北师大版初一(上)数学讲义第四章：基本平面图形.pdf

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1、第四章：基本平面图形 4.1 线段、射线、直线 1线段、射线、直线的概念 (1)线段 概念： 铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段 线段的特征：线段是直的；线段有2 个 端点；线段的长度是有限的，可度量 线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的 (2)射线 概念： 射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形如图， 把线段 AB 向一个方向无限延伸， 就是一条射线 射线的特征： 射线是直的； 射线有一个端点；因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短， 不可测量 射线可以反向延长；射线没有粗细之分 (3)直线 概念：直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成

2、的 直线的特征：直线是直的；直线没有端点；向两个方向无限延长，没有长短，不可测量 因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延长 【例 1】 下列说法正确的有( ) 画一条射线等于5 cm；线段AB 为直线 AB 的一部分；在直线、射线、线段中，线段最短； 射线与其反向延长线形成一条直线 A1 个B2 个C3 个D4 个 2.线段、射线、直线的表示方法 (1)线段的表示方法 用两个表示端点的大写字母来表示如图，以A，B 为端点的线段，可记作“ 线段 AB” 或“ 线段 BA” 用一个小写字母来表示如线段AB 也可记作 “ 线段 a” (2)射线的表示方法 用

3、两个大写字母表示一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作“ 射 线 AB”(端点必须在前面) 射线的识别： 判断两条射线是否是同一条射线，首先看端点是否相同，再看延伸方向是否相同，如果这两点都符合， 那么这两条射线是同一条射线 端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB，MC，MN 都表示同一条射线 端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB，AC 就不是同一条射线 端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN 的延伸方向一致，但端点不同，所以不是 同一条射线 【例 21】 射线 OA， OB 表示同一条射线，下面的图形正确的是

4、( ) (3)直线的表示方法 直线有两种表示方法：可以用表示这条直线上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直线上任意 两个点的字母没有顺序性如图甲中的直线可记作“ 直线 AB” 或“ 直线 BA” ；可用一个小写字母来表示， 如图乙中的直线可记作“ 直线 l” 图甲 图乙 辨误区线段、射线、直线的联系 表示线段、射线、直线时，都要在字母前面注明“ 线段、射线或直线” ；用两个大写字母表示线段 和直线时，两个字母没有顺序性，可以交换位置，如“ 线段 BA” 和“ 线段 AB” 表示同一条线段，“ 直线 AB” 和 “ 直线 BA” 表示同一条直线；表示射线的两个大写字母有一定的顺序，表示端点的字

5、母必须写在前面 【例 22】 如图所示，下列说法( ) A都错误 B都正确C只有一个正确D有两个正确 3直线的性质 (1)经过两点有且只有一条直线 它包含两层含义：一是“ 肯定有 ” ，二是 “ 只有一条 ” ，不会有两条、三条 ； 它可简单地说成“ 两点确定一条直线” (2)直线的其他性质：经过一点的直线有无数条；不同的两条直线最多有一个交点 【例 3】 工人师傅要将一块长条钢板固定在机器上，则至少要用_个螺钉 4射线、线段的计数方法 射线和线段可以看做直线的一部分，因此在一条直线上，取一些点时，会出现射线和线段 (1)点数与射线的条数 射线向一方无限延伸，因此射线的条数是由端点的个数决定的

6、在直线上，以一个点为端点的射线有 2 条，若直线上有n 个点，则共有2n 条射线 (2)点数与线段的条数 线段有两个端点，直线上每两个点之间的部分就是一条线段因此，数线段时，只要判断这些点共有 多少种组合即可 析规律数线段条数的方法 确定线段的条数时，可以先固定第一个点为一个端点，再以其余的点为另一个端点组成线段，然后固 定第二个点为一个端点，与其余的点 (第一个点除外 )组成线 段 ，依此类推， 直到找出最后的线段为止 【例 4】 画出线段 AB： (1)如图 (1)，在线段AB 上画出 1 个点，这时图中共有几条线段？ (2)如图 (2)，在线段AB 上画出 2 个点，这时图中共有几条线段

