)(x 2 3x10)的零点个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 答案C 解析f(x) (x 1)(x23x10) (x1)(x5)(x2)， 由 f(x)

12、0 得 x 5 或 x 1 或 x2. 3根据表格中的数据，可以断定函数f(x)e xx2 的一个零点所在的区间是 () x 10123 e x 0.3712.727.3920.09 x 212345 A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 答案C 解析由上表可知f(1) 2.7230， f(2)7.3940， f(1) f(2)0，f(x)在区间 (1,2)上存在零点 4函数 f(x)ln x2x6 的零点所在的区间为() A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 答案B 解析f(1) ln 126 40， f(2)ln 246ln 220， f(3)ln 3

13、66ln 30，所以 f(2) f(3)0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3) 5方程 log3xx3 的解所在的区间为() A(0,2) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 答案C 解析令 f(x)log3xx3，则 f(2)log32 23log32 3 0，f(3)log33 3310，那 么方程 log3xx3 的解所在的区间为 (2,3) 6已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于_ 答案0 解析奇函数的图象关于原点对称，若 f(x)有三个零点，则其和必为0. 7判断函数f(x) log2xx2 的零点的个数 解令 f(x)0，即 log2xx2

14、0， 即 log2xx2. 令 y1log2x，y2x2. 画出两个函数的大致图象，如图所示， 有两个不同的交点 所以函数f(x)log2xx2 有两个零点 二、能力提升 8若 abc，则函数 f(x)(x a)(xb) (x b)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区 间() A(a，b)和(b，c)内 B(， a)和(a，b)内 C(b，c)和(c， )内 D(， a)和(c， )内 答案A 解析f(x) (x a)(xb) (x b)(xc) (xc)(xa)， f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)， f(c)(ca)(cb)， abc，f(a)0，f(b)0，f(c

15、)0， f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内 9若函数f(x)ax 2x1 仅有一个零点，则 a_. 答案0 或 1 4 解析a0 时， f(x)只有一个零点1， a0 时，由 14a0，得 a 1 4. 10设 x0是方程 ln x x4 的解，且 x0(k，k1)，k Z，则 k_. 答案2 解析令 f(x)ln xx4， 且 f(x)在(0， )上递增， f(2)ln 224 0， f(3)ln 310. f(x)在(2,3)内有解， k2. 11已知函数f(x)x 22x3，x1,4 (1)画出函数 yf(x)的图象，并写出其值域； (2)当 m 为何值时，函数g(x

16、)f(x)m 在1,4上有两个零点？ 解(1)依题意： f(x)(x1) 2 4，x1,4，其图象如图所示 由图可知，函数f(x)的值域为 4,5 (2)函数 g(x)f(x)m 在1,4上有两个零点 方程 f(x) m 在 x 1,4上有两相异的实数根， 即函数 yf(x)与 y m 的图象有两个 交点 由(1)所作图象可知，4 m0，0m4. 当 0 m 4 时，函数 yf(x)与 y m 的图象有两个交点， 故当 0 m 4 时，函数 g(x)f(x)m 在1,4上有两个零点 三、探究与创新 12已知二次函数f(x)满足： f(0)3；f(x1)f(x)2x. (1)求函数 f(x)的解

17、析式； (2)令 g(x)f(| x|) m(mR)，若函数g(x)有 4 个零点，求实数m 的范围 解(1)设 f(x)ax2bxc(a0)， f(0)3， c3，f(x) ax 2bx3. f(x 1)a(x1) 2b(x1)3ax2(2ab)x(ab3)， f(x)2xax 2(b2)x3， f(x1)f(x) 2x， 2abb2， ab33， 解得 a 1，b 1， f(x)x2x3. (2)由(1)，得 g(x) x 2 | x| 3m， 在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示， 由于函数g(x)有 4 个零点，则函数g(x)的图象与x 轴有 4 个交点 由图象得 3m

18、0， 11 4 m0， 解得 3m 11 4 ， 即实数 m 的范围是3， 11 4 . 13已知二次函数f(x)x 2 2ax4 ，求下列条件下，实数 a 的取值范围 (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在 (0,1)内，另一个零点在(6,8)内 解(1)因为方程x 22ax 40 的两根均大于 1， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 2a 2 160， f 1 52a0， a1. 解得 2a 5 2. (2)因为方程 x 22ax40 的一个根大于 1，一个根小于1， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)52a0，解得 a 5 2. (3)因为方程 x 22ax40 的一个根在 (0,1)内，另一个根在 (6,8)内， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 f 0 40， f 1 52a0， f 6 4012a0， f 8 6816a0， 解得 10 3 a 17 4 .