7、？ (3)如图 (3)，在线段AB 上画出 3 个点，这时图中共有几条线段？ (4)如图 (4)，在线段AB 上画出 n 个点时，猜一猜：图中共有几条线段？ 5直线性质的应用 生活中的很多实际问题要用到直线的性质，如木工师傅在锯木料之前，先在木板上画出两个点，然后 过这两个点弹条墨线，就是利用了直线的“ 两点确定一条直线” 的性质，沿着这条线能锯成直的，而不会歪 斜 【例 5】 建房屋垒墙时，建筑工人都要在墙的两端固定绳子，请利用所学的知识，说明其中道理 6.与直线有关的规律探究 (1)两点确定一条直线，在同一平面内， 不同的点可以确定不同的直线当任意三点均不在同一直线上时， 点数与直线条数的

8、关系见下表： 点的个数最多直线条数 21 33 46 n(n1) n(n1) 2 (2)平面上若有n(n1)条直线两两相交，则交点个数最多有 1 2n(n1)个 【例 6】平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出另外三种不同情 况的图形 4.2 比较线段的长短 1线段的性质 （ 1）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （ 2）线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短。简述为：两点之间，线段最短。 延伸拓展 距离是指两点之间线段的长度，是一个非负数 ，而不是线段本身。比如,M N两点之间的距离不能说 成是线段MN，而应说成线段MN的长度。

9、连接两点的线有无数条，线段的长度最短。连线是指以两个点为端点的任意线，包括线段，折线和曲 线。连接 AB是指画线段AB。 【例 1-1】已知线段5ABcm，在线段AB上截取2BCcm，则AC 【例 1-2】如图是,A B两地之间的公路，在公路工程改造时，为使,A B两地行程最短，请在图中画出改造 后的公路，并说明你的理由。 BA 2. 线段的画法 （ 1）尺规作图法 用直尺和圆规作一条线段等于已知线段 a。 MBA a 如图，其作法是：画射线AM；在射线AM上用圆规截取线段ABa，则线段AB就是所求 作的线段。 上面作法中的“截取”是指以点A为圆心，以a的长度为半径画弧，角射线AM于点B；尺规

10、作图 要保留作图痕迹，最后要指出所求作的图形；注意画线段时，不要向任何一方延伸。 （ 2）度量法 用刻度尺画一条线段等于已知线段a。画法是：先用刻度尺量出已知线段a的长度，再画一条线段， 使其长度等于线段a的长度。 延伸拓展线段和差的画法 已知两条线段, ()a b ab。这两条线段和的画法是：先画线段ABa；在线段AB的延长线上截 取BCb，则线段AC就是线段,a b的和，即ACab，如图 1. 两条线段差的画法：先画线段ABa；再在线段AB上截取ACb，则线段BC就是线段,a b的 差，即BCab，如图 2. 图2 图1 a b CBA b a b CBA a 【例 2】已知线段, (2)

11、a bab，用直尺和圆规作一条线段，使这条线段等于 2ab。 b a 3. 线段的中点 线段的中点：把线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。 M A B 如图，M为线段AB的中点，则 1 2 AMBMAB或22ABAMBM。 延伸拓展 类似的，还有线段的三等分点、四等分点等。 三等分点，把线段分成相等的三条线段叫做线段的三等分点； 四等分点，把线段分成相等的四条线段叫做线段的四等分点； n四等分点，把线段分成相等的n四条线段叫做线段的n四等分点； 【例 3】若P是线段CD的中点，则（） A.CPCDB.CPDPC.CDPDD.CPPD 4. 线段长短的比较 借助不同的方法比较两条线段的长短

12、。 【例 4-1】如图，若ABCD，则AC与BD的大小关系是（） D CAB 【例 4-2】已知三角形 ABC，试比较ACBC与AB的大小关系。 C B A 5. 线段的有关计算 线段的有关计算是以后学习几何知识的前提。 【例5-1】 如图所示，已知 :3: 2: 4AB BC CD ，,E F分别是,AB CD的中点，且 22EFcm，求 ,AB BC CD的长。 DFCBE A 【例 5-2】如图，已知点C在线段AB上，线段6,4ACcm BCcm，点,M N分别是,AC BC的中点。 （1）求线段MN的长度； （2）根据第（ 1）题的计算过程和结果，设ABa，其他条件不变，你能猜出MN的

13、长度吗？请表述你 发现的规律。 BNCM A 6. 线段性质的应用 线段的性质在生活和生产中应用非常广泛，可以根据“两点之间，线段最短”确定位置。 【例6-1】某地区有,A B C D四个村庄如图所示，为了解决当地的缺水问题，政府准备投资修建一个蓄 水池，不考虑其他因素，请你帮忙画出蓄水池 O的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。 D C B A 【例6-2】如图所示，有一个正方体纸盒ABCDA B C D，在点C处有一只小虫，它要爬到A点处 吃食物，应该沿着怎样的路线，才能使行程最短？你能设计出这条路线吗？ DC B A D C BA 7. 易错辨析 【例 7-1】若 1 2 ACAB，则点

14、C是线段AB的中点，这种说法正确吗？为什么？ 【例 7-2】已知线段8ABcm，点C在直线AB上，且3BCcm， 点M为线段AC的中点， 求线段MC 的长度。 4.3 角 1角的定义 (1)静态定义： 由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角如图甲 角的有关概念： 顶点： 两条射线的公共端点 边： 组成角的两条射线 (2)动态定义： 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形如图乙 谈重点角的理解 (1)角有两个特征：角是由两条射线组成的；这两条射线有公共的端点 (2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大 小与角的两边的长短无

15、关，只与两条射线张开的程度有关 【例 1】下列说法错误的有( ) 有公共点的两条射线形成的图形是角从一点引出的两条射线形成的图形是角 角的大小与两边所画的长度有关线段绕着一个端点旋转也可以形成角 A1 个B2 个C3 个D4 个 2角的表示方法及画法 角的表示方法有四种 (1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图 (1)中的角， 可 记为 AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B 写在两旁 (2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角， 如图 (1)中的 AOB 也可记为 O. (3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处

16、加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的 AOB 可记为 1. (4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母( ， ，等)，就可以用这个小写希腊 字母来表示角，如图(2)中的 BOC 可记为 .这种方法与数字表示法实际上是一样的 释疑点表示角时的注意事项 以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“ ” 表示角所用的符号“ ” ，不能写成小于号“” 当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O 为顶点的角有 1， ， AOC，就不能用O 来表示了否则，就会产生混乱 3平角、周角 (1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直

17、线时，所成的角叫做平角， 平角是 180 ，、 如图 1. (2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角周角等 于 360 . (3)平角与周角的关系：一周角等于两平角 平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射 线就是周角角必须有顶点和两边 【例 3】 下列说法是否正确，为什么？ 平角是一条直线；钟表上的分针经过1 小时形成一个周角 4度、分、秒的换算 (1)角的单位及意义 角的单位是 度、分、秒 意义： 把一个平角180 等分，每一份就是一度的角，记作1 ； 把一度的角60 等分，每一份就是一分的角，记作

18、1 ； 把一分的角60 等 分，每一份就是一秒的角，记作1. (2)度、分、秒的进率及换算方法 度、分、秒的进率是60.即 1 60 ，1 60 ，1 60 3 600. 度 60 60 垐 垎 噲 垐 分 60 60 垐 垎 噲 垐 秒 (3)度 、分、秒有关的计算 度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制在运算中满60 才向高位进1，而借 1 则表示低位的 60. 在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不 够除的要借位从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算 在相乘或相加时，当低位大于或等于60 时，要向高位进位 【例 41】 (1)用

19、度、分、秒表示48.13 为_； (2)用度表示 23 9 36为_ 【例 42】 计算： (1)13 2978 37；(2)61 3922 5 32；(3)23 533；(4)107 4 3 5. 5.角的计数方法 数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数常用的有两种方法： 始边计数法： 先以某条边为始边(固定一边 )，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角， 然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数 分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角 【例 5】 如图，图中共有多少个角？用字

20、母分别表示出来 6角的应用 角在生活和生产中随处可见本节的有关角的应用主要是钟表中的角 钟面上共有12 个大格，把周角平均分，即360 1230 .钟表面上有60 个小格， 360 60 6 .因此， 时针每小时转动30 ，分针每分钟转动6 . 时针与分针的夹角的求法： 先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30 .用 30 乘大格 数 特别注意： 从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3： 40；有时需要按逆时针数，如2：50. 从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加 时针每分钟转30 600.5 . 【例 6】 如图是部分节目的播出时间，分别确定出

21、钟表上时针与分针所成的最小的角的度数 4.4 角的比较 1角的大小比较 (1)度量法： 先用量角器测量出各角的度数，再按照角的度数比较大小，从而确定两个角的大小关系 (2)叠合法： 两个角比较大小时，把两个角的顶点和一条边分别重合，另一条边放在重合边的同侧，根 据另一条边的位置确定角的大小 如比较 ABC 和 DEF 的大小，可把DEF 移到 ABC 上，使它的顶点E 和 ABC 的顶点 B 重合， 一边 ED 和 BA 重合，另一边EF 和 BC 落在 BA 的同一侧 如果 EF 和 BC 重合 (如图 1)，那么 DEF 等于 ABC，记作 DEF ABC； 如果 EF 落在 ABC 的外

22、部 (如图 2)，那么 DEF 大于 ABC，记作 DEF ABC； 如果 EF 落在 ABC 的内部 (如图 3)，那么 DEF 小于 ABC，记作 DEF ABC. 【例 1】 如图，求解下列问题： (1)比较 COD 和 COE 的大小； (2)借助三角尺，比较EOD 和 COD 的大小； (3)用量角器度量，比较BOC 和 COD 的大小 2角的平分线 (1)定义： 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个 角的平分线 角平分线是以角的顶点为端点的特殊射线，它在角的内部；角平分线把角分成两个相等的角 (2)角平分线的表示： OC 是 AOB 的平分线；A

23、OC COB1 2 AOB， AOB 2AOC2COB. (3)作角平分线的方法： 利用量角器量出角的度数，取角的度数的一半并画出射线； 折叠：把已知角的两边重合后再折叠，可得已知角的平分线 【例 2】 如图，已知 AOC80 ， BOC50 ，OD 平分 BOC，求 AOD. 3角平分线及角的和、差计算 (1)角的和、差的意义 如图，和：AOB 1 2； 差： 1 AOB 2， 2 AOB 1. (2)角平分线及角的和、差计算 与角有关的计算，是本节的重点，也是易错点 解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或求出一个较大的角，借助于某一个中间的角， 把未知量转化为已知量 (3)三角板

24、中角的和与差 一副三角板有两块，一块含30 角， 60 角， 90 角；一块含45 角， 45 角， 90 角 借助于三角板，即可以画出上面的角 利用三角板和角的和、差，还可以得到以下度数的角：15 ，75 ，105 ，120 ，135 ，150 ，165 . 【例 31】 已知 AOB30 ， BOC20 ，则 AOC 的角度是 _ 【例 32】 如图， AOC 为一直线， OD 是 AOB 的平分线，BOE 1 2 EOC， DOE72 ，求 EOC 的度数 4角的分类 (1)角的分类： 根据角的度数，常常把大于0 而小于 180 的角分为锐角、直角、钝角三类 (2)各种角的规定： 锐角：

25、大于0 且小于 90 的角 直角：等于90 的角 钝角：大于90 且小于 180 的角 平角：等于180 的角 周角：等于360 的角 (3)角之间的关系： 锐角直角钝角平角周角 1 平角 2 直角 180 ； 1 周角 2 平角 4 直角 360 . 若没有特别说明，我们平常所说的角是指小于平角的角 【例 4】 如图，解答下列问题： (1)比较图中 AOB， AOC， AOD 的大小； (2)找出图中的直角、锐角和钝角 4.5 多边形和圆的初步认识 1 多边形和多边形的对角线 多边形的定义：由若干条 不在同一直线上的线段首位顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 多边形的重要特征：多边形是封

26、闭图形；多边形是平面图形。 如图，三角形、四边形、五边形、六边形等都满足多边形的定义，是多边形。 六边形五边形四边形 三角形 多边形的对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 如图,AD BD CE都是多边形ABCDE的对角线。 ,EABABCBCDCDEDEA是多边形的内角。 E D C B A n边形的基本性质： 任意一个n边形都具有如下特征： 有n个顶点；有n条边；有n个内角； 从任意一个顶点引对角线时有(3)n条对角线，把n边形分成(2)n个三角形 。 n边形的对角线的总条数为 (3) 2 n n 。思考为什么？ 【例 1-1】一个多边形从一个顶点能引12 条对角线，

27、则这个多边形为边形； 【例 1-2】九边形的对角线的条数是。 2. 正多边形 正多边形的定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形的特征：各边相等； 各个角相等 。 如图分别是：正三角形，正四边形（正方形），正五边形，正六边形，正八边形。 【例 2】下列说法正确的有个 由四条线段首位顺次相接组成的图形是四边形； 各边都相等的多边形是正多边形； 各角都相等的多边形是正多边形； 3. 圆与扇形 如图， 平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。 固定的端点O称作圆心，线段OA称作半径，过圆心O且两端点在圆上的线段AC乘坐直径。 C B A O 圆上

28、任意两点,A B之间的部分叫做圆弧，简称“弧”，记作AB，读作：“圆弧AB”或“弧AB” ； 由弧AB和经过这条弧的端点的两条半径,OA OB组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆心角。 延伸拓展： 圆可以看作是圆心角为360的扇形； 圆心角的取值为 0 360 。 【例 3-1】如左下图，将圆平均分成四份，则AOB度； O D C B A O 【例 3-2】如右上图所示，在一个圆中任意画4 条半径，可以把这个圆分成几个扇形？ 4. 多边形的对角线条数 从任意一个顶点引对角线时有(3)n条对角线，把n边形分成(2)n个三角形；n边形的对角线的总 条数为 (3) 2 n n 。 【例 4-1】

29、填空： （1）十边形有个顶点，个内角，从一个顶点可画条对角线，它共有条对角线； （2）从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是边形。 【例 4-2】阅读下列材料并填空。 平面上有(3)n n个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三 角形？ （1）分析：当有3个点时，可作几个三角形？当有4 个点时，可作几个三角形，当有5 个点时刻作几个 三角形？ （2）归纳：观察点的个数n和可作出的三角形的个数 n S。填写下表。 点的个数 /个 可作出的三角形个数/个 3 4 5 n 5. 圆心角 利用圆心角性质求度数。 【例 5-1】如左下图，把一个圆分成五个扇形，求每个扇形的圆心角度数。 E D C B A O 37.5% 25% 18.75% 12.5% 6.25% C A B D O 【例 5-2】如右上图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2,1,120AOB，求阴影部分的面积。 【例 5-3】下列说法正确的是 扇形是圆的一部分；圆的一部分是扇形；扇形的周长等于它的弧长；圆心角不能等于180。